【公開課教案】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（一）教學(xué)設(shè)計(jì)一、       教材分析及學(xué)生情況分析本節(jié)課是平面解析幾何的核心內(nèi)容之一。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線的基本知識(shí)，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系及判定，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的第一節(jié)課，著重是教會(huì)學(xué)生如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，體會(huì)運(yùn)用方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比歸納等數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化學(xué)生的解題思維，提高學(xué)生解題能力。這為后面解決直線與圓錐曲線的綜合問題打下良好的基礎(chǔ)。所以是承上啟下的一節(jié)課。這節(jié)課還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能

2、力的良好題材，所以說是解析幾何的核心內(nèi)容之一。數(shù)學(xué)思想方法分析：作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)。因此本節(jié)課在教學(xué)中力圖讓學(xué)生動(dòng)手操作，自主探究、發(fā)現(xiàn)共性、類比歸納、總結(jié)解題規(guī)律。學(xué)生情況分析： 對于直線和圓，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，并且知道直線與圓有三種位置關(guān)系：相離，相切和相交，會(huì)從代數(shù)、幾何兩個(gè)方面進(jìn)行判斷。本節(jié)課，學(xué)生將類比挖掘直線與橢圓圓的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)從不同角度分析思考問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。本班為理科班，學(xué)生整體思維能力較強(qiáng)，勤于動(dòng)腦，喜歡想問題，但不愿動(dòng)手實(shí)踐，特別是進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，另外學(xué)生在探究問題的能力,合作交流的意識(shí)及反思總結(jié)等

3、方面有待加強(qiáng)。二、       教學(xué)目標(biāo)根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知心理特征和實(shí)際，制定如下教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：理解直線與橢圓的位置關(guān)系；會(huì)進(jìn)行位置關(guān)系的判斷，計(jì)算弦長。過程與方法：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，通過回憶畫圖讓學(xué)生理解直線與橢圓的位置關(guān)系；觀察類比直線與圓的位置關(guān)系的判定，歸納總結(jié)出直線與橢圓的位置關(guān)系的判定，掌握代數(shù)方法，學(xué)會(huì)解決相關(guān)的問題。情感、態(tài)度、價(jià)值觀：使得學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究和數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。三、     

4、  教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵本著課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材基礎(chǔ)上，我覺得這節(jié)課是解決直線與圓錐曲線綜合問題的基礎(chǔ)。對解決綜合問題，我覺得只有先定性分析畫出圖形并觀察圖形，以形助數(shù)，才能定量分析解決綜合問題。如：解決圓錐曲線中常見的弦長問題、中點(diǎn)問題、對稱問題等。所以我制定的教學(xué)重點(diǎn)：理解直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)判定及應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用代數(shù)方法進(jìn)行判定，相關(guān)計(jì)算的準(zhǔn)確性，理解用方程思想解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 關(guān) 鍵：感悟方程組的解的個(gè)數(shù)等于直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。計(jì)算準(zhǔn)確。為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我是這樣設(shè)計(jì)教法和學(xué)法的。四、教法數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人

5、的思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”，而且要使學(xué)生“知其所以然”。為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)由特殊到一般，采用循序漸進(jìn)的啟發(fā)式教學(xué)原則。我進(jìn)行了這樣的教法設(shè)計(jì)：問題引導(dǎo)，問題解決，由學(xué)生通過知識(shí)遷移，類比探究直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，再由教師引導(dǎo)，自然找出直線與橢圓的位置關(guān)系判斷方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在解題過程中體會(huì)解決的數(shù)學(xué)方法。五、學(xué)法我們常說：“現(xiàn)代的文盲不是不識(shí)字的人，而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，因而在教學(xué)中要特別重視學(xué)法的指導(dǎo)。課程改革的目標(biāo)之一是“改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)

6、手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力，獲得新知識(shí)的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心課程之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。我以類比歸納理論為指導(dǎo)，采用著重于引導(dǎo)學(xué)生探索研究的問題教學(xué)方法，結(jié)合師生共同討論、歸納。在課堂結(jié)構(gòu)上，我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，我設(shè)計(jì)了：（1）提出問題引入課題（2）思考交流結(jié)論形成：（3）理解應(yīng)用鞏固方法（4）小結(jié)歸納提高認(rèn)識(shí)，四個(gè)層次的學(xué)法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目標(biāo)。接下來，我再具體談?wù)勥@堂課的教學(xué)過程：六、教學(xué)程序及設(shè)想教學(xué)過程 實(shí)錄：一、 提出問題引入新

