高一數(shù)學(xué)必修第一冊2019(A版)_《函數(shù)y=Asin(ωx+φ)》教材分析

1、5.6 函數(shù)sin()yax一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：用函數(shù)模型sin()yax來刻畫一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)；參數(shù)a，對函數(shù)sin()yax圖象的影響，以及函數(shù)sin()yax圖象的變換過程 . 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模的過程與方法， 函數(shù)sin()yax的圖象變換與其解析式變換之間的內(nèi)在關(guān)系 . 三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議在自然界、生活和生產(chǎn)實(shí)際及科學(xué)技術(shù)中， 周期現(xiàn)象俯拾皆是 . 以單位圓上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)引入函數(shù)sinyx，cosyx， 它們是刻畫周期變化現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型.顯然，它們是“標(biāo)準(zhǔn)化”的結(jié)果，研究清楚它們的圖象與性質(zhì)，就為研究其他周期變化現(xiàn)象作好了準(zhǔn)備 . 而將單位圓上的運(yùn)動(dòng)

2、進(jìn)行擴(kuò)展，自然是“一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)”，其擴(kuò)充點(diǎn)有圓的半徑、起點(diǎn)位置、角速度等，而刻畫這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型就是函數(shù)sin()yax，其中a， 都有特定的實(shí)際意義 . 教科書從研究筒車的運(yùn) 動(dòng) 開 始 ， 經(jīng) 過 數(shù) 學(xué) 建 模 ， 獲 得 函 數(shù)sin()yax； 再 通 過 對 函 數(shù)sin()yax的研究獲得其圖象與性質(zhì)等相關(guān)結(jié)論；最后利用這些結(jié)論可以研究生活中更廣泛的一些周期變化現(xiàn)象. 對于這部分內(nèi)容，以往教科書往往側(cè)重研究“圖象變換”，即參數(shù)a，對函數(shù)sin()yax圖象的影響 . 于是，教師在教學(xué)中就把注意力集中在三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換上， 讓學(xué)生形式化地記住“左加右減， 上加下

3、減”等口訣，再進(jìn)行大量解題訓(xùn)練，而對這個(gè)函數(shù)的實(shí)際意義卻不加關(guān)注. 本節(jié)教科書編寫，定位于構(gòu)建周期變化的函數(shù)模型，明確參數(shù)的實(shí)際意義，突出學(xué)習(xí)函數(shù)sin()yax的必要性 . 教科書首先提出研究任意勻速圓周運(yùn)動(dòng)如何用數(shù)學(xué)模型刻畫的問題， 引導(dǎo)從特殊到一般進(jìn)行提問， 滲透了數(shù)學(xué)源于生活的本質(zhì).這樣處理， 既體現(xiàn)了研究函數(shù)sin()yax的現(xiàn)實(shí)需要， 讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)函數(shù)sin()yax的必要性， 同時(shí)也能很好地體現(xiàn)課改理念，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，接下來，在針對函數(shù)sin()yax進(jìn)行研究的過程中，通過一連串的“思考”與“探究”，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、抽象、概括、綜合、分析、聯(lián)想、總結(jié)，在理解函

4、數(shù)sin()yax的實(shí)際意義的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究參數(shù)a，對函數(shù)sin()yax圖象的影響， 從而進(jìn)一步把握此函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并在此過程中體會研究函數(shù)的一般思想和方法. 在教學(xué)中，可以借助信息技術(shù)模擬筒車運(yùn)動(dòng)過程實(shí)景，抽象出其中的幾何對象與幾何關(guān)系，并動(dòng)態(tài)分析. 由于本內(nèi)容涉及多參數(shù)的函數(shù)圖象，需要分析圓周運(yùn)動(dòng)、解析式變換與圖象變換之間的多重關(guān)聯(lián)， 有較大認(rèn)知難度，利用信息技術(shù)進(jìn)行直觀、動(dòng)態(tài)、關(guān)聯(lián)地呈現(xiàn)，也可以有效地降低教學(xué)難點(diǎn). 5.6.1 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型教科書首先遵循從特殊到一般的推廣需要，提出“一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)”該用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫的問題；然后以筒車這一實(shí)際背景為例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)

