反常積分初步[1]

1、反常積分初步最新6.56.5 反常積分初步反常積分初步反常積分.反常積分.常義積分.常義積分.：定定積積分分的的兩兩個(gè)個(gè)必必要要條條件件有限；有限；積分區(qū)間積分區(qū)間,1.ba.)(2.上上有有界界在在 a,bxf稱稱為為若若條條件件滿滿足足, ,稱稱為為若若條條件件不不滿滿足足, ,積積分分（無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分）一一、無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間上上的的反反常常的積分，稱為的積分，稱為形如形如 dxxfdxxfdxxfba)(,)(,)(無(wú)窮限積分無(wú)窮限積分反常積分初步最新值，值，為該無(wú)窮限積分的積分為該無(wú)窮限積分的積分并稱此極限值并稱此極限值,)(),(上上可可積積在在數(shù)數(shù)函函和和任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)如如

2、果果對(duì)對(duì)給給定定的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)baxfabba 一、無(wú)窮限的積分一、無(wú)窮限的積分分分，稱稱為為的的積積形形如如 dxxfdxxfdxxfba)(,)(,)(無(wú)窮限積分無(wú)窮限積分定義定義存存在在，且且極極限限 babdxxf)(lim adxxf)(則則稱稱無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分收斂，收斂，記為記為 babadxxfdxxf)(lim)(在在，則則稱稱無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分如如果果上上式式右右端端極極限限不不存存發(fā)散發(fā)散反常積分初步最新能為非無(wú)窮大量能為非無(wú)窮大量可能為無(wú)窮大量，也可可能為無(wú)窮大量，也可可知可知發(fā)散，則由極限不存在發(fā)散，則由極限不存在若若 aadxxfdxxf)()(注1注1注2注2注

3、3注3：無(wú)窮限積分的幾何意義無(wú)窮限積分的幾何意義面面積積伸伸的的圖圖形形軸軸所所圍圍成成的的向向右右無(wú)無(wú)限限延延和和，直直線線表表示示由由曲曲線線則則收收斂斂且且若若xaxxfydxxfxfdxxfaa )()(, 0)()(性質(zhì)可知：性質(zhì)可知：由上述定義及極限運(yùn)算由上述定義及極限運(yùn)算也也收收斂斂且且，收收斂斂，則則若若 aaaadxxgxfdxxkfdxxgdxxf)()()()(,)( aaaaadxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkf)()()()()()(反常積分初步最新再再取取極極限限先先求求相相應(yīng)應(yīng)的的常常義義積積分分 :),(,(積積分分上上的的無(wú)無(wú)窮窮限限間間同同理理可

4、可以以定定義義在在無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū) b)()(lim)(badxxfdxxfbaab )()()()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)cdxxfdxxfdxxfcc 發(fā)發(fā)散散則則稱稱有有一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)散散收收斂斂分分都都收收斂斂時(shí)時(shí)，稱稱無(wú)無(wú)窮窮限限積積及及當(dāng)當(dāng) dxxfdxxfdxxfdxxfcc)(,)()()(：斷)方法斷)方法無(wú)窮限積分的計(jì)算(判無(wú)窮限積分的計(jì)算(判反常積分初步最新dxxdxxndxxdxxn 2221111)4(11)3()1(1)2(1(1) 例例1 1斂斂散散性性研研究究下下列列無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分的的)1(：解解先求常義積分先求常義積分011 b任取任取bbxdxx11|ln1

5、|ln b 取極限取極限02|lnlimbb 原原積積分分 發(fā)散發(fā)散bnbnnxdxx1110111)2( nnbn 11111120 n原積分原積分收收斂斂反常積分初步最新dxxdxxbb 222211lim11)3(bbxx2|11|ln21lim 3ln21 ln321|11|ln21lim bbbdxx 2211或或 2|11|ln21xxln321|11|ln21lim xxx3ln21 dxx211)4( ccxxarctanarctancxxcxxarctanarctanlimarctanlimarctan 2)2( dxxdxxcc 221111 xarctanxxxxarct