7、課：師：我們學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系及判定，請你回憶相關(guān)知識(shí)。學(xué)生回答：直線與圓有三種位置關(guān)系分別是相離（沒有公共點(diǎn)）、相切（一個(gè)公共點(diǎn)）、相交（兩個(gè)公共點(diǎn)）。判定方法有兩種：代數(shù)法、幾何法。（教師在學(xué)生回答的同時(shí)在黑板上畫出相應(yīng)圖形，并補(bǔ)充糾正。）師：前面我們學(xué)習(xí)了圓錐曲線，其中橢圓是最基礎(chǔ)的，那么直線與橢圓又有什么樣的位置關(guān)系呢？有學(xué)生立即回答：和圓一樣，相離，相切，相交；教師立即追問：如何定義呢？學(xué)生回答：類似直線與圓的位置關(guān)系的定義。教師動(dòng)手畫圖，并提出問題：如何來判定直線與橢圓的位置關(guān)系呢？ 設(shè)計(jì)意圖：由已有的知識(shí)類比遷移到新知識(shí)。師：今天我們就來研究這個(gè)問題二、 思考交流結(jié)論形成：

8、師：通過畫圖我們看到，直線與橢圓的位置關(guān)系也可以歸納為相離，相切和相交，請你類比直線和圓的相離、相切、相交的定義來對直線和橢圓相離，相切和相交進(jìn)行定義。學(xué)生交流，自由發(fā)言，教師適時(shí)引導(dǎo)，得出結(jié)論。直線與橢圓沒有公共點(diǎn)直線與橢圓相離；直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)直線和橢圓相切；直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與橢圓相交。師：通過公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，如何確定公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)呢？你有什么辦法呢？ 請大家完成學(xué)案的第一題。1、 判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。學(xué)生完成練習(xí)，教師巡視，根據(jù)學(xué)生的解題情況引入代數(shù)方法。在巡視過程中，大部分學(xué)生采用的是代數(shù)的方法，及個(gè)別的學(xué)生畫出了圖像，但第三條直線與橢圓的

9、位置關(guān)系學(xué)生畫圖的很少，但利用代數(shù)方法研究的同學(xué)也沒有得到結(jié)論。此時(shí)，教師及時(shí)進(jìn)行了計(jì)算上輔導(dǎo)。師：請你說說如何利用代數(shù)方法來進(jìn)行直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷？學(xué)生：直線與橢圓的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的聯(lián)立方程組，消元，得到一個(gè)一元二次方程，則，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)公共點(diǎn)相交；，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)公共點(diǎn)相切；，方程沒有實(shí)數(shù)根沒有公共點(diǎn)相離。師：方法歸納的很好，但是還要求同學(xué)們在解決方程問題時(shí)要準(zhǔn)確計(jì)算。設(shè)計(jì)意圖：以舊帶新，學(xué)生易于理解。三、 理解應(yīng)用：師：請同學(xué)們看學(xué)案的練習(xí)，完成第二個(gè)題。2、 已知直線，橢圓

10、，問為何值時(shí)，直線與橢圓：（1）有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；（2）有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒有公共點(diǎn)學(xué)生甲：方程聯(lián)立，讓判別式的值分別大于0，等于0，小于0，然后解不等式和方程即可得解。師：有沒有同學(xué)用其他的方法求得？學(xué)生乙：可不可以用畫圖的方法，橢圓方程是給定的，所以是定的，直線的斜率是2，縱截距是M，所以是一族平行線，找到交點(diǎn)，結(jié)論不就有了嗎.教師對兩位同學(xué)及時(shí)表揚(yáng)，并適時(shí)進(jìn)行方法上的總結(jié)。在巡視過程中，對計(jì)算上的問題再次進(jìn)行輔導(dǎo)。讓解題比較快的學(xué)生XX在黑板上進(jìn)行板演。設(shè)計(jì)意圖：對知識(shí)進(jìn)行簡單應(yīng)用。師：下面我們一起來完成第3題和第4題。3、 已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，求的長

