2022年平行四邊形性質(zhì)和判定綜合習(xí)題精選(答案詳細(xì))

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載一解答題（共 30 小題）第十九章平行四邊形性質(zhì)和判定綜合習(xí)題精選1（ 2021.資陽）如圖，已知四邊形abcd 為平行四邊形， ae bd 于 e， cf bd 于 f（ 1）求證： be=df ；（ 2）如 m 、n 分別為邊 ad 、bc 上的點(diǎn)，且 dm=bn ，試判定四邊形 menf 的外形（不必說明理由） 2（ 2021.昭通）如下列圖，.aecf 的對角線相交于點(diǎn)o， db 經(jīng)過點(diǎn) o， 分別與 ae ， cf 交于 b ，d 求證：四邊形 abcd 是平行四邊形3（2021.徐州）如圖，在四邊形 abcd 中，ab=cd ，bf=de ，ae bd ，cfb

2、d ，垂足分別為 e， f（ 1）求證： abe cdf ；（ 2）如 ac 與 bd 交于點(diǎn) o，求證： ao=co 4（2021.銅仁地區(qū)） 已知： 如圖，在 abc 中， bac=90 °，de、df 是 abc的中位線，連接 ef、ad 求證： ef=ad 5（ 2021.瀘州）如圖，已知d 是 abc 的邊 ab 上一點(diǎn)， ce ab ，de 交 ac 于點(diǎn) o，且 oa=oc ，猜想線段 cd 與線段 ae 的大小關(guān)系和位置關(guān)系， 并加以證明6（2021.恩施州）如圖，已知， .abcd 中， ae=cf ，m 、n 分別是 de、bf的中點(diǎn)求證：四邊形 mfne 是平行

3、四邊形7（ 2021.永州）如圖，平行四邊形abcd ，e、f 兩點(diǎn)在對角線 bd 上，且 be=df ，連接 ae ， ec， cf， fa 求證：四邊形 aecf 是平行四邊形8（ 2021.來賓）在 .abcd 中，分別以 ad 、bc 為邊向內(nèi)作等邊 ade 和等邊 bcf ，連接 be、df 求證：四邊形 bedf 是平行四邊形9（ 2006.黃岡）如下列圖，db ac ，且 db=ac ， e 是 ac 的中點(diǎn)，求證： bc=de 10（ 2006.巴中）已知：如圖，在梯形 abcd 中， ad bc， ad=24cm ， bc=30cm ，點(diǎn) p 自點(diǎn) a 向 d 以 1cm/s

4、 的速度運(yùn)動， 到 d 點(diǎn)即停止 點(diǎn) q 自點(diǎn) c 向 b 以 2cm/s 的速度運(yùn)動， 到 b 點(diǎn)即停止， 直線 pq 截梯形為兩個(gè)四邊形 問當(dāng) p， q 同時(shí)動身，幾秒后其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？11（2002 .三明）如圖：已知d、 e、f 分別是 abc 各邊的中點(diǎn)，求證： ae 與 df 相互平分12. 已知：如圖，在.abcd 中，對角線 ac 交 bd 于點(diǎn) o，四邊形 aode 是平行四邊形求證：四邊形aboe 、四邊形 dcoe 都是平行四邊形13. 如圖，已知四邊形abcd 中，點(diǎn) e， f， g， h 分別是 ab 、 cd 、ac 、bd 的中點(diǎn)，并且點(diǎn) e、f、 g

5、、h 有在同一條直線上求證： ef 和 gh 相互平分14. 如圖： .abcd 中， mn ac ，試說明 mq=np 15. 已知：如下列圖，平行四邊形abcd 的對角線 ac ， bd 相交于點(diǎn) o， ef 經(jīng)過點(diǎn) o 并且分別和 ab ， cd 相交于點(diǎn) e， f，點(diǎn) g， h 分別為 oa ， oc 的中點(diǎn)求證：四邊形ehfg 是平行四邊形16. 如圖，已知在 .abcd 中， e、f 是對角線 bd 上的兩點(diǎn)， be=df ，點(diǎn) g、h 分別在 ba 和 dc 的延長線上，且ag=ch ，連接 ge、eh、hf 、fg（ 1）求證：四邊形 gehf 是平行四邊形；（ 2）如點(diǎn) g、

