地下水動力學地下水流基本微分方程及定解條件(1)

1、第二章第二章 地下水流基本微分方程及定解條件地下水流基本微分方程及定解條件基本理論：連續(xù)性假設基本理論：連續(xù)性假設+ +達西定律達西定律+ +水均衡原理水均衡原理對各種水流問題建立基本微分方程及數(shù)學模型對各種水流問題建立基本微分方程及數(shù)學模型： 按空間維數(shù)：一維、二維（平面二維、剖面二維）、三維按空間維數(shù)：一維、二維（平面二維、剖面二維）、三維 按含水層類型：承壓水流、潛水流、多層（越流聯(lián)系）等按含水層類型：承壓水流、潛水流、多層（越流聯(lián)系）等求解數(shù)學模型（利用解析法），得到一些典型解析解：求解數(shù)學模型（利用解析法），得到一些典型解析解： 裘布依穩(wěn)定井流模型裘布依穩(wěn)定井流模型 無越流承壓含水層

2、中的完整井流（泰斯模型）無越流承壓含水層中的完整井流（泰斯模型） 無越流潛水含水層中的完整井流（博爾頓模型無越流潛水含水層中的完整井流（博爾頓模型-考慮滯后給水、考慮滯后給水、 紐曼模型紐曼模型-考慮流速垂直分量和彈性儲量）考慮流速垂直分量和彈性儲量） 越流系統(tǒng)中的承壓完整井流模型越流系統(tǒng)中的承壓完整井流模型應用：應用： 預測抽水條件下的水頭變化；預測抽水條件下的水頭變化； 利用抽水試驗資料求含水層參數(shù)。利用抽水試驗資料求含水層參數(shù)。第二章第二章 地下水流基本微分方程及定解條件地下水流基本微分方程及定解條件教學目標：教學目標：準確理解滲流連續(xù)性概念準確理解滲流連續(xù)性概念掌握達西定律和質量守恒原

3、理的應用掌握達西定律和質量守恒原理的應用掌握建立地下水基本微分方程的思想方法掌握建立地下水基本微分方程的思想方法幾種典型的地下水流方程的推導幾種典型的地下水流方程的推導 潛水剖面二維流、平面二維流潛水剖面二維流、平面二維流 承壓水二維流承壓水二維流 三維流三維流邊界條件概化，初始條件確定方法與原則邊界條件概化，初始條件確定方法與原則能夠用數(shù)學模型描述實際問題能夠用數(shù)學模型描述實際問題第二章第二章 地下水流基本微分方程及定解條地下水流基本微分方程及定解條件件主要內容：主要內容：建立連續(xù)性方程建立連續(xù)性方程分析含水層與巖石、流體壓縮性關系分析含水層與巖石、流體壓縮性關系建立不同含水層地下水流微分方

4、程建立不同含水層地下水流微分方程討論邊界條件及初始條件討論邊界條件及初始條件 用數(shù)學模型描述實際問題用數(shù)學模型描述實際問題 2.1 2.1 水和多孔介質的壓縮性水和多孔介質的壓縮性水的壓縮方程（地下水的狀態(tài)方程水的壓縮方程（地下水的狀態(tài)方程)0)(00000ln)( 1VVeVVppdVVdpppVVppdpdVVVdVdp11假定水近似地符合彈性變形，依虎克定律，有 p 為水壓； V 為水的體積；為水的體積彈性壓縮(或膨脹)系數(shù)E為體積彈性模量 。V隨p增大而減小，即dV/dp0 積分1E壓縮系數(shù)：壓縮系數(shù)：單位壓力變化時引起的液體單位體積的單位壓力變化時引起的液體單位體積的變化量，單位為平

5、方米每牛。其倒數(shù)為體積模量，變化量，單位為平方米每牛。其倒數(shù)為體積模量，單位為帕斯卡。水體壓縮系數(shù)與壓力和溫度有關。單位為帕斯卡。水體壓縮系數(shù)與壓力和溫度有關。水的壓縮方程水的壓縮方程0( )22323()23000(0)(0)(0)( )( )1!2!1.2!3!1()()().2!3!nnxppffff xf xxxxnxxexepppppp )()(1 )(1)(100000000)(0ppVVppVVppVVppepp0)(0VVepp按Taylor級數(shù)展開由于很小，且p變化不大，故)()()(00000000ppVVppVVVppVVV水的壓縮方程水的壓縮方程pVV0pVVVdVdp

