圓知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典復(fù)習(xí)及習(xí)題

1、圓知識(shí)點(diǎn)一、圓的定義及有關(guān)概念1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例 P為O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，O半徑為5cm，那么經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)；最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_(kāi)解題思路：圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：知識(shí)點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr

2、時(shí)，點(diǎn)在圓外。當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓上。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。例 如圖，在中，直角邊，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，那么點(diǎn)在圓A的_，點(diǎn)在圓A的_解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系答案：知識(shí)點(diǎn)三、圓的根本性質(zhì)1圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理的推論：平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，特別的圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或

3、等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。圓周角定理推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角；°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。例1 如圖，在半徑為5cm的O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，那么弦AB的長(zhǎng)是 A4cm B6cm C8cm D10cm例2、如圖，A、B、C是O上的三點(diǎn)，BAC=30°，那么BOC的大小是( )A、60° B、45° C、30° D、15°例如圖，AB是O的

4、直徑，BD是O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 知識(shí)點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1 如圖，通過(guò)防治“非典，人們?cè)鰪?qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺(jué)地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖2449所示，A、B、C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見(jiàn)，要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)

5、都相等的某處，請(qǐng)問(wèn)如果你是工程師，你將如何選址例2 如圖，點(diǎn)O是ABC的內(nèi)切圓的圓心，假設(shè)BAC=80°，那么BOC= A130° B100° C50° D65°例3 如圖，RtABC，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心與頂點(diǎn)C的距離為 A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解題思路：直角三角形外心的位置是( ) 知識(shí)點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當(dāng)直線和圓相交時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，直線和圓相交。當(dāng)直線和圓相切時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，直線和圓相切。當(dāng)直線和圓相離時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，

6、直線和圓相離。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑切線的判定定理：經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。例2如圖，AB為O的直徑，C是O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且DCB=A1CD與O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由2假設(shè)CD與O相切，且D=30°，BD=10，求O的半徑知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用外離：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)

7、，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部相離：內(nèi)含：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相切：外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部?jī)?nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距兩圓圓心的距離為d，那么有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)系 外離d>r1+r2 外切d=r1+r2 相交r1r2<d<r1+r2 內(nèi)切d=r1r2 內(nèi)含0d<r1r2其中d=0，兩圓同心例1兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖2示點(diǎn)O，O是圓心，分隔兩個(gè)肥皂

8、泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小 (2)例2如圖1所示，O的半徑為7cm，點(diǎn)A為O外一點(diǎn)，OA=15cm，相切 注意分情況求：1作A與O外切，并求A的半徑是多少？ (1) (2)(2） 作A與O相內(nèi)切，并求出此時(shí)A的半徑0，04，0，例3如下圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為0，3，OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上 1假設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為4，0，B半徑為3，試判斷A與B位置關(guān)系；_A_y_x_O 2假設(shè)B過(guò)M2，0且與A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)七、弧長(zhǎng)和扇形、圓錐側(cè)面積面積重點(diǎn)：n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=，扇形面積S扇=、圓錐側(cè)面積面積及其它們的應(yīng)用難點(diǎn)：公式的應(yīng)用1n°

9、的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=2圓心角為n°的扇形面積是S扇形= 3.全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=例2扇形的圓心角為120°，面積為300cm2 1求扇形的弧長(zhǎng)； 2假設(shè)將此扇形卷成一個(gè)圓錐，那么這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少？ 解題思路：1由S扇形=求出R，再代入L=求得2假設(shè)將此扇形卷成一個(gè)圓錐，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，就可求圓的半徑，其截面是一個(gè)以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形解：1如下圖： 300= R=30 弧長(zhǎng)L=20cm2如下圖： 20=2r r=10，R=30 AD=20 S軸截面=×BC×AD =×2&#

10、215;10×20=200cm2 因此，扇形的弧長(zhǎng)是20cm卷成圓錐的軸截面是200cm2最新考題考查目標(biāo)一、主要是指圓的根底知識(shí)，包括圓的對(duì)稱性，圓心角與弧、弦之間的相等關(guān)系，圓周角與圓心角之間的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及垂徑定理等內(nèi)容。這局部?jī)?nèi)容是圓的根底知識(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何推理和幾何計(jì)算例1、如圖，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于E，交于D (1)請(qǐng)寫(xiě)出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論； (2)假設(shè)BC=8，ED2，求O的半徑解題思路：運(yùn)用圓的垂徑定理等內(nèi)容解：(1)不同類型的正確結(jié)論有： BE=CE ;弧BD=弧CD BED=90°BOD=A

