彈性力學-本構關系

1、4-1 4-1 物體的彈性性質物體的彈性性質和廣義廣義胡克定律4-2 4-2 線彈性材料的本構關系線彈性材料的本構關系4-3 4-3 各向同性各向同性線彈性材料的物理方程線彈性材料的物理方程一般情況下，物體的應力與應變呈某一函數(shù)關系，可表示為：一般情況下，物體的應力與應變呈某一函數(shù)關系，可表示為：ijijf應力與應變張量均為六個獨立分量。則應力與應變張量均為六個獨立分量。則123456,xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzzxzxxyzxyyzzxffffff4-1 4-1 物體的物體的彈性性質彈性性質廣義廣義Hooke定律定律一

2、一. . 彈性的概念彈性的概念 如果材料如果材料 呈單值連續(xù)關系（不一定線性），則呈單值連續(xù)關系（不一定線性），則稱為稱為柯西柯西（Cauchy）彈性彈性材料（一般意義上的彈性）。材料（一般意義上的彈性）。ijijf 受材料在單向拉伸試驗時彈性階段的應力與應變呈線性關受材料在單向拉伸試驗時彈性階段的應力與應變呈線性關系（胡克定律）的啟發(fā)，系（胡克定律）的啟發(fā)， 線彈性材料在復雜應力狀態(tài)下其應力線彈性材料在復雜應力狀態(tài)下其應力張量與應變張量亦呈線性關系。張量與應變張量亦呈線性關系。1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455

3、xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzccccccccccccccccccccccccccccc56616263646566zxzxxyzxyyzzxccccccc稱為稱為廣義胡克定律的一般形式廣義胡克定律的一般形式 呈線性單值連續(xù)關系的材料性質稱為呈線性單值連續(xù)關系的材料性質稱為線彈性線彈性。 在柯西彈性的基礎上附加等溫絕熱的外部環(huán)境條件，使在柯西彈性的基礎上附加等溫絕熱的外部環(huán)境條件，使 有勢函數(shù)存在，則這種彈性性質又稱為有勢函數(shù)存在，則這種彈性性質又稱為超彈性超彈性?？?。可以證明線彈性一定是超彈性。以證明線彈性一定是超彈性。i

4、jijf二二. . 廣義胡克（廣義胡克（Hooke）定律定律即即 廣義胡克定律的一般形式最廣泛地描述了材料的線彈性性廣義胡克定律的一般形式最廣泛地描述了材料的線彈性性質，但未能描述物體外部環(huán)境條件和內(nèi)部物理特征。質，但未能描述物體外部環(huán)境條件和內(nèi)部物理特征。其中其中ijklc稱為彈性常數(shù)，共稱為彈性常數(shù)，共81個系數(shù)，因個系數(shù)，因 各各 六個獨立，六個獨立， 縮減為縮減為36個獨立的常數(shù)。個獨立的常數(shù)。ijij、ijklccmn和和cijkl 的下標對應關系：的下標對應關系：m、n123456ij、kl112233122331如，如，c22 c2222 ， c56 c2331矩陣表示形式：矩陣

5、表示形式： C分別稱為應力和應變列陣分別稱為應力和應變列陣 、 C稱為彈性矩陣。其元素稱為彈性矩陣。其元素cmn為為36個個其中其中張量表示形式：張量表示形式：ijijklklc4-2 4-2 線線彈性體的本構關系彈性體的本構關系如果材料在變形過程中處于等溫絕熱過程。如果材料在變形過程中處于等溫絕熱過程。根據(jù)熱力學第一定律和相應數(shù)學推導，根據(jù)熱力學第一定律和相應數(shù)學推導，有勢，有勢，其勢函數(shù)其勢函數(shù)U0(ij) 為物體單位體積的變形能（應變能）。為物體單位體積的變形能（應變能）。0ijijU Green公式公式ijijf000000,xyzxyyzzxxyzxyyzzxUUUUUU由由012x

6、yxyUc021yxxyUc1221cc同理同理1331cc1441cc1551cc即即mnnmcc5665cc 彈性矩陣為彈性矩陣為對稱矩陣，共有對稱矩陣，共有21個獨立的彈性個獨立的彈性常數(shù)常數(shù)111213141516222324252633343536444546555666xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccccccccccccccc對 稱廣義胡克定律的上述形式表征的是廣義胡克定律的上述形式表征的是各向異性各向異性材料的本構關系。材料的本構關系。 如果材料具有彈性對稱面，如果材料具有彈性對稱面，則本構關系還可簡化，使彈性常則本構關系還可簡化，使彈性常數(shù)進一步縮減。數(shù)進一