6、11 (1 5)dddpdp 由于VV0變化不大，故由于ddmmdVdVmV)1()(水的壓縮方程水的壓縮方程多孔介質的壓縮方程多孔介質的壓縮方程vbvsbbbdVdVVVVVdVdpdpd1 bbVdVd1假定多孔介質近似地符合彈性變形，依虎克定律，有 為巖土的體積彈性壓縮系數(shù)。如果上部荷載不變，則由于骨架部分體積不變VvnVb；Vs(1-n)Vb111svsvbbsvdVdVdVdVnnV dV dVdV d VvnVb；Vs(1-n)Vb式中 多孔介質固體顆粒壓縮系數(shù)，表示多孔介質中固體顆粒本身的壓縮性的指標，sp； 多孔介質中孔隙壓縮系數(shù)（Compressibility of the

7、pores of a porous medium），表示多孔介質中孔隙的壓縮性的指標。n多孔介質的孔隙度。 1-8因 ，故 。ddVVddVVvbsb11ddVVnddVVnvvss1psnn)1 (ddVVsss1ddVVvvp1(1)spnpn1-9說明本節(jié)假設：假定多孔介質變形符合彈性規(guī)律，對研究含水層釋水時可用；但對研究地面沉降問題時，應用有所差異。水的壓縮方程水的壓縮方程pVVVdVdp1dpd多孔介質的壓縮方程多孔介質的壓縮方程)1 (epedHdpbbVdVd1psnn)1 (pn測壓水頭圖2-2-1 飽和含水介質中受力情況2.2 2.2 水和多孔介質的壓縮性水和多孔介質的壓縮性

8、spphp地下水彈性儲存概念地下水彈性儲存概念取一典型處于平衡狀態(tài)的飽和地層柱體來研究，這里只考慮垂直一維壓密，忽略側面上粒間力(包括內聚力和摩擦力)的作用。含水層上覆巖土體、地表建筑物和大氣壓力等荷載形成的總壓應力總壓應力 由粒間應力的垂向分量垂向分量 s s和孔隙水應力孔隙水應力p p兩者來平衡. ps)1 (為單位水平面積中顆粒間接觸面積的水平投影.由于 0， 入滲vW0， 蒸發(fā)W定義為潛水面處單位水平面積、單位時間的入滲量定義為潛水面處單位水平面積、單位時間的入滲量布西涅斯克方程推導),(txxh),(txxq),(txq),(txhtthth圖2-4-2 潛水剖面二維流均衡要素圖 x

9、研究剖面二維流（x-z)均衡單元體：長度為x，寬度為1個單位的含水層柱體均衡 V=流入流出均衡時段 ttqtqtQV1txWtqtqVtxxtx,x方向流入流出差tqtqtxxtx,z方向流入 上邊界潛水面邊界txWtxWtWV1下邊界隔水邊界 V=0dtxttxxhhV1,x,z方向流入流出差單元體內水體積的增量表現(xiàn)為水位在該時段內的上升或下降dtxttxtxxtxxhhVtxWtqtqV1,),(txxh),(txxq),(txq),(txhtthth圖2-4-2 潛水剖面二維流均衡要素圖 xxhKhqthWxqtxxd0, 0水均衡方程:dtxttxtxxtxdtxttxtxxtxthh

10、WxqqxhhtxWqq,thWxhKhxd布西涅斯克方程推導thWxhKhxd注意:1. d為重力給水度，是在重力作用下單位水平面積的潛水含水層柱體在其潛水面下降或上升單位水頭時釋放或儲存的水量。2. 上述推導運用了裘布依假定，忽略垂向分流速，因此可近似用x代替s.3. 布西涅斯克方程將刻畫潛水面邊界問題簡單化為用W直接表示。布西涅斯克微分方程線性化布西涅斯克方程線性化布西涅斯克方程tWhxKxhhtWhxKxhhhthWxhKxhhhdmmddmm即端的再以平均值代替方程左，有并令方程兩端均乘方法代替并視為常量用平均值中的將方程左端第一項括號方法,21,: )2(,: ) 1 (2tWyK

11、yhxKxhthWyhKyhxhKxhtHWyhKhyxhKhxdmmdmmd:,性化后的方程分別為相應第一種和第二種線所得布西涅斯克方程為推廣到三維流問題線性化布西涅斯克方程線性化布西涅斯克方程22222222222222,(/)(/),11mdmdmdKhxytTTKhaTLTLTaxytKhrrrtrrrt對于均質含水層，且無垂向補排時，可得引入和 分別為潛水含水層的導水系數(shù)和水力傳播系數(shù)對于軸對稱潛水流問題 采用極坐標系和線性化布西涅斯克方程線性化布西涅斯克方程2.5 2.5 地下水流動定解條件及數(shù)學模型地下水流動定解條件及數(shù)學模型地下水流動控制微分方程n潛水二維不穩(wěn)定流動控制方程n承