6、h 分別在線段 ba 和 dc 上，其余條件不變，就（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）17. 如圖，在 abc 中， d 是 ac 的中點(diǎn)， e 是線段 bc 延長線一點(diǎn)，過點(diǎn)a 作 be 的平行線與線段 ed 的延長線交于點(diǎn) f，連接 ae 、cf （ 1）求證： af=ce ；（ 2）假如 ac=ef ，且 acb=135 °，試判定四邊形 afce 是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論18. 如圖平行四邊形 abcd 中， abc=60 °，點(diǎn) e、f 分別在 cd 、bc 的延長線上， ae bd ，efbf ，垂足為點(diǎn) f， df=2（ 1）求證： d 是 ec

7、 中點(diǎn)；（ 2）求 fc 的長19（ 2021.廈門）如圖，已知 abc 是等邊三角形，點(diǎn)d、 f 分別在線段 bc 、ab 上， efb=60 °，dc=ef （ 1）求證：四邊形 efcd 是平行四邊形；（ 2）如 bf=ef ，求證： ae=ad 20（ 2021.濱州）如圖，四邊形abcd ，e、f、g、h 分別是 ab 、bc 、cd 、da 的中點(diǎn)（ 1）請判定四邊形 efgh 的外形？并說明為什么；（ 2）如使四邊形 efgh 為正方形，那么四邊形abcd 的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？21（ 2021.佛山）如圖， acd 、abe 、bcf 均為直線 bc 同側(cè)的等邊三

8、角形（ 1）當(dāng) ab ac 時(shí)，證明：四邊形adfe 為平行四邊形；（ 2）當(dāng) ab=ac時(shí)，順次連接a 、d、f、e 四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載22如圖，以 abc 的三邊為邊，在 bc 的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即 abd 、 bce 、acf ，那么，四邊形 afed 是否為平行四邊形？假如是，請證明之，假如不是，請說明理由23（ 2007.黑龍江）在 abc 中， ab=ac ，點(diǎn) p 為 abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)p 分別作 peac 交 ab 于點(diǎn) e， pf ab 交 bc 于點(diǎn) d，交 ac 于點(diǎn) f如點(diǎn) p 在 bc 邊

9、上（如圖 1），此時(shí) pd=0 ，可得結(jié)論： pd+pe+pf=ab 請直接應(yīng)用上述信息解決以下問題：當(dāng)點(diǎn) p 分別在 abc 內(nèi)（如圖 2）， abc 外（如圖 3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？如成立，請賜予證明；如不成立， pd，pe， pf 與 ab 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明24（ 2006.大連） 如圖 1，p 為 rt abc 所在平面內(nèi)任意一點(diǎn) （不在直線 ac 上），acb=90 °，m 為 ab 邊中點(diǎn) 操作：以 pa、pc 為鄰邊作平行四邊形padc ，連續(xù) pm 并延長到點(diǎn) e，使 me=pm ，連接 de探究：（ 1）請猜想與線段 de 有關(guān)

10、的三個(gè)結(jié)論；（ 2）請你利用圖 2，圖 3 挑選不同位置的點(diǎn)p 按上述方法操作；（ 3）經(jīng)受（ 2）之后，假如你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請加以證明； 假如你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請用圖2 或圖 3 加以說明；（留意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例賜予說明也得分）（ 4）如將 “rt abc ”改為 “任意 abc ”，其他條件不變，利用圖4 操作，并寫出與線段de 有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載25（ 2005.貴陽） 在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形abcd 分割成四個(gè)部分，使含有一組對頂角的兩個(gè)圖形全等；（ 1）依據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿意

