2018第一輪復習放縮法技巧全總結(jié)

1、放縮法在數(shù)列不等式中的應用數(shù)列不等式是高考大綱在知識點交匯處命題精神的重要體現(xiàn)，在高考試題中占有重要 地位，在近幾年的高考試題中，多個省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數(shù)列不等式的求 解常常用到放縮法，筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)學生在用放縮法處理此類問題時 ，普遍感到困 難，找不到解題思路?，F(xiàn)就放縮法在數(shù)列不等式求解過程中常見的幾種應用類型總結(jié)如下 。1. 直接放縮，消項求解例1在數(shù)列 Wb 中,內(nèi)=2,b =4,且務,加©1成等差數(shù)列,5,務ib 1成等比數(shù)列.n N (I)求azGd及tbsb,由此猜測an DbJ的通項公式，并證明你的結(jié)論;1115(H) 證明：-.印a2 +b2an

2、 +bn 12分析：(I)數(shù)學歸納法。(n)本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積，可將其放縮為等差型兩項之積 通過裂項求和。(I) 略解 an 二 n(n 1), bn =(n 1)0 -,由（1）知 anf 0,1，所以 1 anj an_1 乞 3 且 1 - 寺-0 .1 1 (n). n 之時，由(I)知 an bn =(n 1)(2n 1)2(n 1)n .印61211 111n(n + 1)丿故- -6+R a2+b2an+bn 6 2(23 3漢4111111 1 1十一I 十一一一十十一62 2334 nn1n +1 丿 641i，綜上，原不等式成立.點評：數(shù)列和式不等式中，

3、若數(shù)列的通項為分式型，可考慮對其分母進行放縮，構(gòu)造等差型因式之積。再用裂項的方法求解另外，熟悉一些常用的放縮方法，如:1 1一 <2n n k1 1 1<(k "2, n),丄-丄n 1n n 1n(n 1)1 11£ =n(n-1)n-1n例2設數(shù)列3n滿足3 =1,an 1 = can 2 * 1 - an - 3c （1 - an 4 ）1an E3c（1an）& ）乜2 勻）2 c（31 ）a（1仁 0（3） an 一1 -（3c）n（n N*）點評：直接對多項式放大后，得到的是等比型遞推數(shù)列，再逐項遞推得到結(jié)論。通過放縮得 1 -c,c N *

4、其中c為實數(shù)（I）證明：3n 0,1對任意n N*成立的充分必要條件是0,1;（H）設0：c），證明：3n -1（3c）2 n N*;3分析：（I）數(shù)學歸納法證明（U）結(jié)論可變形為1 - 3n冬（3c） 2 ,即不等式右邊為一等比數(shù)列通項形式，化歸思路為對1-3n用放縮法構(gòu)造等比型遞推數(shù)列，即 1 - 3n =C（1 -an）（1 3n4 3.'）乞 3C（1 - J解：（I）解略。（n）設 0 ： c ：1，當 n =1 時，aj = 0，結(jié)論成立，當 n 一 2 時，332 an = can 1 c,.1 an =c（1 an）（1 - an an）到等比型遞推數(shù)列是求解數(shù)列不等式

5、的另一個重要的類型2. 利用基本不等式放縮例 3已知數(shù)列 !，an -0，ai= 0，ani - an 1 -1 = a/(n N*)，記 Sn=ai a2 an，二 1 1 ai (1 ai)(1 a2)(1 ai)(1 a2)(1 - an)求證：當 n N 時，(I) an < an 1 ;(H) Sn - n - 2 ;(川)Tn :： 3。分析：(I)在an色0的條件下，an <an*的等價形式為an2<anj ,要證an2<an*2 ,只需 證am2 -an2 J-an1 .0,即證an <1 ,可用數(shù)學歸納法證明(n)由 an1 -an =1 -an

6、1 累加及 an <1 可得(E)和式通項的分母由1 - an累乘得到的,條件中可有ak 4(1 ak .J = 1 ak2得到，但1亠a(1 ak!)二匚丄 的分子分母次數(shù)不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數(shù)列akHf(I)解略。(n)解略。2 2(E)證明：由 ak 1 ' ak 1 1 ' ak2ak ,得p < 瓷(k=2,，n-1 , n A 3)所以1(1a3)(1 a。)川(1a.)an2nJ 3)于是1(1 %)(1 % 川 1(1 *n)an2(a2a?)an尹¥(n A 3),1 1故當 n A 3時，Tn <1 1在：3 ,

7、又因為： T2 : T3,所以 Tn ： 3 .2 2點評：本題第三問，基本不等式的應用使構(gòu)造等比型遞推數(shù)列成為可能，在公比q乞1時,等比數(shù)列的前n項和趨向于定值，即前n項和有界，這為數(shù)列和式范圍的證明提供了思路。3. 利用數(shù)列的單調(diào)性放縮k例4數(shù)列an為非負實數(shù)列，且滿足：ak -2aki ak.2-0 , aa：豈1, k =1,2;U4、 2求證：0 _ ak - ak i 2(k = 1,2,).k分析：有時數(shù)列不等式的證明可以在數(shù)列單調(diào)性的前提下進行放縮。證明：若有某個ak: aki，則ak i _ak- ak i ak .2 :ak.2，從而從ak起，數(shù)列a.單調(diào)遞k增，和Sn =

8、ai a- - an會隨n的增大而趨向于無窮，與a< 1, k =1,2-矛盾，所以i=1an是單調(diào)遞減的數(shù)列，即ak-a-iO，令bn = ak - ak i, k =1,2，由 ak '2ak 1 ak 2 亠0 得 a ak 1 - ak 1 -k 2，即 bk 亠 bk 1, k = 1,2， 由于 1 丄 a1 a ak二 b1 2a2 a3 ak=b1 2b2 3a3ak-b1 2a2 3b3 E7ak一0 2b2 3b3kbk_(12 3 k)bkk(k 1)2bk2k(k 1)2：Q點評：本題考慮了數(shù)列an，bn的單調(diào)性，然后利用放縮法進行證明 又如，例3的第三問

9、也可用單調(diào)性證明：1 an : an 1,及 an 0, n n 罟，要證Tn <3,1-亠 1-丄 a21 a2 n(1a1)(1 a2)(1an)T<1n _+ 1 + 1+11 a11a2(1 a2)2(1 an)n41-(J)n只要證11 a2<3,即比弓而"號2,所以問題得證4. 放縮法在數(shù)學歸納法的應用數(shù)列不等式是與自然數(shù)有關的命題，數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)有關的命題的重要方法。應用數(shù)學歸納法證明時，通常要利用放縮法對條件進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化，才能實現(xiàn)由n二k時成立到n = k 1時也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列不等式的求解過程中，通過放縮法的應用，主要使數(shù) 列不等式轉(zhuǎn)化為以下兩種類型：（1）可直接裂項的形式，再求和證明求解。（等差型）（2）等比型遞推數(shù)列，q <1時，數(shù)列前n