一元一次不等式知識點與典型例題

1、學習必備一元一次不等式考點一、不等式的概念1、不等式：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。3、對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。4、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。5、用數(shù)軸表示不等式的方法考點二、不等式基本性質1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。4、說明：在一元一次不等式中

2、，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。如果不等式乘以 0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為 0，否則不等式不成立；考點三、一元一次不等式1 、一元一次不等式的概念 ：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)， 未知數(shù)的次數(shù)是 1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步驟： （ 1）去分母（ 2）去括號（ 3）移項（ 4）合并同類項（ 5）將 x 項的系數(shù)化為 1考點四、一元一次不等式組1 、一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成

3、了一個一元一次不等式組。2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。4、當任何數(shù) x 都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（ 1）分別求出不等式組中各個不等式的解集（ 2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。6、不等式與不等式組不等式：用符號，=，號連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。7、不等式的解

4、集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。知識點與典型基礎例題一 不等式的概念：例判斷下列各式是否是一元一次不等式？歡迎下載2 x4 xx225 3-x 5 2x-y 035x二 不等式的解 ：三 不等式的解集：例判斷下列說法是否正確，為什么？X=2是不等式 x+32 的解。X=2是不等式 3x7 的解。不等式 3x 7 的解是 x 2。X=3是不等式 3x9 的解四 一元一次不等式：例判斷下列各式是否是一元一次不等式2 xx2 2x5 3例五不等式的基本性質問題例 1 指出下列各題中不等式的變形依據(jù)1

5、 ）由 3a>2 得 a> 322)由 3+7>0得 a>-73 ）由 -5a<1 得 a>- 154)由 4a>3a+1得 a>1例 2 用>”或 <”填空，并說明理由如果 a<b 則 1 ）a-2()b-22）- 2a- 2b3)-3a-5()-3b-5例 3把下列不等式變成 x>a x<a的形式。X+4>75x<1+4x-54 x>-1 2x+5<4x-2例 4已知實數(shù) a/b/c/在數(shù)軸上的對應點如圖，則下列式子正確的是（）A cb>ab B ac>ab C cb<a

6、b D c+b<a+b例當時，1x，之間的大小關系是。例將下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來。X2x2x 3的非負整數(shù)解-11x1 1 332 2六 在數(shù)軸上表示不等式的解集：例 解下列不等式并把解集在數(shù)軸上表示出來2x+33x+2-3x+25 -1 x 2x 5 13x 23238-2(x+2) 4x-2 3-x123( x 1)x2x 3x 148323學習必備歡迎下載 1題型一：求不等式的特殊解X 的 3 與 x 的 2 倍的和是非負數(shù)。C 與 4 的和的 30不大于 -2 。例） 求 x+36 的所有正整數(shù)解X 除以 2 的商加上 2，至多為 5。A 與 b 兩數(shù)和的平方不可能大于

7、 3。）求 10-4 （x-3 ） 2（ x-1 ）的非負整數(shù)解，并在數(shù)軸上表示出來。例取何值時，（）（）的值是非負數(shù)？）求不等式 32x 1 0 的非負整數(shù)解。3 x22x例取哪些非負整數(shù)時，5的值不小于3 與的差。）設不等式只有個正整數(shù)解，求正整數(shù)題型二：不等式與方程的綜和題題型七 解不定方程例 關于的不等式的解集如圖，求的取值范圍。例求方程 4X的正整數(shù)解。x9 5 x 1不等式組 xm 1的解集是，則的取值范圍是？5 x 3y 31若關于、的二元一次方程組 x y p 0 的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值。題型三確定方程或不等式中的字母取值范圍例為何值時方程（）的值是非正數(shù)已知關于 x 的方程

8、 3k5x 9 的解是非負數(shù)，求k 的取值范圍已知在不等式的正整數(shù)解是，求的取值范圍。4 x 3y k若方程組 2 x 3 y 5 的解中 x>y，求 K 的范圍。如果關于 x 的方程 x+2m-3=3x+7的解為不大于 2 的非負數(shù)，求 m的范圍。若 |2a+3| 2a+3, 求 a 的范圍。若（ a+1）xa+1 的解是 x 1, 求 a 的范圍。2 x m2 x已知關于 x 的方程33 的解是非負數(shù)，是正整數(shù)，求的值。題型五求最小值問題5 x4例 x 取什么值時，代數(shù)式6的值不小于 8713x 的值，并求出 X 的最小值。x2a已知 x3a2 無解，求的取值范圍。題型八 比較兩個代