11、以上全等關(guān)系的直線有 組；（ 2）請?jiān)趫D中的三個(gè)平行四邊形中畫出滿意小強(qiáng)分割方法的直線；（ 3）由上述試驗(yàn)操作過程，你發(fā)覺所畫的兩條直線有什么規(guī)律？26. 如圖，在直角梯形abcd 中， ab cd ， bcd=rt ， ab=ad=10cm ， bc=8cm 點(diǎn) p 從點(diǎn) a 動身，以每秒3cm 的速度沿折線 abcd 方向運(yùn)動，點(diǎn) q 從點(diǎn) d 動身，以每秒 2cm 的速度沿線段 dc 方向向點(diǎn) c 運(yùn)動已知動點(diǎn)p、q 同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn) q 運(yùn)動到點(diǎn) c 時(shí)， p、 q 運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（ 1）求 cd 的長；（ 2）當(dāng)四邊形 pbqd 為平行四邊形時(shí)，求四邊形pbqd 的周長；（ 3

12、）在點(diǎn) p、點(diǎn) q 的運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得bpq 的面積為20cm2？如存在，懇求出全部滿意條件的t 的值；如不存在，請說明理由27. 已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為o（ 0，0）、 a（ 2， 0）、b（ 1，1），就第四個(gè)頂點(diǎn) c 的坐標(biāo)是多少？28. 已知平行四邊形abcd 的周長為 36cm，過 d 作 ab ， bc 邊上的高 de 、df ，且cm，求平行四邊形abcd 的面積29如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知o 為原點(diǎn)，四邊形），點(diǎn) d 在第一象限abcd 為平行四邊形， a 、b 、c 的坐標(biāo)分別是a （ 3，）， b（ 2， 3），c（ 2，3（ 1）求

13、d 點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）將平行四邊形 abcd 先向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度所得的四邊形 a 1b1 c1d1 四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？（ 3）求平行四邊形 abcd 與四邊形 a 1b1c1d1 重疊部分的面積？30如下列圖 .abcd 中， af 平分 bad 交 bc 于 f，de af 交 cb 于 e求證： be=cf 答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一解答題（共 30 小題）1（ 2021.資陽）如圖，已知四邊形 abcd 為平行四邊形， ae bd 于 e，cf bd于 f（ 1）求證： be=df ；（ 2）如 m 、n 分別為邊 ad 、bc 上的點(diǎn)，且 dm=bn ，試判定四邊形

14、menf 的外形（不必說明理由） 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；分析：（ 1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明 abe cdf 即可得到 be=df ；（ 2）依據(jù)平行四邊形的判定方法：有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形判定四邊形menf 的外形 解答：（ 1）四邊形 abcd 是平行四邊形， ab=cd ， ab cd ， abd= cdb ， ae bd 于 e， cf bd 于 f， aeb= cfd=90 °， abe cdf （a a s）， be=df ；（ 2）四邊形 menf 是平行四邊形 證明：有（ 1）可知： be=df ，四邊形

15、 abcd 為平行四邊行， ad bc ， mdb=mbd， dm=bn ， dnf bne ， ne=mf ， mfd= neb ， mfe= nef ， mf ne ，四邊形 menf 是平行四邊形點(diǎn)評： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)2（ 2021.昭通）如下列圖，.aecf 的對角線相交于點(diǎn)o， db 經(jīng)過點(diǎn) o， 分別與 ae ， cf 交于 b ，d 求證：四邊形 abcd 是平行四邊形考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 平行四邊形的對角線相互平分，對角線相互平分的四邊形是平行四邊形解

16、答： 證明：四邊形 aecf 是平行四邊形 oe=of， oa=oc ，ae cf， dfo= beo ， fdo= ebo ， fdo ebo ， od=ob ， oa=oc ，四邊形 abcd 是平行四邊形點(diǎn)評： 此題考查平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì)3（ 2021.徐州） 如圖， 在四邊形 abcd 中， ab=cd ，bf=de ，ae bd ， cfbd ，垂足分別為e， f（ 1）求證： abe cdf ；（ 2）如 ac 與 bd 交于點(diǎn) o，求證： ao=co 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析：（ 1）由