7、步縮減。 彈性體中每一點均有一個對彈性體中每一點均有一個對稱方向，在這些對稱方向上彈性稱方向，在這些對稱方向上彈性性質相同，即應力應變關系不變。性質相同，即應力應變關系不變。稱為稱為彈性對稱彈性對稱。彈性對稱彈性對稱 彈性對稱方向 彈性對稱方向 彈性對稱面 彈性主軸 彈性主軸一一. . 橫觀各向異性材料橫觀各向異性材料 相應的對稱方向和對稱面稱為相應的對稱方向和對稱面稱為彈性對稱方向彈性對稱方向和和彈性對稱面彈性對稱面。垂直于彈性對稱面的方向稱為垂直于彈性對稱面的方向稱為彈性主軸彈性主軸。xyz 彈性對稱面OP (x, y, z)P (x, y, -z)y 設設Oxy平面為材料的彈性對稱面，平

8、面為材料的彈性對稱面，z軸為彈性主軸。軸為彈性主軸。 C其中其中C為各向異性的彈性矩陣為各向異性的彈性矩陣 現(xiàn)將現(xiàn)將z軸反向，考察軸反向，考察其本構關系其本構關系xz 僅具有一個彈性對稱面的材料稱為僅具有一個彈性對稱面的材料稱為橫觀各向異性橫觀各向異性材料。材料。 體內(nèi)一點體內(nèi)一點P(x, y, z)的應力和應變的應力和應變?yōu)闉?和和 。則則在新坐標下，由于彈性對稱，應力應變關系保持不變在新坐標下，由于彈性對稱，應力應變關系保持不變 C但但P點坐標和應力應變分量發(fā)生變化點坐標和應力應變分量發(fā)生變化由坐標變換由坐標變換 Txyzxyyzzx Txyzxyyzzx 兩坐標系三軸的方向余弦為兩坐標系

9、三軸的方向余弦為xyzx100y010 x00-1代入上式代入上式 C由由 CC 比較得比較得15162526353645460cccccccc例如比較例如比較 C 和和 C 中的第一行中的第一行 1111213141516nccccccc 1111213141516nccccccc15160cc 橫觀各向異性材料橫觀各向異性材料，其獨立的，其獨立的彈性常數(shù)為彈性常數(shù)為1313個；個；正應變會正應變會產(chǎn)生切應力，切應變也會產(chǎn)生正應力產(chǎn)生切應力，切應變也會產(chǎn)生正應力 工程上，單斜晶體（如正長石）可簡化為工程上，單斜晶體（如正長石）可簡化為橫觀各向異性橫觀各向異性彈彈性體。性體。 橫觀各向異性材料

10、橫觀各向異性材料的廣義胡克定律可表示為的廣義胡克定律可表示為 1112131422232433344455566600000000 xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccccccc對 稱 將將 y 軸反向，不產(chǎn)生新的結果。軸反向，不產(chǎn)生新的結果。 將將 x 軸反向，仿前分析步驟可得軸反向，仿前分析步驟可得14162426343646560cccccccc二二. . 正交各向異性材料正交各向異性材料xyz P (x, y, z)O 設三個彈性對稱面分別為設三個彈性對稱面分別為Oxy、Oyz和和Ozx平面，材料沿平面，材料沿 x、 y、 z 三方向彈性性質各異。三方向彈性性質各異。

11、具有三個相互垂直彈性對稱具有三個相互垂直彈性對稱面的材料稱為面的材料稱為正交各向異性正交各向異性材料。材料。 綜合之，正交各向異性材料的廣義綜合之，正交各向異性材料的廣義胡克定律胡克定律可表示為可表示為111213222333445566000000000000 xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccc對 稱 正交各向異性正交各向異性材料材料，其獨立的，其獨立的彈性常數(shù)為彈性常數(shù)為9 9個；個；正應變僅正應變僅產(chǎn)生正應力，切應變僅產(chǎn)生切應力。產(chǎn)生正應力，切應變僅產(chǎn)生切應力。 煤、木材、增強纖維復合材料等可簡化為煤、木材、增強纖維復合材料等可簡化為正交各向異性正交各向異性彈彈性體。

12、性體。 工程上一般用三個彈性模量（工程上一般用三個彈性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三個泊松），三個泊松比（比（Poisson）（xy、 yz、 zx）和三個切變模量（）和三個切變模量（Gxy、 Gyz、Gzx）表示。）表示。三三. . 橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料 具有各向同性面，且各各向同性具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有彈性對稱軸）的面相互平行（或具有彈性對稱軸）的物體，稱為橫觀各向同性材料。物體，稱為橫觀各向同性材料。yzxxyzO 設體內(nèi)每一點存在一軸（設體內(nèi)每一點存在一軸（z軸），在軸），在與此軸垂直的平面（與此軸垂直的平面（Oxy）內(nèi)，所有射線）內(nèi)，所有射線