9、數(shù)式值的大小例 已知， ，求與，與的大小關系8、常見題型一、選擇題P m ，m在第二象限，則 m的取值范圍為在平面直角坐標系中，若點1)( )(3A 1m3B m 3CmDm已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）AB C D四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P、Q、R、S，如圖 3 所示，則他們的體重大小關系是（）A、B、C、D、把不等式組的解集表示在數(shù)軸上正確的是（）題型六不等式解法的變式應用例根據(jù)下列數(shù)量關系，列不等式并求解。學習必備歡迎下載不等式的解集是（）若不等式組有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD若，則的大小關系為（）ABCD不能確定不等式 x5

10、0 的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）不等式的正整數(shù)解有 ()（A）1 個（B）2 個（ C）3 個（D）4 個把某不等式組中兩個不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則這個不等式組可能是（）ABCDABCD如圖， a、b、c 分別表示蘋果、梨、桃子的質量同類水果質量相等，則下列關系正確的是（）A a c bBbacCab cDcab不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的為圖3 中的（）ABCD用表示三種不同的物體，現(xiàn)放在天平上比較兩次，情況如圖所示，那么這三種物體按質量從大到小的順序排列應為（）不等式組，的解集是（）ABCD無解不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）

11、不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）ABCD實數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則， 的大小關系正確的是（）在數(shù)軸上表示不等式組的解集，正確的是（）二、填空題已知 3x+4 6+2(x-2), 則的最小值等于 _.不等式組的解集為不等式組的整數(shù)解的個數(shù)為已知關于的不等式組的整數(shù)解共有3 個，則的取值范圍是不等式組的解集是1 已知不等式組的解集為 1 x 2，則 (m n)2008_三、簡答題解不等式組學習必備歡迎下載解不等式組并寫出該不等式組的最大整數(shù)解.若不等式組的整數(shù)解是關于x 的方程的根，求 a的值。解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1 和 2的距離之和為 5 的點對應的 x

12、的值。在數(shù)軸上， 1 和 2 的距離為 3，滿足方程的 x對應點在 1 的右邊或 2 的左邊，若 x 對應點在 1 的右邊，由圖（ 17）可以看出 x2；同理，若 x 對應點在 2 的左邊，可得 x 3，故原方程的解是x=2 或 x= 3參考閱讀材料，解答下列問題：（ 1）方程的解為（ 2）解不等式9；（ 3）若a 對任意的 x 都成立，求 a 的取值范圍解不等式組并把解集表示在下面的數(shù)軸上.解不等式組解不等式組：并判斷是否滿足該不等式組解不等式 3x-2<7, 將解集在數(shù)軸上表示出來, 并寫出它的正整數(shù)解解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解.解不等式組并求出所有整數(shù)解的和不等式復習 1一：

13、知識點回顧1、一元一次不等式（組）的定義：學習必備2、一元一次不等式（組）的解集、解法：3、求不等式組的解集的方法：若 ab，當時， x b；（同大取大 ）當時， xa；（同小取小 ）當時， axb；（大小小大取中間 ）當時無解，（ 大大小小無解）二：小試牛刀1、不等式 8-3x 0 的最大整數(shù)解是 _.2、若 (a1)x a1 的解集是 x1，則 a 必須滿足 _x4,xa ，則的取值范圍是 _、若不等式組的解集是 4a3xa、若a21、a之間的大小關系是 _40a 1，則、a5、如果一元一次方程的解是正數(shù)，那么 k 的取值范圍是 _2x 5kx47、不等式組的解集為 x 2，試求 k 的取

