初三（數(shù)學）專題07一元二次方程的應(yīng)用.docx專項講練-附歷年中考真題訓練解析

1、數(shù)學專題 精心整理專題07 一元二次方程的應(yīng)用閱讀與思考一元二次方程是解數(shù)學問題的有力工具，許多數(shù)學問題都可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)等而獲解. 現(xiàn)階段，一元二次方程的應(yīng)用主要有以下兩方面：1. 求代數(shù)式的值；2. 列二次方程解應(yīng)用題.從本質(zhì)上講，列二次方程解應(yīng)用題與前面我們已經(jīng)學過的列一元二次方程解應(yīng)用題沒有區(qū)別，通常都要經(jīng)過設(shè)、列、解、答等四個步驟，解題的關(guān)鍵是尋找實際問題中的等量關(guān)系. 特別需要注意的是，列出的一元二次方程一般會有兩個不同的實數(shù)根，所以在檢驗時應(yīng)特別注意，很可能其中有不符合實際問題的根，必須舍去.例題與求解【例1】 甲、乙兩地分別在河的上、下游，每天各

2、有一班船準點以勻速從兩地對開，通常它們總在11時于途中相遇，一天乙地的船因故晚發(fā)了40分鐘，結(jié)果兩船在上午11時15分在途中相遇，已知甲地開出的船在靜水中的速度數(shù)值為44千米/時，而乙地開出的船在靜水中的速度為水流速度千米/時數(shù)值的平方，則的值為_.（安徽省競賽試題）解題思路：利用甲船15分鐘所行路程是乙船（40-15）分鐘所行路程建立方程.【例2】 自然數(shù)滿足，這樣的的個數(shù)是（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 （江蘇省競賽試題）解題思路：運用冪的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為解方程.【例3】 如圖，在平面直角坐標系中，直線與交于點A，分別交軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點.（1） 求點A，B

3、，C的坐標；（2） 當CBD為等腰三角形時，求點D的坐標.（太原市中考試題）解題思路：對于（2），利用“腰相等”建立方程，解題的關(guān)鍵是分類討論. 【例4】 如圖，已知在RtABC中，C90°，AC3，BC4，點E在直角邊AC上（點E與A，C兩點均不重合）.（1）若點F在斜邊AB上，且EF平分RtABC的周長，設(shè)AE，試用的代數(shù)式表示S；（2）若點F在折線ABC上移動，試問：是否存在直線EF將RtABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，則求出AE的長；若不存在直線EF，請說明理由. （常州市中考試題） 解題思路：幾何計算問題代數(shù)化，通過定量分析回答是否存在這樣的直線EF，將線段的計

4、算轉(zhuǎn)化為解方程. 【例5】 某公司投資新建了一商場，共有商鋪30間，據(jù)預測，當每間的年租金定為10萬元時，可全部租出. 每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元.（1）當每間商鋪的年租金定為13萬元時，能租出多少間？（2）當每間商鋪的年租金定為多少萬元時，該公司的年收益（收益租金各種費用）為275萬元？ （紹興市中考試題） 解題思路：解題的關(guān)鍵是把復雜的數(shù)量關(guān)系分解成若干個小問題，再尋找各個小問題間量與量的關(guān)系.【例6】 已知：如圖1，在RtACB中，C90°，AC4cm，BC3cm，點P由點

5、B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2 cm/s .連結(jié)PQ.若設(shè)運動的時間為（s）（02），解答下列問題：（1）當為何值時，PQBC？（2）設(shè)AQP的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使線段PQ恰好把RtACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；（4）如圖2，連結(jié)PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP´C，那么是否存在某一時刻，使四邊形PQP´C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由. （青島市中考試題） 解題思路：對于（3），先求出PQ平

6、分RtACB周長時的值，再看求出的值是否滿足由面積關(guān)系建立的方程 能力訓練 A級1. 某工廠把500萬元資金投入新產(chǎn)品生產(chǎn)，第一年獲得了一定的利潤，在不抽調(diào)資金和利潤（即將第一年獲得的利潤也作為生產(chǎn)資金）的前提下，繼續(xù)生產(chǎn)，第二年的利潤率（即所獲利潤與投入生產(chǎn)資金的比）比第一年的利潤率增加了8%.如果第二年的利潤為112萬元，為求第一年的利潤率，可設(shè)它為，那么所列方程為_. （濟南市中考試題）2. 如圖，在長為10cm、寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下陰影部分面積是原矩形面積的80%，則所截去的小正方形的邊長是_. （廣東省中考試題）3. 有一旅客攜帶了30千克行李從

7、南京祿口國際機場乘飛機去天津. 按民航規(guī)定，旅客最多可免費攜帶20千克行李，超重部分每千克按飛機票價的1.5%購買行李票，現(xiàn)該旅客買了120元的行李票，則他的飛機票價格應(yīng)是_.4. 已知實數(shù)、滿足，則的值為（ ） A.7 B. C. D. 5 5. 一個跳水運動員從10米高臺上跳水，他每一時刻所在的高度（單位：米）與所用時間（單位：秒）的關(guān)系式是，則運動員起跳到入水所用的時間是（ ） A. 5秒 B. 1秒 C . 1秒 D. 2秒6. 某種出租車的收費標準時：起步價7元（即行駛距離不超過3千米都需付7元車費），超過3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米計），某人乘這種出租

