勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題

1、6解。勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題1. 勾股定理：直角三角形兩直角邊 a b的平方和等于斜邊 c的平方。即卩：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長：a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。2. 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理 聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如： C，但不要認為最大邊一定是 C ）（2） 驗證C2與a2+b2是否具有相等關(guān)系， 若c2=a2+b2，則 ABC 是

2、以/ C為直角 的三角形。（若c2>a2+b2則厶ABC 是以/ C為鈍角的三角形，若c2<a2+b2則厶ABC 是以/ C為銳角三角形）例題分析例1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4，斜邊長是20,求此直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x，根據(jù)題意得：（3x） 2+ （4x） 2=202化簡得x2=16;1二直角三角形的面積 =xjx Kx=6X=962注：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求A例2、等邊三角形的邊長為2，求它的面積。解：如圖，等邊 ABC ，作AD丄BC于D1則：BD= 2 bc （等腰三角形底邊上的

3、高與底邊上的中線互相重合） AB=AC=BC=2 （等邊三角形各邊都相等）二 BD=1在直角三角形 ABD 中 AB 2=ad 2+bd 2,即：AD 2=ab 2 BD 2=4 1=3IV二 AD= 3rS ABC £ BCAD=3注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為 v 3 a4例3、直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是x，y，根據(jù)題意得:x y 512(1)x2 y2 52 (2)由(1)得：x+y=7，(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49(3)(3) (2),得：xy=121 1二直角三角形

4、的面積是 _xy= _ x 12=(6 cm2)2 2例4、在銳角 ABC中，已知其兩邊a=1, b=3，求第三邊的變化范圍。分析：顯然第三邊 b a<c<b+a,但這只是能保證三條邊能組成一個三角形，去卩 不能保證它一定是一個銳角三角形，為此，先求ABC為直角三角形時第三邊的值。解：設(shè)第三邊為c,并設(shè) ABC是直角三角形 當(dāng)?shù)谌吺切边厱r，c2=b2+a2,二c= 10 當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r，則斜邊一定是b,b2=a2+c2，二 c=2 v'2 (即，3) ABC為銳角三角形所以點A應(yīng)當(dāng)繞著點B旋轉(zhuǎn)，使/ ABC成為銳角(如圖)，但當(dāng)移動到點A2位置時/ ACB2 丫 2

5、<ACv , 10成為直角。故點 A應(yīng)當(dāng)在A1和A2間移動，此時注：此題易忽視或中一種情況，因為假設(shè)中并沒有明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要考慮。例5、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()A、8, 15, 17 B、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，對數(shù)據(jù)較大的可以用C2=a2+b2的變形：b2=c2 a2= (c a) (c+a)來判斷。例如：對于選擇支 D , v 82工(40+39) x (40 39),以8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形。答案：A例 6、四邊形 ABCD 中，/ B=90&#

6、176; , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四邊形 ABCD的面積。解：連結(jié)ACvZ B=90° , AB=3 , BC=4 AC2=AB 2+BC2=25 （勾股定理） AC=5v AC2+CD2=169, AD 2=169二 AC2+CD2=AD2四邊形 ABCD =SABC+SACD =Ab *BC+ AC CD=362 2Z ACD=90 （勾股定理逆定理）本題是一個典型的勾股定理及其逆定理的應(yīng)用題。例7、若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3,求n分析：首先要確定斜邊（最長的邊）長 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的

7、斜邊長為n+3,由勾股定理可得:（n+1）2+ （n+2） 2= （n+3） 2化簡得：n2=4 n=±2，但當(dāng) n= 2 時，n+仁1<0,二 n=2三、練習(xí)題1、 等腰三角形的兩邊長為 4和2,則底邊上的高是 ，面積是。2、 一個直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則它的各邊長為 。3、 一個直角三角形一條直角邊為16cm，它所對的角為60 °則斜邊上的高為 。4、 四個三角形的邊長分別是 3, 4, 54, 7, 8 7,24,253,4,5其中是直角2 2 2 2三角形的是（）A、B、C、 D、5、如果線段a、b、c能組成直角三角形，貝陀們的比可以是（）A、1： 2

8、: 4 B、!：3: 5C、3： 4： 7 D、5： 12： 136、已知：如圖，四邊形 ABCD 中，AB=20 , BC=15 , CD=7, AD=24 , Z B=90 °求證：Z A+ Z C=180。7、已知直角三角形中，兩邊的長為 3、4,求第三邊長。& ABC 中，/ C=90 ° a=5, c b=1，求 b, c 的長。9、如圖： ABC中，AD是角平分線，AD=BD , AB=2AC求證： ACB是直角三角形。三、練習(xí)題解答仁.15，152、 6， 8， 103、8cm4、D5、D6、本題類似于例6,需連結(jié)AC證出 ACD也是直角三角形,從而/ 1+ / 2=90°, / 3+Z 4=90°, / DAB+ / DCB=1807、解：設(shè)第三邊長為 X,當(dāng)?shù)谌吺切边厱r：X2=32+42=25，即x=5當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r，則斜邊長為4： x2=42 32, 即卩x= 7V8此題類似于例3a2 c2 b2 (c b)(c b) 25解：根據(jù)題意得：c b 19、證明：作DE丄AB于Ev AD=BD,DE 丄AB 2AE=AB (等腰三角形