14、值范圍 _8、由 x y 得 ax ay的條件是（）、由A.a0B.a 0C.a 0D.a 0得2bm2的條件是（）9a bamA.m 0B.m0C.m 0D.m 是任意有理數(shù)三：例題講解1、已知關于 x 的不等式 2x+m>-5 的解集如圖所示，則 m 的值為（）A, 1B,0C, -1D, 32、不等式 2x+1<a 有 3 個正整數(shù)解，則a 的取值范圍是？3、關于 x 的不等式組xa0 的整數(shù)解共有 3 個，則 a 的取值范圍是多少？1x04、若方程組 3xy2k, 的解滿足 x1,且y1，求整數(shù) k 的取值范圍。歡迎下載yx35、若不等式組無解，求 a 的取值范圍 .6、

15、已知不等式組2ax6a 的解集是 1x b則 ab 的值？6 x5b9、某工廠現(xiàn)有甲種原料 360 千克，乙種原料 290 千克，計劃利用這兩種原料生產 A 、 B 兩種產品共 50 件，已知生產一件 A 種產品用甲種原料 9 千克，乙種原料 3 千克，可獲利 700 元；生產一件 B 種產品用甲種原料 4 千克，乙種原料 10 千克，可獲利 1200 元。（1）按要求安排 A 、B 兩種產品的生產件數(shù)，有哪幾種方案？請你設計出來；（2）設生產 A 、B 兩種產品總利潤為y 元，其中一種產品生產件數(shù)為x 件，試寫出 y 與x 之間的函數(shù)關系式，并利用函數(shù)的性質說明那種方案獲利最大？最大利潤是多

16、少？2x303、如果不等式組無解，則 m 的取值范圍是；xm4、X 是哪些非負整數(shù)時，2x13x 2 的值不小于與 1的差355 若方程組x2 y1 的解 x 、 y 的值都不大于 1，求 m 的取值范圍。x 2 y mx a 06、不等式組的整數(shù)解共有 5 個，則 a 的取值范圍是32x17、用若干輛載重為 8 噸的汽車運一批貨物， 若每輛汽車只裝 5 噸，則剩下 10 噸貨物，若每輛車裝滿 8 噸，則最后一輛汽車不空也不滿，請問有多少輛汽車？8、某校準備組織 290 名學生進行野外考察活動，行李共 100 件，學校計劃租用甲乙兩種型號的汽車共 8 輛，經了解，甲種汽車每輛最多載 40 人和

17、 10 件行李；乙種汽車每輛最多載 30 人和 20 件行李。（1）設租用甲種汽車 x 輛，請你幫助學校設計所有可能的方案學習必備歡迎下載（2）如果甲乙兩種汽車每輛的租車費分別為2000，1800 元，請你選擇最省錢的一種例 3 若不等式 -3x+n>0 的解集是 x<2，則不等式 -3x+n<0 的解集是 _租車方案。例 4 某公司為了擴大經營，決定購進6 臺機器用于生產某種活塞 ?現(xiàn)有甲，乙兩種機9、為執(zhí)行中央 “節(jié)能減排，美化環(huán)境，建設美麗新農村 ”的國策，我市某村計劃建造A、器供選擇，其中每臺機器的價格和每臺機器日生產活塞的數(shù)量如下表所示經過預算，B 兩種型號的沼氣池

18、共20 個，以解決該村所有農戶的燃料問題兩種型號沼氣池的占本次購買機器所耗資金不能超過34 萬元地面積、使用農戶數(shù)及造價見下表：365m2，該村農戶共有492 戶甲乙已知可供建造沼氣池的占地面積不超過價格/ （萬元 / 臺）75(1)滿足條件的方案共有幾種 ?寫出解答過程每臺日產量 / 個10060(2)通過計算判斷，哪種建造方案最省錢（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？一元一次不等式及其應用（2）若該公司購進的 6 臺機器的日生產能力不低于380 個，那么為了節(jié)約資金應知識講解選擇哪種購買方案？1 一元一次不等式的概念1?的不等式叫做一元一例 5 某童裝加工企業(yè)今年五月份， ?工人每人平均

