全國(guó)高中數(shù)學(xué)課堂競(jìng)賽活動(dòng)教案曲線和方程2

1、全國(guó)高中數(shù)學(xué)課堂競(jìng)賽活動(dòng)教案【課題】曲線和方程【教材】人教版全日制一般高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)其次冊(cè)（上）【授課老師】【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)問目標(biāo)：1、明白曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2、初步領(lǐng)悟“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；3、學(xué)會(huì)依據(jù)已有的情形資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判定、歸納結(jié)論；4、強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一樣并相互轉(zhuǎn)化的思想方法；才能目標(biāo)：1、通過直線方程的引入，加強(qiáng)同學(xué)對(duì)方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的熟悉；2、在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中，同學(xué)經(jīng)受觀看、分析、爭(zhēng)論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，探究出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；3、能用所學(xué)學(xué)問懂得新的概念，并能運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，從

2、中體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，進(jìn)展應(yīng)用意識(shí)；情感目標(biāo)：1、通過概念的引入，讓同學(xué)感受從特別到一般的認(rèn)知規(guī)律；2、通過反例辨析和問題解決，培育合作溝通、獨(dú)立摸索等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神；【教學(xué)重點(diǎn)】“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念【教學(xué)難點(diǎn)】怎樣利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程【教學(xué)方法】問題探究和啟示引導(dǎo)式相結(jié)合【教具預(yù)備】三角板、多媒體教學(xué)設(shè)備【教學(xué)過程】一、感性熟悉階段以舊帶新，提出課題師：在本節(jié)課之前，我們爭(zhēng)論過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示，同時(shí)任何一

3、個(gè)二元一次方程也表示著一條直線；下面看一個(gè)詳細(xì)的例子：（出示幻燈片2）幻燈片 2畫出方程xy0 表示的直線借助多媒體讓同學(xué)直觀上深刻體會(huì)如下結(jié)論：（出示幻燈片 3）幻燈片 31、直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；2、以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上；即：直線上全部點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；也即：（出示幻燈片 4，引導(dǎo)同學(xué)類比、推廣并摸索相關(guān)問題）幻燈片 4類比：推廣：即：任意的曲線和二元方程是否都能建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？也即：方程f x, y0 的解與曲線c上的點(diǎn)的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系就能用方程f x, y0 表示曲線c，同時(shí)曲線c 也表示著方程f x, y0 ？為什么要具備這

4、些條件？師：以上問題就是本節(jié)課的內(nèi)容：曲線和方程（板書課題）；二、分化本質(zhì)屬性階段運(yùn)用反例揭示內(nèi)涵師：剛才的爭(zhēng)論中，有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系：“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”；有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系： “以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)” ；仍有的同學(xué)雖用了不同的提法， 但意思不外乎這兩個(gè)；現(xiàn)在的問題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一事實(shí)？有何區(qū)分？究競(jìng)用怎樣的關(guān)系才能把幻燈片4 中的曲線和方程的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來(lái)？為了弄清這些問題，我們來(lái)爭(zhēng)論以下問題：（出示幻燈片5，讓同學(xué)回答疑題，并加以訂正和總結(jié)）幻燈片 5用以下方程表示如下列圖的曲線c，對(duì)嗎？為什么？師：方程

5、、都不是曲線c 的方程；第題中曲線c 上的點(diǎn)不全是方程xy0 的解；例如點(diǎn) a （ 2， 2）、b（3 ，3 ）等即不符合“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；第題中，盡管“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解” ，但是以方程x2y 20 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)卻不全在曲線上；例如d（2， 2）、e（3 ，3 ）等不符合“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論；第題中既有以方程xy0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，如 g（ 3， 3）、h（2 ，2 ）等都不在曲線上，又有曲線c 上的點(diǎn)，如m （ 3， 3）、n（ 1， 1）等的坐標(biāo)不是方程xy0 的解；事實(shí)上，、中各方程所表示的曲線應(yīng)當(dāng)是如下列圖的3 種情形；（出示