17、bf=de ，可得 be=cf ，由 ae bd ，cf bd ，可得 aeb= cfd=90 °，又由 ab=cd ，在直角三角形中利用 hl 即可證得： abe cdf；（ 2）由 abe cdf，即可得 abe= cdf，依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得ab cd ，又由 ab=cd ， 依據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形abcd 是平行四邊形，就可得ao=co 解答： 證明：（ 1） bf=de ， bf ef=de ef， 即 be=de ， ae bd ， cf bd ， aeb= cfd=90 °， ab=cd ， rt abe

18、rt cdf （ hl ）；（ 2） abe cdf ， abe= cdf ， ab cd ， ab=cd ，四邊形 abcd 是平行四邊形， ao=co 點(diǎn)評： 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì)此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用4（ 2021.銅仁地區(qū)）已知：如圖，在 abc 中， bac=90 °，de 、df 是 abc的中位線，連接 ef、ad 求證： ef=ad 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；專題 ：證明題；分析： 由 de 、df 是 abc 的中位線，依據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得四邊形aedf是平行四邊形，

19、又 bac=90 °，就可證得平行四邊形aedf 是矩形，依據(jù)矩形的對角線相等即可得 ef=ad 解答： 證明： de ， df 是 abc 的中位線， de ab ， df ac，四邊形 aedf 是平行四邊形， 又 bac=90 °，平行四邊形 aedf 是矩形， ef=ad 點(diǎn)評： 此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質(zhì)此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大， 解題的關(guān)鍵是留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5（ 2021.瀘州）如圖，已知 d 是 abc 的邊 ab 上一點(diǎn)， ce ab ，de 交 ac 于點(diǎn) o，且 oa=oc ，猜想線段 cd 與線段 ae 的

20、大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；專題 ：探究型；分析： 依據(jù) ce ab ，de 交 ac 于點(diǎn) o，且 oa=oc ，求證 ado eco，然后求證四邊形 adce 是平行四邊形，即可得出結(jié)論解答： 解：猜想線段cd 與線段 ae 的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等 證明： ce ab ， dao= eco， oa=oc ， ado eco， ad=ce ，四邊形 adce 是平行四邊形， cdae 點(diǎn)評： 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)的懂得和把握，解答此題的關(guān)鍵是求證ado eco， 然后可得證四邊形adce 是平行四邊形，即可得出結(jié)論6（ 2

21、021.恩施州）如圖，已知， .abcd 中， ae=cf ，m 、n 分別是 de 、bf 的中點(diǎn) 求證：四邊形 mfne 是平行四邊形考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 平行四邊形的判定方法有多種，挑選哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，此題所給的條件為m、n 分別是 de、bf 的中點(diǎn)，依據(jù)條件在圖形中的位置，可挑選利用“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”來解決解答： 證明：由平行四邊形可知，ad=cb ， dae= fcb ，又 ae=cf ， dae bcf ， de=bf ， aed= cfb又 m 、n 分別是 de、

22、bf 的中點(diǎn)， me=nf又由 ab dc ，得 aed= edc edc= bfc ， me nf四邊形 mfne 為平行四邊形點(diǎn)評： 平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)悟它們之間的聯(lián)系與區(qū)分，同時(shí)要依據(jù)條件合理、敏捷地挑選方法7（ 2021.永州）如圖，平行四邊形abcd ，e、f 兩點(diǎn)在對角線 bd 上， 且 be=df ，連接 ae ，ec， cf， fa求證：四邊形 aecf 是平行四邊形 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 依據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形aecf 是平行四邊形 解答： 證明：連接 ac 交 bd 于點(diǎn) o，四邊

