高考數(shù)學(xué)（理）一輪規(guī)范練【52】拋物線（含答案）

1、課時規(guī)范練52拋物線課時規(guī)范練第79頁 一、選擇題1.已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線y2-x2=2的焦點,則a=() A.1B.4C.8D.16答案:C解析:根據(jù)拋物線方程可得其焦點坐標為,雙曲線的焦點為(0,2),依題意則有=2,解得a=8.2.拋物線的頂點在坐標原點,焦點與雙曲線=1的一個焦點重合,則該拋物線的標準方程可能是()A.x2=4yB.x2=-4yC.y2=-12xD.x2=-12y答案:D解析:由題意得c=3,拋物線的焦點坐標為(0,3)或(0,-3).該拋物線的標準方程為x2=12y或x2=-12y.3.已知拋物線y2=2px(p>0)上的一點M(1,

2、m)(m>0)到其焦點的距離為5,雙曲線-y2=1的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實數(shù)a的值為()A.B.C.D.答案:A解析:由題意,得1+=5,p=8.m=4.M(1,4).又A(-,0),直線AM的斜率為kAM=.a=.4.已知點P是拋物線y2=4x上一點,設(shè)點P到此拋物線準線的距離是d1,到直線x+2y-12=0的距離為d2,則d1+d2的最小值是()A.5B.4C.D.答案:C解析:設(shè)拋物線的焦點為F,則F(1,0).由拋物線的定義可知d1=|PF|,d1+d2=|PF|+d2.d1+d2的最小值為|PF|+d2的最小值,即點F到直線x+2y-12=0的距離

3、.最小值為.5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的3個點A,B,C的橫坐標之比為345,則以|FA|,|FB|,|FC|為邊長的三角形()A.不存在B.必是銳角三角形C.必是鈍角三角形D.必是直角三角形答案:B解析:設(shè)A,B,C三點的橫坐標分別為x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),由拋物線定義得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|FC|=+5k,易知三者能構(gòu)成三角形,|FC|所對角為最大角,由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù),故該三角形必是銳角三角形.6.若點P到定點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則點P的軌跡方程是

4、()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=16x或y=0(x<0)答案:C解析:點F(4,0)在直線x+5=0的右側(cè),且P點到定點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,點P到F(4,0)的距離與它到直線x+4=0的距離相等.故點P的軌跡為拋物線,且頂點在原點,開口向右,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則p=8.故點P的軌跡方程為y2=16x.二、填空題1 / 47.以拋物線x2=16y的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切的圓的方程為. 答案:x2+(y-4)2=64解析:拋物線的焦點為F(0,4),準線為y=-4,則圓心為(0,4)

5、,半徑長r=8.所以,圓的方程為x2+(y-4)2=64.8.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,若|AF|=3,則|BF|=. 答案:解析:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及拋物線定義可得,x1+1=3,x1=2.A點坐標為(2,2),則直線AB的斜率為k=2.直線AB的方程為y=2(x-1).由消去y,得2x2-5x+2=0,解得x1=2,x2=.|BF|=x2+1=.9.已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線與x軸的交點為M,N為拋物線上的一點,且滿足NF=MN,則NMF=. 答案:解析:過N作準線的垂線,垂足是P,則有PN=N

6、F,PN=MN,NMF=MNP.又cosMNP=,MNP=,即NMF=.三、解答題10.如圖,F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C在拋物線上,若=0,求|+|+|的值.解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(1,0),=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,|+|+|=x1+x2+x3+=3+3=6.11.拋物線的頂點在原點,以x軸為對稱軸,經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線,被拋物線所截得的弦長為8,試求拋物線方程.解:如圖,依題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則直線方程為y=-x+p.設(shè)直線與拋物線的交點為A(x1,y1),B(x

7、2,y2),則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+x2+,即x1+x2+=8.又A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線和直線的交點,由消去y,得x2-3px+=0,x1+x2=3p.將其代入,得p=2.所求拋物線方程為y2=4x.當拋物線方程設(shè)為y2=-2px時,同理可求得拋物線方程為y2=-4x.12.(2013廣東高考)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.(1)求拋物線C的方程;(2)當點P(x0,y0)為直線l上的定點

8、時,求直線AB的方程;(3)當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)依題意,設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy,由,結(jié)合c>0,解得c=1.所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)拋物線C的方程為x2=4y,即y=x2,求導(dǎo)得y'=x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0,同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0,因為切線PA,PB均過點P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.(3)由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.聯(lián)立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以