第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章第一章 , : 21uuu變變量量1. 增量的定義增量的定義增量可正可負(fù)增量可正可負(fù): , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) u , 121是增大的是增大的變到變到從從變量變量uuuuu , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) u 一、函數(shù)連續(xù)性的定義一、函數(shù)連續(xù)性的定義 . 121是減小的是減小的變到變到從從變量變量uuuuu . : 12uuuu 的的增增量量變變量量xy0 , : ),( 00 xxxxxfy 自變量自變量函數(shù)函數(shù)0 xxx 0)(xfy x y 從幾何上觀察從幾何上觀察:).(

2、)(00 xfxxfy , )( )( : 00 xxfxfy 函數(shù)值函數(shù)值函數(shù)增量函數(shù)增量: :).()(lim 00 xfxfxx . )( , )( 00連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)那那么么就就稱稱如如果果有有定定義義的的某某一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfyxxfy , 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()( 0 xfxfy 則則yxfxf )()( 0 0lim0 yx定義定義1.定義定義2:)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(

3、0連續(xù)連續(xù)在在xxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)若若xy0f (x)0 x 0 x 0 xaxfxx )(lim0問(wèn)題問(wèn)題：函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x0 0連續(xù)與連續(xù)與存在極限的區(qū)別存在極限的區(qū)別？1. x = x0必須取到必須取到2. a = f (x0)f (x0)f (x0)+ f (x0) 并且并且 a= f (x0)f (x)在在x0連續(xù)連續(xù) )()(lim00 xfxfxx )(0連續(xù)連續(xù)在在xxf函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x(1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx 連續(xù)連續(xù),存在存在;有定義有定義,存在存在;必須具備

4、下列條件必須具備下列條件: :說(shuō)明說(shuō)明: :. 0 , 0, 0, 0,1sin)( 處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf例例1.證證: , 01sinlim)(lim 00 xxxfxx,0)0( f又又.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim 0fxfx 3. 單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)(1) 左連續(xù)左連續(xù) . )( ),( )(lim)( 0000左連續(xù)左連續(xù)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)如果如果xxfxfxfxfxx (2) 右連續(xù)右連續(xù) . )( ),()(lim)( 0000右連續(xù)右連續(xù)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)如果如果xxfxfxfxfxx )()(lim )(000 xfx

5、fxxfxx 處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù))()()( 000 xfxfxf .00, 20, 2)(2的連續(xù)性的連續(xù)性處處在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf例例2.解解:)2(lim)(lim)0( 00 xxffxx2 )2(lim)(lim)0(200 xxffxx2 .0)(處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf)0()0( ff)0(f .00,0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa例例3. .解解:xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0( af )0()0()0(fff 要使要使

6、,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上在區(qū)間上每一點(diǎn)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 或者說(shuō)函數(shù)在該或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間區(qū)間上連續(xù)上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)并并且且在在左左端端內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線是一條連續(xù)而不間斷的曲線.xy0)(xfy ab ;),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)

7、的有理整函數(shù)在區(qū)間有理整函數(shù)在區(qū)間例例4. 有關(guān)有理函數(shù)的討論有關(guān)有理函數(shù)的討論.:)( )( )1(多項(xiàng)式多項(xiàng)式有理整函數(shù)有理整函數(shù)xf,r0 x ),()(lim 00 xfxfxx 都有都有:)()( )( )2(xqxpxf 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù) , 0)( 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xq ),()(lim 00 xfxfxx 都有都有故有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)故有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù).例例5.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證:),( xxxxysin)sin( 2sin)2cos(2xxx , 1| )2cos(| xx|2sin|2 | x

8、y )r( | sin . 0lim 0 yx故故.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy.),(cos 連續(xù)連續(xù)對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù) xxy. |2|2xx 同理同理,在在在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)0 x之一之一函數(shù)函數(shù) f (x) 在

9、點(diǎn)在點(diǎn)雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在在無(wú)定義無(wú)定義 ;例例6. . 1 11 2處處在在函數(shù)函數(shù) xxxy , 11 1 2無(wú)定義無(wú)定義處函數(shù)處函數(shù)在在 xxyx 11lim 21xxx但但, 2)1(lim1 xx. 1 為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)故故 xxoy11. 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) (極限存在的間斷點(diǎn)極限存在的間斷點(diǎn)). 1 是是函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x例例7.00, 10, 0, 0, 1)(處處在在函數(shù)函數(shù) xxxxxxxf . 0 為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x2. 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) (單側(cè)極限存在但不相等的間斷

10、點(diǎn)單側(cè)極限存在但不相等的間斷點(diǎn))(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )0()0( ffoxy-113. 無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) (極限為無(wú)窮大的間斷點(diǎn)極限為無(wú)窮大的間斷點(diǎn))例例8. . 2 tan 處處在在正切函數(shù)正切函數(shù) xxyxxtanlim 2 , , tan 2 , 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是故故函函數(shù)數(shù)在在此此無(wú)無(wú)定定義義xx . tan 2 的的無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是xx xytan 2 xyo例例9.01sin)(處處在在函數(shù)函數(shù) xxxfxy1sin ,0)(處處沒(méi)沒(méi)有有定定義義在在 xxf).11(1sinlim0之間來(lái)

11、回振蕩之間來(lái)回振蕩和和在在不存在不存在且且 xx.0為為振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x4. 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): :)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): :)(0 xf及及)(0 xf中至少有一個(gè)不存在中至少有一個(gè)不存在 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為, 為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn);為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).為為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn);為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn).,)1(1)( 2并并

12、判判斷斷其其類類型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)找找出出函函數(shù)數(shù) xxxxf例例10., 1 , 0)( 處處沒(méi)沒(méi)有有定定義義在在 xxf01)1(lim 20 xxxx. 1 , 0 均均為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x解解: : )1(1 lim 20 xxxx )1(1lim 21xxxxxxx1lim1 , 2 . 1 ,0 為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存

13、在左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一左右極限至少有一個(gè)不存在個(gè)不存在在點(diǎn)在點(diǎn)間斷的類型間斷的類型0 x在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式連續(xù)的等價(jià)形式1. f (x) . e11)( 1的間斷點(diǎn)的類型的間斷點(diǎn)的類型確定函數(shù)確定函數(shù)xxxf 1.解解: : . 1 ,0 xx間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)為)(lim0 xfx因?yàn)橐驗(yàn)? ; 0為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)所以所以 x, , . 1 為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)所以所以 x xxx1lim 1因?yàn)橐驗(yàn)? 0)(lim 1 xfx所以所以 xxx1lim 1因?yàn)橐驗(yàn)? 1)(lim 1 xfx所以所以思考題思考題: . , ),( 1lim)( 2212baxbxaxxxfnnn和和試確定常數(shù)試確定常數(shù)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 2解解: : , 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x1lim)(2212 nn