23、形 abcd 為平行四邊形， oa=oc ， ob=od be=df ， oe=of 四邊形 aecf 為平行四邊形點(diǎn)評： 平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)分，同時(shí)要依據(jù)條件合理、敏捷地挑選方法8（2021 .來賓在 .abcd 中，分別以 ad 、bc 為邊向內(nèi)作等邊 ade 和等邊 bcf，連接 be、 df求證：四邊形 bedf 是平行四邊形考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 由題意先證 dae= bcf=60 °，再由 sas 證 dcf bae ，繼而題目得證解答： 證明：四邊形

24、abcd 是平行四邊形， cd=ab ， ad=cb ， dab= bcd 又 ade 和 cbf 都是等邊三角形， de=bf ， ae=cf dae= bcf=60 ° dcf= bcd bcf ， bae= dab dae ， dcf= bae dcf bae （sas） df=be 四邊形 bedf 是平行四邊形點(diǎn)評： 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟把握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)留意它們的區(qū)分與聯(lián)系9（ 2006.黃岡）如下列圖，db ac ，且 db=ac ， e 是 ac 的

25、中點(diǎn)，求證： bc=de 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 可依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形dbce 是平行四邊形，即可證明 bc=de 解答： 證明： e 是 ac 的中點(diǎn)， ec=ac ，又 db=ac ， db=ec 又 db ec，四邊形 dbce 是平行四邊形 bc=de 點(diǎn)評： 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟把握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)留意它們的區(qū)分與聯(lián)系10（ 2006.巴中）已知：如圖，在梯形abcd 中， ad bc， ad=24cm

26、 ， bc=30cm ，點(diǎn) p 自點(diǎn) a 向 d 以 1cm/s 的速度運(yùn)動， 到 d 點(diǎn)即停止 點(diǎn) q 自點(diǎn) c 向 b 以 2cm/s 的速度運(yùn)動，到 b 點(diǎn)即停止，直線 pq 截梯形為兩個(gè)四邊形問當(dāng)p，q 同時(shí)動身，幾秒后其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；梯形；專題 ：動點(diǎn)型；分析： 如四邊形 pdcq 或四邊形 apqb 是平行四邊形，那么qd=cq 或 ap=bq ，依據(jù)這個(gè)結(jié)論列出方程就可以求出時(shí)間解答： 解：設(shè) p，q 同時(shí)動身 t 秒后四邊形 pdcq 或四邊形 apqb 是平行四邊形，依據(jù)已知得到ap=t ， pd=24 t，cq=2t ，bq=30

27、 2t（ 1）如四邊形 pdcq 是平行四邊形，就pd=cq ， 24 t=2t t=8 8 秒后四邊形 pdcq 是平行四邊形；（ 2）如四邊形 apqb 是平行四邊形，就ap=bq ， t=30 2t t=10 10 秒后四邊形 apqb 是平行四邊形點(diǎn)評： 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，不過用運(yùn)動的觀點(diǎn)結(jié)合梯形的學(xué)問出題同學(xué)不是很適應(yīng)11（2002 .三明）如圖：已知d、 e、f 分別是 abc 各邊的中點(diǎn)，求證： ae 與 df 相互平分考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；專題 ：證明題；分析： 要證 ae 與 df 相互平分，依據(jù)平行四邊形的判定，就必需先四邊形

28、adef 為平行四邊形解答： 證明： d、e、f 分別是 abc 各邊的中點(diǎn)，依據(jù)中位線定理知：de ac ， de=af ，ef ab ，ef=ad ，四邊形 adef 為平行四邊形故 ae 與 df 相互平分點(diǎn)評： 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟把握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行供應(yīng)了依據(jù)12. 已知：如圖，在.abcd 中，對角線 ac 交 bd 于點(diǎn) o，四邊形 aode 是平行四邊形求證：四邊形 aboe 、四邊形 dcoe 都是平行四邊形 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 由于.abcd ， ob=od ，