11、;ACOD，ACBC; OE2+BE2=OB2;SABCBC·OE;BOD是等腰三角形，BOEBAC; (2)ODBC， BECE=BC=4設(shè)O的半徑為R，那么OE=ODDE=R2 在RtOEB中，由勾股定理得 OE2BE2=OB2，即(R2)242=R2解得R5 O的半徑為5例2.：如圖等邊內(nèi)接于O，點(diǎn)是劣弧PC上的一點(diǎn)端點(diǎn)除外，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)1假設(shè)過(guò)圓心，如圖，請(qǐng)你判斷是什么三角形？并說(shuō)明理由2假設(shè)不過(guò)圓心，如圖，又是什么三角形？為什么？AOCDPB圖AOCDPB圖解題思路：1為等邊三角形 理由：為等邊三角形，又在O中又 又過(guò)圓心， ， 為等邊三角形 2仍為等邊三角形理由：先證

12、過(guò)程同上 又， 又 為等邊三角形例3.(1)如圖OA、OB是O的兩條半徑，且OAOB，點(diǎn)C是OB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)C作CD切O于點(diǎn)D，連結(jié)AD交DC于點(diǎn)E求證：CD=CE (2)假設(shè)將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)交OA于F，交O于B，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么?(3)假設(shè)將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)到O外的CF，點(diǎn)E是DA的延長(zhǎng)線與CF的交點(diǎn)，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么 解題思路：此題主要考查圓的有關(guān)知識(shí)，考查圖形運(yùn)動(dòng)變化中的探究能力及推理能力 解答：(1)證明：連結(jié)OD 那么ODCD，CDE+ODA=90° 在R

13、tAOE中，AEO+A=90° 在O中，OA=ODA=ODA， CDE=AEO 又AEO=CED，CDE=CED CD=CE (2)CE=CD仍然成立 原來(lái)的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)CFAO于F， 在RtAFE中，A+AEF=90° 連結(jié)OD，有ODA+CDE=90°，且OA=OD A=ODA AEF=CDE 又AEF=CED CED=CDECD=CE (3)CE=CD仍然成立 原來(lái)的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)AOCF 延長(zhǎng)OA交CF于G，在RtAEG中，AEG+GAE=90° 連結(jié)OD，有CDA+ODA=90°，且OA=ODADO=OA

14、D=GAECDE=CED CD=CE考查目標(biāo)二、主要是指點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生要學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)理解和解決與圓有關(guān)的位置關(guān)系的問(wèn)題。例1、是O的直徑，切O于，交O于，連ABCPO假設(shè)，求的度數(shù)解題思路：運(yùn)用切線的性質(zhì) .切O于是O的直徑， ，例2.如圖，四邊形內(nèi)接于O，是O的直徑，垂足為，平分1求證：是O的切線；DECBOA2假設(shè)，求的長(zhǎng)解題思路：運(yùn)用切線的判定1證明：連接，平分， DECBOA，是O的切線 2是直徑， 平分， 在中，在中，的長(zhǎng)是1cm，的長(zhǎng)是4cm考查目標(biāo)三、主要是指圓中的計(jì)算問(wèn)題，包括弧長(zhǎng)、扇形面積，以及圓柱與圓錐的側(cè)面積和

15、全面積的計(jì)算，這局部?jī)?nèi)容也是歷年中考的必考內(nèi)容之一。學(xué)生要理解圓柱和其側(cè)面展開(kāi)圖矩形、圓錐和其側(cè)面展開(kāi)圖扇形之間的關(guān)系。例1、如圖，在O中，AB=，AC是O的直徑，ACBD于F，A=30°.(1)求圖中陰影局部的面積；(2)假設(shè)用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.解題思路：1法一：過(guò)O作OEAB于E，那么AE=AB=2。 FE在RtAEO中，BAC=30°，cos30°=OA=4 又OA=OB，ABO=30°BOC=60°ACBD，COD =BOC=60°BOD=120°FS陰影= 法二：連結(jié)AD ACBD，AC是直徑，AC垂直平分BD。 AB=AD，BF=FD，。BAD=2BAC=60°，BOD=120° BF=AB=2，sin60°=， AF=AB·sin60°=4×=6。OB2=BF2+OF2即OB=4S陰影=S圓=。 法三：連結(jié)BC AC為O的直徑， ABC=90°。FAB=4， A=30°， ACBD， BOC=60°，BOD=120°S陰影=·OA2=×42·=。 以下同法一。2設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，那么周長(zhǎng)為2r， O。 例2.如