6、anlimarctanlim )2(2 收收斂斂收收斂斂反常積分初步最新無(wú)窮限積分可簡(jiǎn)記為無(wú)窮限積分可簡(jiǎn)記為)()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa )(lim)()()(xFbFxFdxxfxbb )(lim)(lim)()(xFxFxFdxxfxx 反常積分初步最新的的斂斂散散性性討討論論無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分dxxp 11 例例2 2 原原式式時(shí)時(shí)，上上例例：)1(110p解解原原式式時(shí)時(shí)，上上例例 )2(120p發(fā)散發(fā)散時(shí)，時(shí)，130 p111lim1 ppxpx發(fā)散發(fā)散1111 pdxxp且且 11111pxxdxpp 收斂收斂 11111)(pppdxxpp發(fā)發(fā)散散, ,收收

7、斂斂, ,- -1 1積積分分反常積分初步最新的的斂斂散散性性討討論論無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分 dxxx212 例例3 3：解解)1(1112222 xdxdxxx )1(ln2x如何判斷？如何判斷？dxxxdxxxdxxxcc 222121212dxxxc 212其中其中)1(1122 xdxccx )1(ln2 原原積積分分發(fā)發(fā)散散仍仍然然考考慮慮用用定定義義計(jì)計(jì)算算！反常積分初步最新旋轉(zhuǎn)形成的體積旋轉(zhuǎn)形成的體積軸軸形繞形繞軸圍成的在第一象限圖軸圍成的在第一象限圖與與求曲線求曲線xxeyx 4例例02)(dxeVxx 02)2(2xdex 2 ：解解 022xe 反常積分初步最新分（瑕積分）分

8、（瑕積分）二、無(wú)界函數(shù)的反常積二、無(wú)界函數(shù)的反常積為為則則稱稱無(wú)無(wú)界界處處或或有有限限個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)上上一一點(diǎn)點(diǎn)在在如如果果被被積積函函數(shù)數(shù) badxxfbaxf)(,)(,)(瑕積分.瑕積分.并稱無(wú)界的點(diǎn)為并稱無(wú)界的點(diǎn)為 瑕點(diǎn)瑕點(diǎn) 021010)3(1)2(ln)1(,;xdxdxxdxxx 指指出出瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)若若為為瑕瑕積積分分分分判判斷斷下下列列積積分分為為何何種種積積 例例1 1無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是通通常?？伎紤]慮較較多多的的無(wú)無(wú)界界點(diǎn)點(diǎn)為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn)0 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)時(shí)為時(shí)為時(shí)為常義積分時(shí)為常義積分000 x 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn)又是瑕積分，又是瑕積分，既是無(wú)窮限積分既是無(wú)窮限積分0 x反常積分初步最

9、新,)(lim,)(),( xfbcxfbacax且且上上可可積積在在函函數(shù)數(shù)如如果果對(duì)對(duì)任任意意定義定義稱稱存在時(shí)存在時(shí)則當(dāng)極限則當(dāng)極限,)(lim bcacdxxf badxxf)(瑕瑕積積分分記為記為 bcacbadxxfdxxf)(lim)(收斂，收斂，則則稱稱瑕瑕積積分分在在如如果果上上式式右右端端極極限限不不存存,發(fā)散發(fā)散,)(lim,)(, 0 xfbaxfax且且上上可可積積在在函函數(shù)數(shù)如如果果對(duì)對(duì)任任意意 定義定義 badxxf)(瑕瑕積積分分記為記為 babadxxfdxxf )(lim)(0稱稱存在時(shí)存在時(shí)則當(dāng)極限則當(dāng)極限,)(lim0 badxxf 收斂，收斂，反常積分

10、初步最新:)(,)()(的的斂斂散散性性瑕瑕積積分分點(diǎn)點(diǎn)無(wú)無(wú)界界時(shí)時(shí)或或在在類類似似地地定定義義 badxxfbcacbxf則定義則定義若若,)(lim xfbx badabdbadxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)(0則定義則定義若若,)(lim xfcx bccadxxfdxxf2211)(lim)(lim00 再取單側(cè)極限再取單側(cè)極限先求相應(yīng)的常義積分先求相應(yīng)的常義積分 ：方方法法瑕瑕積積分分的的計(jì)計(jì)算算( (判判斷斷) ) bccabadxxfdxxfdxxf)()()(反常積分初步最新 1010202ln)3(1)2(1(2)1(1)1(xdxdxxxdxx計(jì)計(jì)算算下下列列