19、加工童裝 150 套，最不熟練的工人類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是加工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%為了提高工人的勞動積極性， 按照完成外商訂貨任次不等式務，企業(yè)計劃從六月份起進行工資改革 ?改革后每位工人的工資分兩部分：一部分為2 不等式的解和解集每人每月基本工資200 元；另一部分為每加工 1 套童裝獎勵若干元不等式的解：與方程類似，我們可以把那些使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等（1）?為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關部門規(guī)定的最低工資標準式的解450 元，按五月份工人加工的童裝套數(shù)計算，工人每加工 1 套童裝企業(yè)至少應獎勵多少不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的

20、不等式，它的所有的解的集合叫做這個不元（精確到分）？等式的解集它可以用最簡單的不等式表示，也可以用數(shù)軸來表示（2）根據(jù)經營情況，企業(yè)決定每加工1 套童裝獎勵 5 元 ?工人小張爭取六月份3 不等式的性質工資不少于 1200 元，問小張在六月份應至少加工多少套童裝？性質 1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子） ，不等號的方向不變，即強化訓練如 a>b，那么 a±c>b± c一、填空題性質 2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果a>b，1若不等式 ax<a 的解集是 x>1，則 a 的取值范圍是 _c>0，那

21、么 ac>bc（或 a > b ）2不等式 x+3> 1 x 的負整數(shù)解是 _cc2性質 3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即如果a>b，3不等式 5x-9 3（x+1）的解集是 _c<0，那么 ac<bc（或a>b）4不等式 4（x+1） 6x-3 的正整數(shù)解為 _cc5已知 3x+46+2（x-2 ），則 x+1的最小值等于 _不等式的其他性質：若 a>b，則 b<a；若 a>b，b>c，則 a>c；若 ab，且 b6若不等式 a（ x-1 ）>x-2a+1的解集為 x<-1 ，則

22、a 的取值范圍是 _a，?則 a=b；若 a0，則 a=07滿足 2 x 2x 1的 x 的值中，絕對值不大于10 的所有整數(shù)之和等于 _4 一元一次不等式的解法?但要特別注意不等式的兩邊23一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，8小明用 100 元錢去購買筆記本和鋼筆共30 件，已知每本筆記本2 元， ?每支鋼筆 5都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不等號要改變方向元，那么小明最多能買 _支鋼筆5 一元一次不等式的應用9某商品的進價是 500 元，標價為 750 元，商店要求以利潤不低于5%的售價打折出售，列一元一次不等式解實際應用問題，可類比列一元一次方程解應用問題的方法和售貨員最低可

23、以打 _折出售此商品技巧，不同的是，列不等式解應用題，尋求的是不等關系，因此，根據(jù)問題情境，抓10有 10 名菜農，每個可種甲種蔬菜3 畝或乙種蔬菜2 畝， ?已知甲種蔬菜每畝可收住應用問題中“不等”關系的關鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關系十分重要入 0.5 萬元，乙種蔬菜每畝可收入0.8 萬元，若要總收入不低于15.6 萬元， ?則最例題解析2x110x 15多只能安排 _人種甲種蔬菜例 1 解不等式x-5 ，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來二、選擇題36411不等式 -x-5 0 的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）例 2 若實數(shù) a<1，則實數(shù) M=a，N=a2 ， P=2a 1 的大

24、小關系為（）33A P>N>M B M>N>PC N>P>MD M>P>NABCD12如圖所示， O是原點，實數(shù) a， b，c?在數(shù)軸上對應的點分別為A，B，C，則下列結學習必備論錯誤的是（）Aa-b>0 Bab<0C a+b<0D b（a-c ） >014如果不等式 2x 1 +1> ax1 的解集是 x< 5 ，則 a 的取值范圍是（）333A a>5 Ba=5Ca>-5D a=-515關于 x 的不等式 2x-a -1 的解集如圖所示，則 a 的取值是（）A0B-3C-2D-116初中九年級一

25、班幾名同學，畢業(yè)前合影留念，每人交0.70 元，一張彩色底片0.68元，擴印一張照片0.50 元，每人分一張，將收來的錢盡量用掉的前提下，?這張照片上的同學最少有（）A2個B3個C4個D5個17四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P，Q，R，S，如圖所示，則他們的體重大小關系是（）AP>R>S>QB Q>S>P>RCS>P>Q>RD S>P>R>Q18某班學生在頒獎大會上得知該班獲得獎勵的情況如下表：三好學生優(yōu)秀學生干部優(yōu)秀團員市級323校級18612已知該班共有 28 人獲得獎勵，其中只獲得兩項獎勵的有13 人，那么該班

