流體力學(xué)三大方程的推導(dǎo)

1、微分形式的連續(xù)性方程連續(xù)方程是流體力學(xué)的基本方程之一,流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程，反映流體運(yùn)動(dòng)和流體 質(zhì)量分布的關(guān)系，它是在質(zhì)量守恒定律在流 體力學(xué)中的應(yīng)用。重點(diǎn)討論不同表現(xiàn)形式的流體連續(xù)方程。用一個(gè)微六面體元控制體建立微分形式的連續(xù)性方程o設(shè)在流場(chǎng)中取一固定不動(dòng)的微平行六面體（控制體），在直角坐標(biāo)系 oxyz中，六面體的邊長(zhǎng)取為dx, dy, dz。先看x軸方向的流動(dòng)，流體從ABCD面 流入六面體.從EFGH面流出。在x軸方向流出與流入質(zhì)量之差dxdydzdt - /?uxdydzdt =8(011 Jdxdxdydzdt用同樣的方法，可得在y軸方向和z軸方向的流出與流入 質(zhì)量之差分別為O(PUy)

2、6dxdydzdtO(QUz)dxdydzdt這樣，在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)六面體的全部六個(gè)面凈流出的質(zhì)量為:沁+ 込 +沁dxdydzdt6x6x3x-Idxdydzdt在dt的時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)的質(zhì)量減少了（-等dxdydzdt）,根據(jù)質(zhì)量守恒定律，凈流出兀面體的質(zhì)量必等于六面體內(nèi)所減少的質(zhì)量込 +込* 品陽(yáng)ydzdt =6x 5y oz這就是直角坐標(biāo)系中流體運(yùn)動(dòng)的微分形式的連續(xù)性方程。| °（QUy）| S 二 0dx dy dz dt代表單位時(shí)間內(nèi)，單位體積內(nèi) 質(zhì)量的凈流出代表單位時(shí)間內(nèi)，單位體積 的質(zhì)量變化這就是宜角坐標(biāo)系中流體運(yùn)動(dòng)的微分形式的連續(xù)性方程。在連續(xù)方程中6(05)十 6

3、(0%)十 5(x?uz) | 切 _ ° dxdyczdt利用散度公式：得到一 doo div(pu) = (piix) + (Ky) + (Kz) ckcycz+ div(pu) = 0dt得到 + pdivu +遼 V/? = 0+ /?divudiv(/)u) = pdivu +u-V/)0利用矢童場(chǎng)基本運(yùn)算公式和隨體導(dǎo)數(shù)公式:討論對(duì)于定常流動(dòng)，二=0 ，連續(xù)方程可簡(jiǎn)化為, at+ div(/?v) = 0 dtdiv( /?v) = 0 一一微分形式水表明定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位體積內(nèi)流進(jìn)流出的質(zhì)量相等。適用于可 壓或不可壓流體。Dp n對(duì)于不可壓縮流體，藥=°，連續(xù)方程

4、可簡(jiǎn)化為，divv = 0 因?yàn)轭?加心0*表明對(duì)不可壓流體，體積在隨體運(yùn)動(dòng)中保持不變。適用于定?；?不定常流體。微分形式的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程是流體運(yùn)動(dòng)的最基本的運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，即 找出流體運(yùn)動(dòng)和它受到的作用力之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)表 達(dá)式，依據(jù)的理論原理是牛頓的運(yùn)動(dòng)定律或動(dòng)量定理, 下面利用歐拉法形式建立微分形式的運(yùn)動(dòng)方程。作用于流體的力分析對(duì)象：流體中以界面b包圍的體積為r的流體塊r質(zhì)量力流體的作用力3I表面力質(zhì)量力質(zhì)量力(體力):是指作用于所有流體質(zhì)點(diǎn)的力。如重力、萬(wàn)有引力等。(1) 質(zhì)量力是長(zhǎng)程力：它隨相互作用的元素之間的距離的增加而減小，對(duì)于一般流體的特征運(yùn)動(dòng)距離而言，均能顯示出來(lái)。(2) 它是

5、一種分布力，分布于流體塊的整個(gè)體積內(nèi)，流 體塊所受的質(zhì)量力與其周?chē)袩o(wú)其他流體存在并無(wú)關(guān)系o通常情況下，作用于流體的質(zhì)量力通常就是指重力。如果用表示單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力，規(guī)定其為:5Fr=lim 5mT0 CHI其中費(fèi)'是作用在質(zhì)量為的流體塊上的質(zhì)量力。不難看出，f可以看做力的分布密度。例如：對(duì)處于重力作用的物體而言，質(zhì)量力的分布密度 或者說(shuō)單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力就是重力加速度g。表面力表面力：是指流體內(nèi)部之間或者流體與其他物體之間 的接觸面上所受到的相互作用力。1:1如流體內(nèi)部的粘性應(yīng)力和壓力、流體與固體接觸面上的摩擦力等。(1)表面力是一種短程力：源于分子間的相互作用。表面力隨相