11、。師：本題的解決需要什么條件？如何由題目所給的條件去求得？前面的學(xué)習(xí)中遇到過類似的問題嗎？當(dāng)時(shí)是怎么解決的，方法能不能拿來一用？學(xué)生：前面學(xué)習(xí)過兩點(diǎn)間的距離公式，所以只要有A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入公式就行了。通過題目條件可以求出直線AB的方程，再把兩個(gè)方程聯(lián)立就能求交點(diǎn)坐標(biāo)了。這時(shí)，課代表說話了：還要解方程太麻煩了，有沒有簡單點(diǎn)的方法，不求根行嗎？師：不錯(cuò)，那你就要好好想想啊！課代表：想不出來。此時(shí)教師及時(shí)拉過學(xué)生的注意力，把問題進(jìn)行講解。師：那我來說說，。由此題一般化，得到弦長公式。（師：當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，求弦長時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，就可以直接利用公式求得弦長。那如果知道

12、弦長和橢圓的方程，你能否求得直線方程呢？公式是否適用于直線與其他圓錐曲線的弦長計(jì)算呢？請同學(xué)們課下思考。）設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，讓學(xué)生體會(huì)韋達(dá)定理的應(yīng)用及解析幾何中“設(shè)而不求，整體代入”的解題思路。（機(jī)動(dòng)）4、已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程。師：要求直線方程，有什么條件，還需要什么條件，如何來得到這個(gè)條件？你有什么想法？給了中點(diǎn)坐標(biāo)，如何用這個(gè)條件呢？學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，逐步得出求斜率的思路，并進(jìn)行實(shí)施。師：除了應(yīng)用韋達(dá)定理求斜率外，老師給你們介紹另一種方法來完成本題的求解。（教師板演點(diǎn)差法的解題過程。）設(shè)計(jì)意圖：對方法進(jìn)行直觀展示，方便學(xué)生理解。四、課堂小結(jié)：由學(xué)生總結(jié)，

13、然后教師補(bǔ)充。重視對方法的總結(jié)和應(yīng)用。設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，以及收獲，通過數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)，使學(xué)生更深刻地了解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好個(gè)性品質(zhì)。四、 布置作業(yè)：板書: 直線與橢圓的位置關(guān)系一、直線與橢圓的位置關(guān)系 2、 3、二、直線與橢圓位置關(guān)系判定方法三、直線與橢圓相交：弦長公式七、教學(xué)反思：在新課程教育理念中，學(xué)生活動(dòng)是第一位的，強(qiáng)調(diào)要在“做數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)”，由于主體自身的智力參與，特別是主體高水平的智力參與，使外部的活動(dòng)過程內(nèi)化為主體內(nèi)部的心理活動(dòng)過程。并從中產(chǎn)生出主體的個(gè)人體驗(yàn)。充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神，以學(xué)生為主體，吸引學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐

14、、自主探索、合作交流。學(xué)生以積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式體驗(yàn)了雙曲線的形成過程，學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容會(huì)理解更深更記憶更牢。用問題做引導(dǎo)，讓學(xué)生在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的知識(shí)，體現(xiàn)了新課程要求的螺旋式上升的學(xué)習(xí)方式，并借助熟悉的事物逐步遷移到新事物的認(rèn)知規(guī)律，由學(xué)生自主完成相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)也體現(xiàn)了學(xué)生為主體的新課程理念。學(xué)生在認(rèn)同與體驗(yàn)中建構(gòu)知識(shí)技能的傳授和能力的培養(yǎng)主要依靠解題訓(xùn)練，對此，波利亞揭示：“中學(xué)數(shù)學(xué)首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”。對于問題設(shè)計(jì)和例題設(shè)計(jì)，運(yùn)用類比歸納、特殊一般的認(rèn)知規(guī)律、逐步遞進(jìn)的方式，意在既鞏固所學(xué)知識(shí)，又給學(xué)有余力的學(xué)生以更大的發(fā)展空間，體現(xiàn)了因材施教的原則，整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都很完整。在授課過程中，教師始終把握解析幾何的核心-用代數(shù)的方法研究幾何問題，能畫圖的地方一定把圖像畫出來，需要計(jì)算的地方也按要求進(jìn)行計(jì)算，隨時(shí)體現(xiàn)數(shù)與形的緊密聯(lián)系。重視數(shù)學(xué)方法的教學(xué)滲透。