立體幾何中的常見(jiàn)題型及基本思路

1、立體幾何中的常見(jiàn)題型及基本思路解決一切空間幾何問(wèn)題的核心目標(biāo)是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。1. 線線平行（是線面平行和面面平行的基礎(chǔ) ）的證明思路：（1）找到或者構(gòu)建含兩線的平行四邊形（2）看兩直線是否構(gòu)成一個(gè)三角形的中位線或者等分線的關(guān)系（3）垂直于同一平面的兩直線平行。即：若.（4）平行于同一直線的兩直線平行。即：若（5）線面平行性質(zhì)得到線線平行：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和已知平面相交，那么這條直線和交線平行。即：若.（6）面面平行性質(zhì)得到線線平行：兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行。即：若（7）如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線

2、平行。即若。2.線面平行的證明思路：（1）定義：若一條直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行（不常用）。（2）判定定理：在平面內(nèi)找到一條和已知直線（在平面外）平行的直線。即：若（3）由面面平行得到的線面平行：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即：若。例見(jiàn)T9山東12年高考（4）如果一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即若。（5）如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若ab,a,b(或b)（6）兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若,a，a，a，則.（7）如

3、果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a,b，ba，則b.（8）在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即若A，B，A、B在同側(cè)，且A、B到等距，則AB.3.面面平行的證明思路：（1）定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn).（不常用）（2）判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b，ab=P,a,b,則.（3）垂直于同一直線的兩平面平行.即若a,a,則.（4）平行于同一平面的兩平面平行.即若,則.（5）一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的

4、兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,則.4.線線垂直（是線面垂直和面面垂直的基礎(chǔ)）的證明思路：（1）勾股定理（2）等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（3) 矩形（正方形）臨邊，菱形（正方形）對(duì)角線相互垂直（4)線面垂直性質(zhì)（）（5）定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.（6）一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若bc,ab,則ac（7）三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.（8）如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a,b,則ab.

5、（9）三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若,，,且=a,=b,=c，則ab,bc,ca.例見(jiàn)T8陜西12年文，T14安徽12年文5.線面垂直的證明思路：（1）判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。即：若m，n，mn=A，lm,ln,則l（2)找一個(gè)面或者線的平行面或者線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化：或（3）面面垂直性質(zhì)：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。即：（4）定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.（不常用）（5）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若

6、la,a,則l.（6）一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若,l，則l.（7）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若,且a=,則a.6.面面垂直的證明思路：（1）判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。即：（2）定義法（二面角是直角）：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直。即：（3）一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)。即：若，則例見(jiàn)T6天津12年文科7.求角：一作二證三計(jì)算（1）線線角（異面直線所成角）轉(zhuǎn)化成相交直線，并且交點(diǎn)往往取其中一條直線的端點(diǎn)或中點(diǎn)（2）線面角射影轉(zhuǎn)換法：做垂線、找射影，求夾角（3）二面角定義法：在兩平面內(nèi)分別做交線的垂線，解三角形、三垂線法垂面法8.求體積：例見(jiàn)T8陜西12文，T10湖南12文，T11廣東12文9.折疊：例見(jiàn)T13北京12文10.最值:例見(jiàn)福建12文11.交點(diǎn)與交線問(wèn)題:1）線面交點(diǎn)：求直線a與平面的交點(diǎn)，可通過(guò)直線a做一個(gè)平面，且與的交線記為b,則a與b的交點(diǎn)即為直線a與平面的交點(diǎn)2）面面交線：在兩個(gè)平面內(nèi)找到兩個(gè)公共點(diǎn)，連線即為交線若在圖形上只能找到一個(gè)公共點(diǎn)，可以