29、又 aode 是平行四邊形， ae=od ，所以 ae=ob ， 又 ae od，依據(jù)平行四邊形的判定，可推出四邊形aboe 是平行四邊形同理， 也可推出四邊形 dcoe 是平行四邊形解答： 證明： .abcd 中，對角線 ac 交 bd 于點(diǎn) o， ob=od ，又四邊形 aode 是平行四邊形， ae od 且 ae=od ， ae ob 且 ae=ob ，四邊形 aboe 是平行四邊形，同理可證，四邊形dcoe 也是平行四邊形點(diǎn)評： 此題要求把握平行四邊形的判定定理：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形13. 如圖，已知四邊形abcd 中，點(diǎn) e，f，g，h 分別是 ab 、cd 、

30、ac、bd 的中點(diǎn)， 并且點(diǎn) e、f、g、h 有在同一條直線上求證： ef 和 gh 相互平分 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 要證明 ef 和 gh 相互平分， 只需構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線相互平分即可證明解答： 證明：連接 eg、gf、fh 、he，點(diǎn) e、f、g、h 分別是ab 、cd 、ac 、 bd 的中點(diǎn)在 abc 中， eg=bc；在 dbc 中， hf=bc， eg=hf 同理 eh=gf 四邊形 egfh 為平行四邊形 ef 與 gh 相互平分點(diǎn)評： 此題考查的是綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定定理嫻熟把握性質(zhì)定理和判

31、定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)留意它們的區(qū)分與聯(lián)系14. 如圖： .abcd 中， mn ac ，試說明 mq=np 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 先證 amqc 為平行四邊形，得ac=mq ，再證 apnc 為平行四邊形，得ac=np ，進(jìn)而求解 解答： 證明：四邊形 abcd 是平行四邊形， am qc， ap nc 又 mn ac ，四邊形 amqc為平行四邊形，四邊形apnc 為平行四邊形 ac=mq ac=np mq=np 點(diǎn)評： 此題考查的學(xué)問點(diǎn)為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊

32、形15. 已知：如下列圖，平行四邊形abcd 的對角線 ac ， bd 相交于點(diǎn) o， ef 經(jīng)過點(diǎn) o 并且分別和 ab ， cd 相交于點(diǎn) e， f，點(diǎn) g， h 分別為 oa ， oc 的中點(diǎn)求證：四邊形ehfg 是平行四邊形考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；分析： 要證四邊形 ehfg 是平行四邊形，需證og=oh ，oe=of，可分別由四邊形abcd 是平行四邊形和 oeb ofd 得出 解答： 證明：如答圖所示，點(diǎn) o 為平行四邊形 abcd 對角線 ac ，bd 的交點(diǎn)， oa=oc ， ob=od g，h 分別為 oa ，oc 的中點(diǎn)， o

33、g=oa ， oh=oc， og=oh 又 ab cd ， 1= 2在 oeb 和 ofd 中， 1= 2， ob=od ， 3= 4， oeb ofd ， oe=of四邊形 ehfg 為平行四邊形點(diǎn)評： 此題主要考查平行四邊形的判定：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形16. 如圖，已知在 .abcd 中， e、f 是對角線 bd 上的兩點(diǎn)， be=df ，點(diǎn) g、h 分別在 ba 和 dc 的延長線上，且ag=ch ，連接 ge、eh、hf 、fg（ 1）求證：四邊形 gehf 是平行四邊形；（ 2）如點(diǎn) g、h 分別在線段 ba 和 dc 上，其余條件不變，就（1）中的結(jié)論是否成立？（不用

34、說明理由） 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；專題 ：證明題；探究型；分析：（ 1）先由平行四邊形的性質(zhì)， 得 ab=cd ，ab cd ，依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得gbe= hdf 再由 sas 可證 gbe hdf ，利用全等的性質(zhì)，證明gef= hfe ，從而得 gehf ，又 ge=hf ，運(yùn)用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證（ 2）仍成立可仿照（ 1）的證明方法進(jìn)行證明 解答：（ 1）證明：四邊形abcd 是平行四邊形， ab=cd ， ab cd ， gbe= hdf 又 ag=ch ， bg=dh 又 be=df ， gbe hdf ge=hf ，