6、幻燈片6）幻燈片 6師：以上我們觀看分析了幻燈片3、5 中的問題，發(fā)覺幻燈片3 中的問題完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程；而幻燈片5中的問題不能完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程；假如我們把完整地用方程表示曲線和用曲線表示方程看成“曲線的方程”和“方程的曲線”的話，那么就可以給“曲線的方程”和“方程的曲線”下定義了；三、概括形成定義階段爭(zhēng)論歸納給出定義師：在下定義時(shí)，針對(duì)幻燈片5 中的第個(gè)問題“曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)”應(yīng)作何規(guī)定？生：“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解” ；師：針對(duì)幻燈片 5 中的第個(gè)問題“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線上”應(yīng)作何規(guī)定？生：“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都

7、有是曲線上的點(diǎn)”；這樣，我們可以對(duì)“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義：（出示幻燈片7）幻燈片 7一般地，在直角坐標(biāo)系中，假如某曲線 c 上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f x, y0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做 曲線的方程 ；這條曲線叫做 方程的曲線（圖形） ；四、定義強(qiáng)化懂得階段多種表征、深化內(nèi)涵師：大家熟知，曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作c；一個(gè)二元方程的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)， 因此二元方程的解集也描述了一個(gè)點(diǎn)集，記作 f；請(qǐng)大家摸索：如何用集合c 和 f 間的關(guān)系來(lái)表述“曲線的方程”和“方程 的曲線”

8、定義中的兩個(gè)關(guān)系，進(jìn)而重新表述“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義；啟示同學(xué)得出：關(guān)系指點(diǎn)集c 是點(diǎn)集 f 的子集；關(guān)系指點(diǎn)集f 是點(diǎn)集 c 的子集；（出示幻燈片8）幻燈片 8這樣用集合相等的概念定義“曲線的方程”與“方程的曲線”為：(1) cfcf(2) fc師：另外從充要條件的角度看，關(guān)系或僅是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，只有兩者都滿意了“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性；五、應(yīng)用和強(qiáng)化階段主動(dòng)參加、合作溝通1、初步應(yīng)用、突出內(nèi)涵（出示幻燈片9，讓同學(xué)摸索后回答以下問題）幻燈片 9以下各題中，圖所示的的曲線c 的方程為所列方程，對(duì)嗎？假如不對(duì)，是不符合關(guān)系仍是關(guān)系？同

9、學(xué)回答：錯(cuò)；不符合定義中的關(guān)系，即cf 但 fc；錯(cuò)；不符合定義中的關(guān)系，即fc 但 cf；錯(cuò)；不符合定義中的關(guān)系和，即cf 且 fc；2、變式應(yīng)用，提升才能（出示幻燈片10，讓同學(xué)在練習(xí)本上解答以下問題）幻燈片 10解答以下問題，且說(shuō)出各依據(jù)了“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的哪一個(gè)關(guān)系？點(diǎn) a （3， 4）、b（2 5 ，2）是否在方程x 2y225 的圓上？已知方程為x 2y 225 的圓過點(diǎn) c（7 ，m），求 m 的值；同學(xué)回答：依據(jù)關(guān)系點(diǎn)a 在圓上，依據(jù)關(guān)系點(diǎn)b 不在圓上；依據(jù)關(guān)系求得m=3 2 ；（出示幻燈片 11，老師啟示同學(xué)共同完成如下證明）幻燈片 11證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓

10、心，半徑等于5 的圓的方程是x 2y 225 ；師：請(qǐng)同學(xué)摸索，證明應(yīng)從何著手？生：應(yīng)從以下兩方面： （1）圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿意方程：x2y 225 ；（2）方程x 2y225 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上；師：（1）中的“點(diǎn)”和（ 2）中的“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素，怎樣解決全體問題？師：（同學(xué)摸索片刻后）用“任意一個(gè)”代表“全體”是數(shù)學(xué)證明中常用的方法；（請(qǐng)同學(xué)們完成證明過程，同桌間溝通，參照課本證明訂正錯(cuò)誤，完善證題過程，加強(qiáng)證明題的嚴(yán)密性； ）六、小結(jié)：本節(jié)課我們通過實(shí)例的爭(zhēng)論，把握了“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義，在領(lǐng)悟定義時(shí)，要牢記關(guān)系、兩者缺一不行，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿意了“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性；曲線和方程之間一一對(duì)應(yīng)的確立，進(jìn)一