5、歷數(shù)學(xué)建模的全過程 . 教學(xué)中可借助信息技術(shù)直觀呈現(xiàn)筒車運(yùn)動(dòng)的實(shí)際影像，將筒車上盛水筒的運(yùn)動(dòng)抽象成質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，觀察運(yùn)動(dòng)中的相關(guān)要素，明確相關(guān)的常量和變量，尋求盛水筒距離水面的高度與時(shí)間的關(guān)系. 在建模過程中，需要學(xué)生將生活現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，注意讓學(xué)生自主探尋運(yùn)動(dòng)變化中的常量和變量，以便更好地理解每一個(gè)字母的實(shí)際意義，通過對它們之間幾何關(guān)系或物理關(guān)系的分析， 獲得函數(shù)關(guān)系sin()hrth，體會三角函數(shù)與圓周運(yùn)動(dòng)之間的內(nèi)在聯(lián)系 . 5.6.2 函數(shù)sin()yax的圖象獲得函數(shù)模型的目的是可以更深入地研究筒車運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，這就需要進(jìn)一步研究函數(shù)sin()yax的性質(zhì) . 此函數(shù)由參數(shù)a， 所

6、確定，知道了參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響，就能把握這個(gè)函數(shù)的性質(zhì). 1. 研究的基本思路化歸是數(shù)學(xué)的重要思想方法，函數(shù)sin()yax與函數(shù)sinyx都是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，具有一般與特殊的關(guān)系. 教學(xué)中通過“思考”引導(dǎo)學(xué)生從已知出發(fā)探求未知，遵循從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的研究思路. 教科書結(jié)合函數(shù)的實(shí)際意義，從正弦函數(shù)sinyx出發(fā)進(jìn)行研究，依次考察，a對函數(shù)圖象的影響，最終整合為對函數(shù)sin()yax的整體考察 . 由于的變化涉及函數(shù)圖象的平移變換，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，建議首先研究；的變化涉及圖形的伸縮變換，是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，需要重點(diǎn)突破；在前面學(xué)習(xí)遷移下，a的變化對圖象的影響可以交

7、給學(xué)生進(jìn)行自主探究. 每一個(gè)參數(shù)的研究都要遵循從具體到抽象的思路， 研究過程中結(jié)合簡車模型來理解各參數(shù)的實(shí)際意義.這里特別強(qiáng)調(diào)， 以往教科書都是形式化地研究，a對函數(shù)圖象的影響， 并以圖象變換的結(jié)果出現(xiàn)，本教科書改變了這種做法， 注重以現(xiàn)實(shí)中圓周運(yùn)動(dòng)情境為背景，給出參數(shù)影響圖象的實(shí)際意義. 2. 重視融合信息技術(shù)借助信息技術(shù)可以直觀動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)參數(shù)a，的實(shí)際意義及其對函數(shù)sin()yax圖象的影響，有助于學(xué)生更好地理解函數(shù)圖象與函數(shù)解析式和質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)性 . 我們認(rèn)為，這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)的使用. 教師可事先提供互動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)平臺，以便學(xué)生進(jìn)行自主的實(shí)驗(yàn)操作、觀察分析、思考探究. 制