35、 geb= hfd ， gef= hfe ， ge hf ，四邊形 gehf 是平行四邊形（ 2）解：仍成立 （證法同上）點(diǎn)評： 此題考查的學(xué)問點(diǎn)為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形17. 如圖，在 abc 中， d 是 ac 的中點(diǎn)， e 是線段 bc 延長線一點(diǎn)，過點(diǎn)a 作 be 的平行線與線段 ed 的延長線交于點(diǎn) f，連接 ae 、cf （ 1）求證： af=ce ；（ 2）假如 ac=ef ，且 acb=135 °，試判定四邊形 afce 是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的判定；專題 ：證明題；分析：（ 1）由 afec ，依據(jù)平

36、行線的性質(zhì)得到dfa= dec ， daf= dce ，而 da=dc ，易證得 daf dce ，得到結(jié)論；（ 2）由 afec ，af=ce ，依據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形afce 是平行四邊形， 再依據(jù)對角線相等即ac=ef ， 可判定平行四邊形afce 是矩形，就 fce= cfa=90 °，通過 acb=135 °，可得到 fca=135 ° 90°=45°，就易判定矩形 afce 是正方形解答：（ 1）證明： af ec， dfa= dec ， daf= dce ， d 是 ac 的中點(diǎn)， da=dc ， daf dce ， af

37、=ce ；（ 2）解：四邊形 afce 是正方形理由如下： af ec， af=ce ，四邊形 afce 是平行四邊形， 又 ac=ef ，平行四邊形 afce 是矩形， fce= cfa=90 °，而 acb=135 °， fca=135 °90°=45°， fac=45 °， fc=fa ，矩形 afce 是正方形點(diǎn)評： 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形也考查了矩形、正方形的判定方法18. 如圖平行四邊形 abcd 中， abc=60 °，點(diǎn) e、f 分別在 cd 、bc 的延長線

38、上， ae bd ，efbf ，垂足為點(diǎn) f， df=2（ 1）求證： d 是 ec 中點(diǎn)；（ 2）求 fc 的長考點(diǎn) ：平行四邊形的判定與性質(zhì)；分析：（ 1）依據(jù)平行四邊形的對邊平行可以得到ab cd ，又 ae bd ，可以證明四邊形 abde 是平行四邊形，所以 ab=de ，故 d 是 ec 的中點(diǎn)；（ 2）連接 ef，就 efc 是直角三角形，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到cdf 是等腰三角形，再利用 abc=60 °推得 dcf=60 °，所以 cdf 是等邊三角形， fc=df ， fc 的長度即可求出解答：（ 1）證明：在平行四邊形abcd

39、 中，ab cd ，且 ab=cd ， 又 ae bd ，四邊形 abde 是平行四邊形， ab=de ， cd=de ，即 d 是 ec 的中點(diǎn)；（ 2）解：連接 ef， ef bf， efc 是直角三角形， 又 d 是 ec 的中點(diǎn)， df=cd=de=2 ，在平行四邊形 abcd 中， ab cd ， abc=60 °， ecf= abc=60 °， cdf 是等邊三角形， fc=df=2 故答案為： 2點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定， 嫻熟把握性質(zhì)定理并敏捷運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，（ 2）中連接 ef

40、構(gòu)造出直角三角形比較重要19（ 2021.廈門）如圖，已知 abc 是等邊三角形，點(diǎn)d、 f 分別在線段 bc 、ab 上， efb=60 °，dc=ef （ 1）求證：四邊形 efcd 是平行四邊形；（ 2）如 bf=ef ，求證： ae=ad 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；專題 ：證明題；分析：（ 1）由 abc 是等邊三角形得到 b=60 °，而 efb=60 °，由此可以證明 ef dc ，而 dc=ef ，然后即可證明四邊形 efcd 是平行四邊形；（ 2）如圖，連接 be ，由 bf=ef ， efb=60

