立體幾何中的向量方法——證明平行和垂直PPT課件

1、 一、一、 用空間向量處理用空間向量處理“平行平行”問題問題 第1頁/共22頁 一、一、 用空間向量處理用空間向量處理“平行平行”問問題題 nm0mnmnmn第2頁/共22頁GAEDCBFHMN例例1.如圖：如圖：ABCD與與ABEF是正方形，是正方形，CB平面平面ABEF，H、G分別是分別是AC、BF的的中點(diǎn)，且中點(diǎn)，且AH=GF. 求證：求證： HG平面平面CBE.第3頁/共22頁GAEDCBFHP第4頁/共22頁GAEDCBFHyzx證明：分別以證明：分別以BE、BA、BC為為x、y、z軸建立空軸建立空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系o-xyz.設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為2第5頁/共22頁GA

2、EDCBFH變式：將題中的變式：將題中的“H、G分別為分別為GA、BF的中的中點(diǎn)點(diǎn)”改為改為“AH=GF” 求證：求證：HG平面平面CBE第6頁/共22頁GAEDCBFHozy證明：由已知得：證明：由已知得：AB、BC、BE兩兩垂直，故可兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系o-xyz.x設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為1, AH=FG=a, 則則H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),22222222故故 ,而平面而平面CBE的法向的法向量為量為 (0,1,0), 故故 ,而而 平面平面CBE 故故 HG平面平面CBE )22, 0 ,22

3、1 (aaHGnHGnH第7頁/共22頁RDBCAA1QPNMD1C1B1例例2.在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分別是分別是A1B1和和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且上的動(dòng)點(diǎn)，且A1P=BQ，M是是AB1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，N是是PQ的的中點(diǎn)中點(diǎn). 求證：求證： MN平面平面AC.M是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，N是中點(diǎn)是中點(diǎn) MNRQ MN平面平面AC第8頁/共22頁DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖證明：建立如圖所示的空間直角所示的空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為2，又又A1P=BQ=2x則則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x

4、, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)MN所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量為向量為 (0, 0, 1)， n0nMN又又M不在平面不在平面AC 內(nèi)，所以內(nèi)，所以MN平面平面ACnMN第9頁/共22頁DCBAD1C1B1A1例例3.在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：中，求證： 平面平面A1BD平面平面CB1D1平行四邊形平行四邊形A1BCD1 A1BD1C平行四邊形平行四邊形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1第10頁/共22頁DCBAD1C1B1A1ozyx證明：建立如圖所示的證明：建立如圖所示的空間

5、直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為1，則向量則向量)1 , 0 , 1 (1DA)0 , 1 , 1 (DB設(shè)平面設(shè)平面BDA1的法向量的法向量為為),(zyxn 則有則有x+z=0 x+y=0令令x=1,則得方程組的解為則得方程組的解為x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量為的法向量為) 1, 1, 1 (n第11頁/共22頁DCBAD1C1B1A1FGHE例例4.在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分別是分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的的中點(diǎn)中點(diǎn). 求證：求證： 平面平面AEH平面平面BDGFADGF，A

6、D=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四邊形平行四邊形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGF第12頁/共22頁DCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證：建立如圖所示的略證：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系o-xyz則求得平面則求得平面AEF的法向的法向量為量為) 1 , 2 , 2(n求得平面求得平面BDGH的法向的法向量為量為) 1 , 2 , 2(m顯然有顯然有nm故故 平面平面AEH平面平面BDGF第13頁/共22頁 二、二、 用空間向量處理用空間向量處理“垂直垂直”問題問題 第14頁/共22頁 二、二、 用空間向量處理用空間向量處理“垂直

7、垂直”問問題題 0mnnmnmnm第15頁/共22頁: ,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例5 在正方體中.E,F分別是的中點(diǎn).求證：平面FEXYZ,DA DC DDxyz 證明:如圖取分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2.( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0( 1,1, 2) (0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面AA(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)第16頁/共22頁ADBPCMN第

8、17頁/共22頁ADBPCMN證明證明: 分別以分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系 , ,i j k Axyzxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且且平平面面可可設(shè)設(shè)(0,0,0),(0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),ABCD (0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MNPDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MNDCMNDC PDDCDMNPDC 又又平平面面第18頁/共

9、22頁例例6 6：如圖，在正三棱柱：如圖，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分別是分別是BBBB1 1、CCCC1 1上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，且且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。求證。求證: :面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzy第19頁/共22頁AFEC1B1A1CBzy 不防設(shè)不防設(shè) a =2a =2，則則A A（0 0，0 0，0 0），），B B（ 3 3 ，1 1，0 0），），C C（0 0，2 2，0 0），），E E（ 3 3，1 1，2 2） ，F(xiàn) F（

10、0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（ 3 3，1 1，2 2）AF=AF=（0 0，2 2，4 4），因?yàn)?，），因?yàn)?，x x軸軸 面面ACFACF，所以可取面，所以可取面ACFACF的法向量為的法向量為m=m=（1 1，0 0，0 0），），設(shè)設(shè)n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法的法向量，則向量，則xnAE=nAE= 3x+y+2z=03x+y+2z=0nAF=2y+4z=0nAF=2y+4z=0 x=0 x=0y= -2zy= -2z令令z=1z=1得得, , n=n=（0 0，-2-2，1 1）顯然有顯然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF證明：如圖，建立空間直角