6、互作用元素之間的距離增加而迅速減弱，只有在相 互作用元素間的距離與分子距離同量級(jí)時(shí)，表面力才顯現(xiàn) 出來(lái)。(2)流體塊內(nèi)各部分之間的表面力是相互作用而相互抵消的，只有處于界面上的流體質(zhì)點(diǎn)所受的，由界面外側(cè)流體 所施加的表面力存在。表面力也是一種分布力，分布在相互接觸的界面上。定義單位面積上的表面力為：P = lim 當(dāng)&TTO OCT其中第'是作用于某個(gè)流體面積上 的表面力質(zhì)量力和表面力的比較質(zhì)量力和表面力有著本質(zhì)的差別。矢量F是質(zhì)量力的分布密度，它是時(shí)間和空間點(diǎn)的函 數(shù)，因而構(gòu)成了一個(gè)矢量場(chǎng)。而矢量P為流體的應(yīng)力矢，它不但是時(shí)間和空間點(diǎn)的函數(shù)，并且在空間每一點(diǎn)還隨著受力面元的取

7、向不同而變化。 所以要確定應(yīng)力矢p ,必須考慮點(diǎn)的矢徑r 、該點(diǎn)受力 面元的方向（或者說(shuō)面元的法向單位矢死）以及時(shí)間to確 切地說(shuō)應(yīng)力矢是兩個(gè)矢量（了、冠）和一個(gè)標(biāo)量函數(shù)tc在運(yùn)動(dòng)流體中選取一小六面體體元， 其邊長(zhǎng)務(wù)射另:Sy.SzzpSxSySz=質(zhì)量力+表面力dt根據(jù)牛頓第二定律:為了導(dǎo)出流體的運(yùn)動(dòng)方程，首先來(lái)分析小體元的受力情況。X方向質(zhì)量力分析兀方向的質(zhì)量力二F0H1二F/5x5y5zx方向表面力分析P-3 &周?chē)黧w對(duì)小體元的六個(gè)表面有表面力的作用，而通過(guò)六個(gè) 側(cè)面作用于小體元沿X方向的表面力分別為：前后側(cè)面:小體元所受的龍方向的表面力=前后側(cè)面之和:&c6y&

8、;右左側(cè)面:Pyx +字DP-yx 0 丿上下側(cè)面：”茫+警列p-zxy因此，周?chē)黧w通過(guò)六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿X方向的 表面力合力為：（孔1餐十觀？&C0及丿X方向合力分析據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律：小體元受力等于其質(zhì)量與加速度的乘積:+壘+壘&切&&) 及丿&C單位質(zhì)量流體在X方向的運(yùn)動(dòng)方程同理可得:單位質(zhì)量流體在乜=F+丄dt z p 單位質(zhì)量流體在11&) diy方向的運(yùn)動(dòng)方程坐+冬+壘 區(qū) 勺 及Z方向的運(yùn)動(dòng)方程流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式矢量形式dV dt=F + P（圭+圭+圭 I &C 0 及丿或者:V<P =8 0y刃丿Pxx Px

9、yPyx Pyy PyzPzx Pzy Pzz)微分形式的能量方程中也豔議豔是自然界的普遍規(guī)衛(wèi)流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程孤立系統(tǒng)（與外界沒(méi)有質(zhì)量.能量的交換）:流體在 運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以伴隨著各種形式的能量之間的相互轉(zhuǎn)換，但 起總能量是不變的；和系黑爲(wèi)鵜麟歳爲(wèi)牆器力系統(tǒng)的能量對(duì)于能量，主要指為三種形式：內(nèi)能、動(dòng)能及重力勢(shì)能。單位質(zhì)量的內(nèi)能e：流體分子熱運(yùn)動(dòng)而具有的能量；單位質(zhì)量的動(dòng)能v2/2表示單位質(zhì)量的重力勢(shì)能gz：由萬(wàn)有引力起，與位置的高差有關(guān);單位質(zhì)量的總能量（儲(chǔ)存能）ea：e =e + -v2 +gzs 2則體積為i的流體系統(tǒng)的能量E ：熱力學(xué)第一定理對(duì)于一個(gè)靜止的熱力學(xué)系統(tǒng)（或起始和終止?fàn)顟B(tài)處于靜止的