8、作互動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺的步驟如下（如圖5-7）：（1）設(shè)置三個(gè)參數(shù)a，在橫軸上取點(diǎn) x代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（x 可以取負(fù)值） . （2）在橫軸上可取原點(diǎn)o（或其他任一點(diǎn)） 為圓心作以a為半徑的圓， 以起始角對應(yīng)的點(diǎn)代表起點(diǎn)1q 位置（即將點(diǎn)0(1,0)q繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后到達(dá)的位置），經(jīng)過時(shí)間 x 后，質(zhì)點(diǎn)從起點(diǎn)1q 出發(fā)繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)x弧度后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p的位置，點(diǎn)p的縱坐標(biāo)y就等于sin()ax. （3）以 x為橫坐標(biāo)，以點(diǎn)p的縱坐標(biāo)y為縱坐標(biāo)，畫點(diǎn)( , )f x y，運(yùn)動(dòng)點(diǎn) x，則點(diǎn)f的軌跡就是函數(shù)sin()yax的圖象 . 圖5-7 學(xué)生可以任意輸入?yún)?shù)a，的值，側(cè)重兩個(gè)角度的觀察與分析：一是從圓周運(yùn)動(dòng)的

9、實(shí)際意義看質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，二是從相應(yīng)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化看圖象的變換 . 3. 探索對sin()yx，xr圖象的影響教學(xué)中，可以讓學(xué)生開展用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的探究活動(dòng). 取參數(shù)的初始值1a，1，0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)在單位圓上從點(diǎn)0q 出發(fā)以單位速度轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間x 后動(dòng)點(diǎn)到達(dá)的點(diǎn)p的縱坐標(biāo)sinyx，由此得到正弦函數(shù)sinyx的圖象 . 在此基礎(chǔ)上， 學(xué)生可自由改變的值來觀察分析圓周運(yùn)動(dòng)以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的變化 . 若使6，相應(yīng)的數(shù)據(jù)和圖形都會自運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)地變化. 從圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)際意義分析，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)在單位圓上從點(diǎn)1q 出發(fā)以單位速度轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)到任意一點(diǎn)p所需的時(shí)間總比從點(diǎn)0q 出發(fā)以相同速度轉(zhuǎn)動(dòng)到

10、點(diǎn)p所需的時(shí)間少6. 再從函數(shù)圖象上點(diǎn)的生成角度分析， 若點(diǎn)( ,)x y是函數(shù)sinyx圖象上的一點(diǎn)， 那么點(diǎn)(, )6xy就是函數(shù)sin()6yx圖象上的點(diǎn)（這從解析式的聯(lián)系上也比較容易得到驗(yàn)證），即把函數(shù)sinyx圖象上的所有點(diǎn)向左平移6個(gè)單位，就得到函數(shù)sin()6yx的圖象 . 獲得經(jīng)驗(yàn)后，再嘗試取其他值（如6，3，3等），觀察參數(shù)對函數(shù)圖象 的 影 響. 進(jìn) 一步 地， 還 可 使的 值 連續(xù) 變化 ， 以 便 動(dòng) 態(tài)直 觀 地 觀 察 函數(shù)sin()yx圖象的整體變化過程， 進(jìn)而獲得圖象平移的直觀印象， 從而得到對函數(shù)sin()yx圖象影響的一般規(guī)律 . 雖然學(xué)生有平移的直觀體驗(yàn)

11、，但教師還需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生剖析圖象平移的本質(zhì). 圖象平移實(shí)質(zhì)上是圖象上任意一點(diǎn)的平移，而點(diǎn)的平移實(shí)質(zhì)上又是點(diǎn)的坐標(biāo)的一種變換，坐標(biāo)的變換最終反映在函數(shù)解析式的變化上，結(jié)合物理意義（是初相）看函數(shù)sin()yx圖象上的點(diǎn)與函數(shù)sinyx圖象上的點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置與時(shí)間之間的內(nèi)在關(guān)系，這種關(guān)系的代數(shù)表達(dá)就是坐標(biāo)變換公式. 在自主實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，經(jīng)過討論交流，歸納概括出參數(shù)對函數(shù)sin()yx圖象影響的一般化結(jié)論 . 4. 探索(0)對sin()yx的圖象的影響通過對的研究，學(xué)生基本了解此類問題研究的基本思路和方法，教學(xué)中可以鼓勵(lì)學(xué)生在互動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺上自主探究(0)對sin()yx