12、壓水二維不穩(wěn)定流動控制方程定解條件n邊界條件n初始條件tHyHZHKyxHZHKxdyyxx)()(tHyHMKyxHMKxeyyxx)()(2.5 2.5 地下水流動定解條件及數(shù)學模型地下水流動定解條件及數(shù)學模型1 數(shù)學模型的有關概念數(shù)學模型的有關概念 同一形式的偏微分方程代表了整個一大類的地下水流的運動規(guī)律，而對于不同邊界性質、不同邊界形狀的含水層，水頭的分布是不同的。而且對于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定滲流區(qū)條件的全部信息，方程可能存在無數(shù)個解，如需要從大量的可能解中求得與特定區(qū)域條件相對應的唯一特解，就必須提供反映特定區(qū)域特征的信息。這些信息包括： （1）微分方程中的有關參

13、數(shù)， 當這些參數(shù)確定后，微分方程才能被確定下來。WT,（2）滲流區(qū)范圍和形狀，當微分方程所對應的區(qū)域被確定之后才能對方程求解。（3）邊界條件邊界條件(boundary conditions)：表示滲流區(qū)邊界所處的條件，用以表示水頭H（或滲流量q）在滲流區(qū)邊界上所應滿足的條件，也就是滲流區(qū)內水流與其周圍環(huán)境相互制約的關系。（4）初始條件初始條件(initial conditions)：表示滲流區(qū)的初始狀態(tài)，某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內水頭H的分布情況。將邊界條件邊界條件和初始條件初始條件并稱為定解條件定解條件, 指水頭、流量等滲流運動要素在流場邊界上的已知變化規(guī)律，這種變化規(guī)律是由流場外

14、部條件引起的，但它不斷地影響流場內部的滲流過程并在整個期間一直起作用。微分方程和定解條件一起構成滲流場的數(shù)學模型。數(shù)學模型。 數(shù)學模型數(shù)學模型：描述某一研究區(qū)地下水流運動的數(shù)學方程與其定解條件共同構成的表示某一實際問題的數(shù)學結構。亦即從物理模型出發(fā)，用簡潔的數(shù)學語言，即一組數(shù)學關系式來刻畫它的數(shù)量關系和空間形式，從而反映所研究地質體的地質、水文地質條件和地下水運動的基本特征，達到復制或再現(xiàn)一個實際水流系統(tǒng)基本狀態(tài)的目的的一種數(shù)學結構。其中微分方程表示地下水的流動規(guī)律，定解條件表明研究對象所處的特定環(huán)境條件，即所研究的地下水流的真實狀態(tài)。定解問題是給定了方程（或方程組）和相應定解條件的數(shù)學物理問

15、題。建立模型是指建立數(shù)學模型的過程。二、定解條件二、定解條件(1) 第一類邊界條件第一類邊界條件(Dirichlet條件)：如果在某一部分邊界(設為S1或1)上，各點在每一時刻的水頭都是已知的，則這部分邊界就稱為第一類邊界或給定水頭的邊界，表示為:或 給定水頭邊界不一定就是定水頭邊界?？梢宰鳛榈谝活愡吔鐥l件來處理的情況： 河流或湖泊切割含水層，兩者有直接水力聯(lián)系時，這部分邊界就可以作為第一類邊界處理。此時，水頭是一個由河湖水位的統(tǒng)計資料得到的關于t的函數(shù)。但要注意，某些河、湖底部及兩側沉積有一些粉砂、亞粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力聯(lián)系受阻，就不能作為第一類邊界條件來處理。11( ,

16、, , )|( , , , ),( , , )sH x y z tx y z tx y zs11( , , , )|( , , ),( , )H x y z tx y tx y 區(qū)域內部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作為給定水頭的內邊界來處理。此時，水頭通常是按某種要求事先給定，例如給定抽水井的允許降深等。上面介紹的都只是給定水頭的邊界。注意，給定水頭邊界不一定是定水頭邊界。 排泄地下水的溢出帶、沖溝或排水渠的邊界也可近似看作給定水頭邊界。(2)第二類邊界條件(Neumam條件)：當知道某一部分邊界(設為S2或2)單位面積(二維空間為單位寬度)上流入(流出時用負值)的流量q時，稱為第二類邊界

17、或給定流量的邊界。相應的邊界條件表示為:式中，n為邊界S2或2的外法線方向。q1和q2則為已知函數(shù)，分別表示S2上單位面積和2上單位寬度的側向補給量。常見的這類邊界條件： 隔水邊界（流線、分水嶺）：0nH2221),(),(),(),(yxtyxqnHTStzyxtzyxqnHK或 抽水井或注水井： 補給或排泄地下水的河渠邊界上，如已知補給量。（3）第三類邊界條件：某邊界上H和 的線性組合是已知的，即有： 又稱混合邊界條件，為已知函數(shù)。邊界為弱透水層（滲透系數(shù)為K1，厚度或寬度為m1），wwrQnHT2（1-108）nH（1-109）nHHnH11Km),()(11tzyxqHHmKnHKn在