10、系統(tǒng)）:系 統(tǒng)儲(chǔ)存能的增加等于外力對(duì)系統(tǒng)所作的功與外界傳遞給系統(tǒng)的熱量之和。一個(gè)確定的流體團(tuán)也可看作一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，流體質(zhì)點(diǎn)總在流動(dòng)中，設(shè)該 系統(tǒng)偏離平衡態(tài)不遠(yuǎn)：系統(tǒng)總能量的變化率（包括內(nèi)能和動(dòng)能）等于外力對(duì)系 統(tǒng)的作功功率與通過(guò)導(dǎo)熱向系統(tǒng)的傳熱功率之和。對(duì)于某一系統(tǒng)，單位時(shí)間對(duì)系統(tǒng)所作的功（實(shí)際上就是 功野爲(wèi)表示，單位時(shí)間加給系統(tǒng)的熱量用Q表示，則系統(tǒng)能量E的變化率為：DEdF_dWdt在系統(tǒng)的總能量中，已考慮單位質(zhì)量的重力勢(shì)能，則質(zhì) 量力作功功率中將不包括重力作功功率。將熱力學(xué)第一定律應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)，把上式各項(xiàng)用有關(guān)的 流體物理量表示出來(lái)，即是能量方程。推導(dǎo)微分形式的能量方程的思路：根據(jù)熱

11、力學(xué)第一定律，系統(tǒng)能量 的變化率等于外力單位時(shí)間對(duì)系統(tǒng)所作的功與通過(guò)熱傳導(dǎo)向系統(tǒng)單位時(shí) 間所傳的熱量之和。即：?jiǎn)挝粫r(shí)間系統(tǒng)能量的變化二單位時(shí)間外力對(duì)系統(tǒng)所作的功 +單位時(shí)間外界傳遞給系統(tǒng)的熱量外力對(duì)系統(tǒng)所作的功二質(zhì)量力所作的功+表面力所作的功外界傳遞給系統(tǒng)的熱量二傳導(dǎo)熱+輻射熱下面用有關(guān)的流體的物理量來(lái)表達(dá)上述各項(xiàng)。| O(QUy)| 0(°Uz) | 0Q_o dx dy dz dt單位時(shí)間系統(tǒng)能量的變化方法1微元系統(tǒng)能量的時(shí)間變化率也分為兩部分，一部分是控制體內(nèi)儲(chǔ)存 能的變化，其單位時(shí)間的變化率為6(pes)dxdydz另一部分為經(jīng)控制面遷移的能量引起的，單位時(shí)間經(jīng)全部控制面凈流

12、出 的儲(chǔ)存能為自叫）+自叫）+舟（叫）dxdydzDED?=2(s)+ (0吃)+ ?(妙叮 + 二(0佗)dxdydz ctoxcycz= (pes) + div(pves) dxdydzdt d .= (pes) + (v V)(pes) + pesdivv dxdydzL_= -(/?es) + pes divv dxdydzpes divv dxdydzDes Dp=。莎7頸+r g十ks(|- + /?divv) dxdydz=p-dxdydz單位時(shí)間系統(tǒng)能量的變化方法2在t時(shí)刻微元六面體系統(tǒng)的儲(chǔ)存能dxdydz,其系統(tǒng)能量的隨 體導(dǎo)數(shù)：=總(冬 dxdydz) = pdxdydz

13、+ es 斗(/xlxdydz)詩(shī)dxdydz由于系統(tǒng)質(zhì)量的隨體導(dǎo)數(shù)等于零。II0善(/odxdydz) = 0前后面的壓力單位時(shí)間內(nèi)所作的功計(jì)算外力對(duì)微元所作的功 包括質(zhì)量力與表面力所作的功。單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力所作的功為/?Fbl vdxdydz（為什么是點(diǎn)積）表面力所作的功，將依各應(yīng)力分童分別計(jì)算。X方向的應(yīng)力單位時(shí)間所作功為前后面的壓力單位時(shí)間內(nèi)所作的功dydz左右面的切力單位時(shí)間內(nèi)所作的功前后面的壓力單位時(shí)間內(nèi)所作的功前后面的壓力單位時(shí)間內(nèi)所作的功上下面的切力單位時(shí)間內(nèi)所作的功前后面的壓力單位時(shí)間內(nèi)所作的功前后面的壓力單位時(shí)間內(nèi)所作的功p, dxdy前后面的壓力單位時(shí)間內(nèi)所作的功X方向的