11、瑕瑕積積分分： 例例2 2為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)，則則有有1)1( x解解dxxdxxdxx 212102202)1(1)1(1)1(1發(fā)發(fā)散散，dxx 102)1(1發(fā)散發(fā)散故瑕積分故瑕積分 202)1(1dxxdxxdxx 1020102)1(1lim)1(1)11(lim0 100)1(1limx反常積分初步最新為瑕點(diǎn)，為瑕點(diǎn)，1)2( x解解xt 1令令 100101)2(1lim1)2(1dxxxdxxx 120)1(2limdtttt 120)1(2lim dttarctan1arctanlim20 2 1010202ln)3(1)2(1(2)1(1)1(xdxdxxxdxx計(jì)計(jì)算算下下列列

12、瑕瑕積積分分： 例例2 2反常積分初步最新 10lnxdx 10lnlim xdx)ln(lim110 dxxxxx)1(ln(lim0 )ln(lim10 )ln(lim110 )(lim1210 1 0為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)，則則有有0)3( x解解 1010202ln)3(1)2(1(2)1(1)1(xdxdxxxdxx計(jì)計(jì)算算下下列列瑕瑕積積分分： 例例2 2 11211dxx計(jì)計(jì)算算練練習(xí)習(xí)反常積分初步最新)11(都為瑕點(diǎn)都為瑕點(diǎn)與與 xx 11211dxx計(jì)計(jì)算算練練習(xí)習(xí) 11211dxx 0121021111dxxdxx010100arcsinlimarcsinlim xx 1arcsin

13、2 0120102011lim11lim dxxdxx)1arcsin(lim)1arcsin(lim00 反常積分初步最新的函數(shù)，稱為的函數(shù)，稱為為為是參變量是參變量反常積分反常積分ttdxextxt 01)0()(函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)三、三、定義定義：函數(shù)有如下重要性質(zhì)函數(shù)有如下重要性質(zhì)0),()1 tttt( (為為正正整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，有有特特別別地地，當(dāng)當(dāng)nt !)1nn ( ( 0)1(dxextxt 0 xtdex 00txxtdxeexdxextxt 01)(tt 證明證明1)1(0 dxex)()1(nnn !)1(!)1()1(nnnnn )11(nn反常積分初步最新)2/1()2

14、/5()2()3(2)6()1(1計(jì)計(jì)算算例例30! 22! 5)3(2)6()2/1()2/3(23)2/1()2/5(43)2/1()2/1(2123解解：dxexx 042計(jì)計(jì)算算 例例2 2dueudxexuxux 05 . 1042122令令解解：)25(21 )21(212321 83 )21(22321 01)(dxextxtdueuu 01-5 . 221反常積分初步最新函數(shù)，記為函數(shù)，記為函數(shù)就稱為函數(shù)就稱為的的，作為參變量作為參變量反常積分反常積分B)1(1011qpdxxxqp 函數(shù)函數(shù)四、B四、B 1011)1(),(Bdxxxqpqp性質(zhì)性質(zhì)B B函數(shù)滿足下列條件：函

15、數(shù)滿足下列條件：)()()(),(Bqpqpqp 定義定義反常積分初步最新復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一、概念與性質(zhì)一、概念與性質(zhì)存存在在的的判判定定條條件件 badxxf)( 幾何意義幾何意義基本性質(zhì)基本性質(zhì) 積分中值定理積分中值定理保號(hào)性保號(hào)性區(qū)間可加性區(qū)間可加性線性性質(zhì)線性性質(zhì). 1反常積分初步最新 badxxfdxxf)()(. 2 聯(lián)系聯(lián)系區(qū)別區(qū)別萊布尼茲公式萊布尼茲公式牛頓牛頓 的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性 xadttfx)()(. 3 瑕瑕積積分分無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分. 4判判斷斷斂斂散散性性的的判判斷斷，瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)的的二、運(yùn)算二、運(yùn)算:)(. 1的基本求法的基本求法 badxxf找相應(yīng)的原函數(shù)找相應(yīng)的原函數(shù)babaxFdxxf)()( 定定積積分分的的換換元元法法. 2)(對(duì)稱區(qū)間對(duì)稱區(qū)間定積分的分部積分法定積分的分部積分法. 3反常積分初步最新用幾何意義求解用幾何意義求解. 4反常積分求解反常積分求解. 5再再取取極極限限先先求求相相應(yīng)應(yīng)的的常常義義積積分分