26、獲得獎勵最多的一位同學可能獲得的獎勵為（）A3項 B4項 C5項 D6 項三、解答題19解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來（1） 3x 42 x 1；（2）x-3 3x 5 63420王女士看中的商品在甲，乙兩商場以相同的價格銷售，兩商場采用的促銷方式不同：在甲商場一次性購物超過100 元，超過的部分八折優(yōu)惠；在乙商場一次性購物超過 50 元，超過的部分九折優(yōu)惠，那么她在甲商場購物超過多少元就比在乙商場購物優(yōu)惠？21甲，乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客， ?各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計購買商品超出 300 元之后， ?超出部分按原價 8 折優(yōu)惠；在乙超市累計購買商

27、品超出 200 元之后，超過部分按原價 8.5 折優(yōu)惠設顧客預計累計購物 x 元（ x>300）（1）請用含 x 的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購物所付的費用；（2）試比較顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠？說明你的理由22福林制衣廠現(xiàn)有24 名制作服裝工人， ?每天都制作某種品牌襯衫和褲子，每人每歡迎下載天可制作襯衫 3 件或褲子 5 條（ 1）若該廠要求每天制作的襯衫和褲子數(shù)量相等，則應安排制作襯衫和褲子各多少人？（ 2）已知制作一件襯衫可獲得利潤 30 元，制作一條褲子可獲得利潤 16 元， ?若該廠要求每天獲得利潤不少于 2100 元，則至少需要安排多少名工人制作襯衫？23某零件制造車間有

28、工人20 名， ?已知每名工人每天可制造甲種零件6 個或乙種零件 5 個，且每制造一個甲種零件可獲利 150 元， ?每制造一個乙種零件可獲利 260 元，在這 20 名工人中，車間每天安排 x 名工人制造甲種零件， ?其余工人制造乙種零件（ 1）請寫出此車間每天所獲利潤 y（元）與 x（人）之間的關系式；（2）若要使每天所獲利潤不低于 24000 元，?你認為至少要派多少名工人去制造乙種零件才合適？24足球比賽的記分規(guī)則為：勝 1 場得 3 分，平 1 場得 1 分，負 1?場得 0 分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽 14 場，現(xiàn)已比賽 8 場，負了 1 場，得 17 分，請問：（ 1）前

29、 8 場比賽中，這支球隊共勝了多少場？（ 2）這支球隊打滿了 14 場比賽，最高能得多少分？（ 3）通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14 場比賽得分不低于29 分， ?就可以達到預期目標，請你分析一下，在后面的6 場比賽中這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標？25宏志高中高一年級近幾年招生人數(shù)逐年增加，去年達到 550 名， ?其中面向全省招收的“宏志班”學生，也有一般普通班學生由于場地、師資等限制，今年招生最多比去年增加 100 人，其中普通班學生可以招 20%，?“宏志班” 學生可多招 10%，問今年最少可招收“宏志班”學生多少名？一元一次不等式和一元一次不等式組一填空題：（每小題 2

30、 分，共 20 分）1若 x < y ，則 x2 y 2；（填 “<、>或=”號）2若ab ，則 3a _b ；（填 “<、>或 =”號）3不等式 2x x2 的解集是 _；393 2 y 的值至少為 1；5不等式 6 12x當y _時，代數(shù)式0 的解集是 _；446不等式 7x1 的正整數(shù)解為：；7若一次函數(shù) y2x 6 ，當 x _時， y 0 ；的 3 與 12 的差不小于 6，用不等式表示為 _；8 x5不等式組2x30 的整數(shù)解是 _；學習必備93x20若關于的方程組3x2 yp1x>，則 P 的取值范圍是 _；的解滿足10x4x3 yp1y二選擇題：（每小題 3 分，共 30 分）11若 a > b ,則下列不等式中正確的是（）ab（A ） ab 0 （B）5a5b （C）a 8b 8 （D）4412在數(shù)軸上表示