12、的圖象的影響 . 將上述平臺中的參數(shù)重取初始值，回歸到已經(jīng)研究過的函數(shù)及其圖象. 如使1a，6，1，此時(shí)初始曲線為函數(shù)sin6yx的圖象 . 相對固定a，的值，僅改變的值，進(jìn)行實(shí)驗(yàn) . 若使2，則相關(guān)的圖形與數(shù)據(jù)會自動(dòng)改變 . 此時(shí)，質(zhì)點(diǎn)以點(diǎn)1q 為起點(diǎn)（6），經(jīng)過時(shí)間 x后，繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)2x弧度后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p的位置，其縱坐標(biāo)y就等于 sin 26x，此時(shí)點(diǎn)( , )f x y的軌跡就是函數(shù)sin 26yx的圖象 . 觀察所得圖象與sin6yx的圖象之間的關(guān)系. 從圓周運(yùn)動(dòng)的角度看， 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一圓周上從同一點(diǎn)1q 出發(fā)，分別以1和2的速度運(yùn)動(dòng)， 則它們到達(dá)同一位置時(shí)，2對應(yīng)的時(shí)間始終是1對應(yīng)的

13、時(shí)間的12倍. 體現(xiàn)在函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系上， 如果點(diǎn)( , )x y是函數(shù)sin()6yx圖象上的一點(diǎn)， 那么點(diǎn)(, )2xy就是函數(shù)sin(2)6yx圖象上的點(diǎn)（從函數(shù)解析式中也容易得到驗(yàn)證），即把函數(shù)sin()6yx圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，就得到函數(shù)sin(2)6yx的圖象 . 繼續(xù)讓學(xué)生改變的值（如12，3，13等），觀察函數(shù)sin()6yx的圖象與sin()6yx的圖象之間的關(guān)系 . 通過一定量的積累后，形成圖象伸縮變換的感性認(rèn)識，再進(jìn)一步從物理意義、幾何關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、 點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系等多角度進(jìn)行剖析. 在此基礎(chǔ)上， 再將上述結(jié)論一般化，得到函數(shù)sin()6

14、yx的圖象與sin()6yx的圖象之間的關(guān)系 . 教學(xué)中，要重視學(xué)生從具體到抽象的自主探究過程，并引導(dǎo)學(xué)生從多角度探尋圖象變換的本質(zhì) . 5. 探索(0)a a對sin()yax的圖象的影響教科書以具體的例子繼續(xù)探究sin()yax的圖象與函數(shù)sin()yx的圖象之間的關(guān)系 . 研究方法完全一致，可由學(xué)生自主探究. 6. 畫函數(shù)sin()yax的圖象通過以上的實(shí)驗(yàn)探究， 了解參數(shù)a， ， 對函數(shù)sin()yax圖象的影響，教科書通過“思考”要求學(xué)生總結(jié)、提煉出圖象變換規(guī)律，進(jìn)而說明由正弦函數(shù)的圖象通過圖象變換得到sin()yax圖象的過程與方法： 從正弦曲線出發(fā)， 先進(jìn)行相位變換，再進(jìn)行周期變換，然后進(jìn)行振幅變換. 事實(shí)上這三種變換的先后順序并無特別規(guī)定，也可先進(jìn)行周期變換，再進(jìn)行相位變換，然后進(jìn)行振幅變換 . 例如，要得到2sin(2)6yx的圖象，可以按如下步驟完成：（1）把正弦曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12倍（縱坐標(biāo)不變） ，得到函數(shù)sin 2yx的圖象；（2）把曲線上的所有點(diǎn)向左平移12個(gè)單位，得到函數(shù)sin 2()12yx（即26sin()yx）的圖象；（3）將曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)2sin(2)6yx的圖象 . 教學(xué)中要提醒學(xué)生注意比較不同變換順序之