8、車從甲地到乙地共支付車費19元，設(shè)此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是千米，那么的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.5 7. 如圖，菱形ABCD的邊長為，O是對角線AC上的一點，且OA，OBOCOD1，則（ ） A. B. C. 1 D.2 第2題圖 第7題圖8. 我市向民族地區(qū)的某縣贈送一批計算機，首批270臺將于近期起運. 經(jīng)與某物流公司聯(lián)系，得知用A型汽車若干輛剛好裝完；用B型汽車不僅可少用1輛，而且有一輛車差30臺計算機才裝滿.（1）已知B型汽車比A型汽車每輛車可多裝15臺，則A，B兩種型號的汽車各能裝計算機多少臺？（2）已知A型汽車的運費是每輛350元，B型汽車的運費是每

9、輛400元。若運送這批計算機用這兩種型號的汽車，其中B型汽車比A型汽車多用1輛，所用運費比單獨用任何一種型號的汽車都要節(jié)省，按這種方案需A，B兩種型號的汽車各多少輛？運費多少元？ （四川省中考試題）9. 某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只需交10元用電費；如果超過A度，則這個月除了仍需交10元用電費外，超過部分還需按每度元交費.下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費情況：月份用電量（度）交電費（元）3月80254月4510根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，電廠規(guī)定的A（度）為多少？ （蘇州市中考試題）10. 某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦感染，經(jīng)過兩輪感染后就

10、會有81臺電腦被感染. 請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？ （廣東省中考試題）11. 某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應(yīng)高于購進的價格，第二個月結(jié)束后，批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元. 設(shè)第二個月單價降低元.（1）填表（不需化簡）： 時間 第一個月 第二個月 清倉時單價（元）8040 銷售量（件

11、）200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應(yīng)是多少元？（南京市中考試題） B級 1. 如圖，梯子AB斜靠在墻上，ACB90°，AB5m，BC4m，當點B下滑到點B´時點A向左平移到點A´，設(shè)BB´，當_時，點B下滑的距離與點A向左平移的距離相等. （徐州市中考試題） 2. 如圖，在RtABC中，C90°，BC6cm，CA8cm，動點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA，AB移到點B，則C點出發(fā)_秒時，可使.3. 甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線起跑，繞過P點回到起跑線（如圖所示

12、）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑；用時少者勝.結(jié)果，甲同學由于心急，掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完。事后，乙同學說：“我倆所用的全部時間的和為50秒，撿球過程不算在內(nèi)時，甲的速度是我的1.2倍?！备鶕?jù)圖文信息，請問哪位同學獲勝？（江西省中考試題） 4. 一個批發(fā)與零售兼營的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆301支以上（包括301支），可以按批發(fā)價付款；購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款.現(xiàn)有學生小王來購買鉛筆，如果給學校初三年級每人買1支，則只能按零售價付款，需用（）元（為正整數(shù)，且100）；如果多買60支，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用（）元.（1）設(shè)這個學校初三

13、年級共有名學生，則的取值范圍是_；鉛筆的零售價每支應(yīng)為_元，批發(fā)價每支應(yīng)為_元.（用含，的代數(shù)式表示）（2）若按批發(fā)價每購買15支，比按零售價每購15支少付款1元，試求這個學校初三年級共有多少名學生，并確定的值.5. 在一次汽車比賽中，有三輛汽車在起點同時同向出發(fā)，其中第二輛車每小時輛車比第一輛車少走5公里，而比第三輛車多走7.5公里；第二輛車到達終點比第一輛車遲3分鐘，而比第三輛車早到5分鐘.假設(shè)它們在路上都沒停過.（1）比賽的路程是多少公里？（2）第二輛車的速度是每小時多少公里？ （荊州市競賽試題）6.象棋比賽共有奇數(shù)個選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤.記分辦法是勝一盤得1分，和一盤

14、各得0.5分，負一盤得0分. 已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，參加此次比賽的選手共有多少人？ （天津市競賽試題） 7. 如圖，有矩形地ABCD一塊，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面積為這塊地面積地一半，且花圃四周的道路寬相等.今無測量工具，只有無刻度的尺和夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度？ 8. 小明有5張人民幣，面值合計20元. （1） 小明的5張人民幣的面值分別是_元、_元、_元、_元、_元.（2）小明來到水果店，稱了公斤蘋果（是整數(shù)），按標價應(yīng)付元，正好等于小明那5張人民幣中的2張面值之和；這時果筐里還剩6公斤蘋果，店主便對小明說：“如果你把這剩下的也都買去，那么連同剛才已經(jīng)稱的，一共就付10元錢吧?！毙∶饕凰?，這樣相當于每公斤比原標價減少了0.5元，本著互利原則，便答允了，試求和. （江蘇省競賽試題）9. 如圖，等腰RtABC的直角邊AB2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，以相等的速度作直線運動.已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D.（1）當AP的長為何值時，？