18、s3上,在 3上,浸潤曲線的邊界條件：當浸潤曲線下降時，從浸潤曲線邊界流入滲流區(qū)的單位面積流量q為：式中，為給水度，為浸潤曲線外法線與鉛垂線間的夾角。（1-110）（1-111）qnHKc2（1-112）（1-113）03HHnHKnS03HHMnHTnqnHKc2cos*tHq 一、定解條件潛水面邊界 tHWzHKxHKztzyxHpdzzxx2)(),(0tHWzHKyHKxHKdzzyyxx22)()(三維條件下 3) 初始條件初始條件:某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內水頭H的分布情況?；?其中，H0為D上的已知函數(shù)。DzyxzyxHtzyxHt),(),(| ),(00（1-114

19、）DzyxyxHtyxHt),(),(| ),(00（1-115） (1)線性、非線性模型模型由線性方程所組成，稱為線性模型，如均質各向同性承壓二維流方程。模型由非線性方程所組成，稱為非線性模型，如潛水模型方程。 (2)靜態(tài)、動態(tài)模型 根據(jù)模型中未知變量與時間的關系進行劃分，若未知變量與時間無關，如穩(wěn)定流模型，稱為靜態(tài)模型，反之，則為動態(tài)模型。 (3)集中、分布參數(shù)模型模型中不含有空間坐標變量的模型，稱為集中參數(shù)模型，如抽水井流量與降深之間的經驗公式。模型中含有空間坐標變量的模型，稱為分布參數(shù)模型。 (4)確定性與隨機性模型確定性模型確定性模型：數(shù)學模型中各變量之間有嚴格的數(shù)學關系的模型。 隨

20、機性模型隨機性模型：數(shù)學關系式中含有一個或多個隨機變量的模型。三、三、 滲流數(shù)學模型的分類滲流數(shù)學模型的分類 用確定性模型來描述實際地下水流時，如前述，必須具備下列條件： 有一個(或一組)能描述這類地下水運動規(guī)律的偏微分方程；同時，確定了相應滲流區(qū)的范圍、形狀和方程中出現(xiàn)的各種參數(shù)值。 給出相應的定解條件。對所建立的模型進行檢驗，即把模型預測的結果與通過抽水試驗或其它試驗對含水層施加某種影響后所得到的實際觀測結果或一個地區(qū)地下水動態(tài)長期觀測資料進行比較，看兩者是否一致。若不一致，就要對模型進行校正，即修正條件(1)和(2)直至滿意擬合為止。這一步驟稱為識別模型或校正模型。 經過校正后的模型，能

21、代表所研究的地質體，或者說是實際水流系統(tǒng)的復制品了，因而可以根據(jù)需要，用這個模型進行計算或預測，例如預測礦床疏干時的涌水量及地下水污染情況預測等。 解(即滿足條件和的解)是存在的(存在性)； 解是唯一的(唯一性)；要求所提問題的解存在和唯一是不言而喻的。 解對原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的(穩(wěn)定性)。即穩(wěn)定性的要求，意味著當參數(shù)或定解條件發(fā)生微小變化時，所引起的解的變化也是很微小的。只有有了這條保證，當參數(shù)和定解條件的數(shù)據(jù)有某些誤差時，所求得的解才能仍然接近于真解；否則，解是不可信的，并應該認為此時的數(shù)學模型是有毛病的。在實際工作中，原始數(shù)據(jù)有某種誤差，在所難免，所以這個條件很重要。 適定問題（Well

22、 posed problem ）是指數(shù)學模型滿足（1）解是存在的（存在性），（2）解是唯一的（唯一性），（3）解對原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的（穩(wěn)定性）這三個條件的問題。只要有一條不滿足就是不適定問題。正問題是根據(jù)數(shù)學模型、給定的含水層水文地質參數(shù)和定解條件求解水頭的問題，又稱水頭預報問題。逆問題（inverse problem）是根據(jù)數(shù)學模型、動態(tài)觀測資料或抽水試驗資料反過來確定含水層水文地質參數(shù)的問題。4. 建立數(shù)學模型的基本要點建立數(shù)學模型的基本要點(1)確定研究區(qū)的范圍及滲流區(qū)的邊界；(2)確定滲流區(qū)的水力特征（包括埋藏條件、滲流狀態(tài)、介質特征）；(3)確定滲流區(qū)的邊界條件；(4)確定滲流區(qū)的源匯項；(5)選擇微分方程；(6)確定滲流區(qū)的初始條件。EDBAABqC線河流#1流#2#3均質、各向同性的潛水含水層，地下水流為平面非穩(wěn)定流，且與河水有直接的水力聯(lián)系。