13、方向的彈性性質均相同。方向的彈性性質均相同。 稱該平面為各稱該平面為各向同性面。向同性面。 在正交各向異性的基礎上，按相似分析步驟，在正交各向異性的基礎上，按相似分析步驟，1122556613234411121,2ccccccccc 設設 xy 平面平面繞繞 z 軸旋轉任意角度軸旋轉任意角度 ， 旋轉前后應力應變關系不變，比較其旋轉前后應力應變關系不變，比較其彈性常數(shù)可得彈性常數(shù)可得1112131113331112555500000000010020 xxyyzzxyxyyzyzzxzxcccccccccc對 稱 所以，橫觀各向同性材料的廣義所以，橫觀各向同性材料的廣義胡克定律胡克定律可表示為

14、可表示為 橫觀各向同性橫觀各向同性材料材料，其獨立的，其獨立的彈性常數(shù)為彈性常數(shù)為5 5個；個； 地層、層狀巖體、復合板材等可簡化為地層、層狀巖體、復合板材等可簡化為橫觀各向同性橫觀各向同性彈性彈性材料。材料。 工程上一般用兩個彈性模量（工程上一般用兩個彈性模量（Exy、 Ez ），兩個泊松比），兩個泊松比（xy、 z）和一個切變模量（）和一個切變模量（G）表示。）表示。四四. . 各向同性材料各向同性材料 在橫觀各向同性在橫觀各向同性的基礎上的基礎上，將，將 z 軸反向，考察其反向前后軸反向，考察其反向前后的應力應變關系可得的應力應變關系可得223344665522231,2ccccccc1

15、11212111211111211121112000000000100210212xxyyzzxyxyyzyzzxzxcccccccccccc對 稱 所以，各向同性材料的廣義所以，各向同性材料的廣義胡克定律胡克定律可表示為可表示為各向同性材料獨立的彈性常數(shù)只有各向同性材料獨立的彈性常數(shù)只有2個個4-3 4-3 各向同性各向同性線彈性材料的物理方程線彈性材料的物理方程一一. . 廣義廣義胡克定律胡克定律的基本形式的基本形式 對于對于各向同性材料的廣義胡克定律表達式，展開各向同性材料的廣義胡克定律表達式，展開令令111211121112111211121112121212xxyzxyxyyyzxy

16、zyzzzxyzxzxcccccccccccc12111212cGcc222xxxyxyyyyzyzzzzxzxGGGGGG則則其中其中kkxyz張量形式張量形式2ijijijG（注：（注： Lam原文所用原文所用符號為符號為 和 而非G， 也不是泊松比。也不是泊松比。在工程形式中，在工程形式中，Lam常數(shù)常數(shù) 實際上被定義為切變模量實際上被定義為切變模量G） 、G 稱為稱為拉梅（拉梅（Lam）常數(shù)）常數(shù) 此即廣義胡克定律的基本形式，該形式數(shù)學表述簡練，便此即廣義胡克定律的基本形式，該形式數(shù)學表述簡練，便于理論推導應用，但力學意義不能一目了然，不便于工程運用。于理論推導應用，但力學意義不能一目

17、了然，不便于工程運用。二二. . 廣義胡克定律的工程形式廣義胡克定律的工程形式 將前六式反解，并令將前六式反解，并令322GGEGG 則則111111xxyzyxyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG 此即廣義胡克定律的工程形式，其中常數(shù)此即廣義胡克定律的工程形式，其中常數(shù) E、G 和和 是廣是廣為熟知的彈性模量、切變模量和泊松比。僅兩個獨立。為熟知的彈性模量、切變模量和泊松比。僅兩個獨立。張量形式張量形式其中其中kkxyz由由322GGEGG2 1112EEG1()ijijijijE 得得若用應變表示，反解或由基本形式代入即得若用應變表示，反解或由基本形式代入即得1122 1112

18、2 11122 1xxyzyzyyzxzxzzxyxyEEEEEE或或2ijijijGE三三. . 體積胡克定律體積胡克定律由由2iiiiiiGE即即132GE描述了體積應力和體積應變的關系描述了體積應力和體積應變的關系令令K稱為體積彈性模量稱為體積彈性模量131212KGE故故K稱為體積胡克定律稱為體積胡克定律32GE張量形式張量形式1112ijijijE或或2112ijijijEGmm11112222ijijijijijsGGGG 所以所以12ijijesG當當 i j 時，因時，因1100JJ 三式相加為恒等式三式相加為恒等式即六對量僅五個關系即六對量僅五個關系補充一個關系補充一個關系體積胡克定律體積胡克定律故故12ijijesG1K四四. . 廣義胡克定律的偏量形式廣義胡克定律的偏量形式m12112323ijijijijijijijijeGEEGE 此形式便于塑性分析此形式便于塑性分析五五. . 彈性常數(shù)的關系彈性常數(shù)的關系 前述廣義胡克定律的各種形式，涉及的彈性常數(shù)有五個前述廣義