14、應(yīng)力單位時(shí)間所作功為 前后面壓力和，、5x丿3u -左右面切力p +-dx u+dx5x丿PJ警-P3 dydz+時(shí)評(píng)卜評(píng)押dzdxdz u +dz -pj dxdy5ii 6p dv 8i=p + u+dx dxdydz+ ax ax & '6u印盤(pán) 印莖比；L :+ Pzx=+-u+于dz dxdydz< dz 8z cz dz XXaz上下面切力和印幣印加比人L人人 P+U+V¥ yJ y；(PJ)+E(PJ)+2(Py)+dx+±?dy+?ex 5y czex ex cy cy cz czq 881= l(p)+-(p)xu)+-(p2xu)

15、dxdydzdz dxdydzcz為什么等于0同理，y向的應(yīng)力作功為5同理，y向的應(yīng)力作功為(Pv) + (Pv) + V(pdxdydz0XSydz同理，z向的應(yīng)力作功為(Pxzw) + (p)zw) + (w) dxdydzSy5z5將全部表面力所作功相加可寫(xiě)為6 & & & 6 °(Pxx11) + (Pjxu) + (P：xu)Jdxdydz + (pv) + (pv) +(pv) dxdydz +6 6& 玉(Pxzw)+ (Pf) + (pjdxdydz=£(PQ+ PxyV+ PxzW)+ g(P+ P,異 + P)+舟(P/+

16、 PJ+ PJV) dxdydz_ ddd"I= (px v)+(Py-v) + (p2 v) dxdydzgxoydz這樣，對(duì)微元六面體，質(zhì)量力(除去重力)和表面力在單位時(shí)間共作的功為學(xué)=/>Fb -v + -(px-v) + -(p -v) + -(pz-v) dxdydzdtexoy - oz最后再計(jì)算加給微元六面體的熱量這里計(jì)算的只是輻射熱及傳導(dǎo)熱兩種。輻射熱是通過(guò)電磁波對(duì)流體產(chǎn)生熱量，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)由輻射傳入單位質(zhì)量 流體的熱量為q，則單位時(shí)間內(nèi)在微元內(nèi)產(chǎn)生輻射熱為pqdxdydz傳導(dǎo)熱通過(guò)流體表面?zhèn)魅肓黧w。ABCD面元傳入微元的熱量為-kdydz單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABCD

17、面元傳入微元的熱量為kdydz+fk-dydz dx于是單位時(shí)間經(jīng)ABCS ABCD兩面共傳入熱量為1(于是單位時(shí)間經(jīng)ABCS ABCD兩面共傳入熱量為(/rr(kdydz1(于是單位時(shí)間經(jīng)ABCS ABCD兩面共傳入熱量為1(于是單位時(shí)間經(jīng)ABCS ABCD兩面共傳入熱量為AADD、BBCC兩相對(duì)面元單位時(shí)間傳入熱量為dayST5ydzdx dy1(于是單位時(shí)間經(jīng)ABCS ABCD兩面共傳入熱量為1(于是單位時(shí)間經(jīng)ABCS ABCD兩面共傳入熱量為ArABBDCC兩相對(duì)面元單位時(shí)間傳入熱倉(cāng)為kdxdy dz cz 丿1(因而經(jīng)微元體全部表面，單位時(shí)間傳入微元的熱量為因而經(jīng)微元體全部表面，單位

18、時(shí)間傳入微元的熱量為aTdxd3x=V (kVT)dxdydzd+ 一ay5Tay5TczdxdydzQ = yoq + V -(kVT)Jdxdydz依熱力學(xué)第一定律p e. dxdydz =Dtd+ 一(p ) + 一(p G) + /xi + V7(kVT) dxdydzdydzD 一_6dd -Pes= pFbl -V + (Px-V) + (py-V) + -(p2-V) + pq + V- (kVT)Px-V=pxxu+px>y+pxzw<Py-V=PyxU+pyyV+pWPz-V=pzxu+pzyv+pzzw上式右端三個(gè)量組成了一個(gè)矢童并以表示Pxx Pxy PxzUPQ+ PxyV+ PxzWp-V =P 理Pyy PzyV=P/U+PyyV+pW_Pzx Pzy Pzz_wPzxU+ PzyV+ PW三個(gè)量之和(px -V)+ (pv -v) + (p, -V)構(gòu)成了散度： oxcydz(Px-v) + (py -v) + (pz -v) = div(P v) 氷dyczDpe + + gzDUDt( 25 )