41、76;可以推出 efb 是等邊三角形，然后得到eb=ef ， ebf=60 °，而 dc=ef ，由此得到 eb=dc ，又 abc 是等邊三角形，所以得到acb=60 °， ab=ac ，然后即可證明aeb adc ，利用全等三角形的性質(zhì)就證明 ae=ad 解答： 證明：（ 1） abc 是等邊三角形， abc=60 °， efb=60 °， abc= efb， efdc （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ， dc=ef ，四邊形 efcd 是平行四邊形；（ 2）連接 be bf=ef ， efb=60 °， efb 是等邊三角形， eb=ef ，

42、 ebf=60 ° dc=ef ， eb=dc ， abc 是等邊三角形， acb=60 °， ab=ac ， ebf= acb ， aeb adc ， ae=ad 點(diǎn)評： 此題把等邊三角形和平行四邊形結(jié)合在一起，第一利用等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，最終利用全等三角形的性質(zhì)解決問題20（ 2021.濱州）如圖，四邊形abcd ，e、f、g、h 分別是 ab 、bc 、cd 、da 的中點(diǎn)（ 1）請判定四邊形 efgh 的外形？并說明為什么；（ 2）如使四邊形 efgh 為正方形，那么四邊形abcd 的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？ 考點(diǎn)

43、 ：平行四邊形的判定；三角形中位線定理；正方形的性質(zhì)；專題 ：證明題；分析：（ 1）連接 ac ，利用中位線定理即可證明四邊形efgh 是平行四邊形；（ 2）由于四邊形 efgh 為正方形，那么它的鄰邊相互垂直且相等，依據(jù)中位線定理可以推出四邊形 abcd 的對角線應(yīng)當(dāng)相互垂直且相等解答： 解：（ 1）如圖，四邊形 efgh 是平行四邊形連接ac ， e、f 分別是 ab 、bc 的中點(diǎn)， efac ， ef=ac同理 hg ac， efhg ， ef=hg efgh 是平行四邊形；（ 2）四邊形 abcd 的對角線垂直且相等假如四邊形 efgh 為正方形，它的每一組鄰邊相互垂直且相等，依據(jù)中

44、位線定理得到四邊形abcd 的對角線應(yīng)當(dāng)相互垂直且相等點(diǎn)評： 此題主要考查了三角形的中位線定理，及平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)等學(xué)問21（ 2021.佛山）如圖， acd 、abe 、bcf 均為直線 bc 同側(cè)的等邊三角形（ 1）當(dāng) ab ac 時(shí)，證明：四邊形adfe 為平行四邊形；（ 2）當(dāng) ab=ac時(shí)，順次連接a 、d、f、e 四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；專題 ：證明題；分析：（ 1）要證明 adef 是平行四邊形，可通過證明ef=ad ，df=ae 來實(shí)現(xiàn)， ad=ac ， ae

45、=ab ，那么只要證明 abc dfc 以及 feb cab 即可 ad=dc ，cf=cb ，又由于 fcb= acd=60 °，那么都減去一個(gè) ace后可得出 bca= fcd ，那么就構(gòu)成了 sas， abc dfc，就能求出 ae=df ，同理可通過證明 feb cab 得出 ef=ad （ 2）可按 bac 得度數(shù)的不同來分情形爭論，假如bac=60 °， ead+ bac+ dac=180 °，因此， a 與 f 重合 a 、d 、f、 e 四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為一條線段當(dāng) bac 60°時(shí)，由（ 1） ae=ab=ac=ad，因此 a 、 d、

46、f、e 四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是菱形解答：（ 1）證明： abe 、 bcf 為等邊三角形， ab=be=ae ， bc=cf=fb ， abe= cbf=60 ° cba= fbe abc ebf ef=ac 又 adc 為等邊三角形， cd=ad=ac ef=ad 同理可得 ae=df 四邊形 aefd 是平行四邊形（ 2）解：構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段當(dāng)圖形為菱形時(shí)， bac 60°（或 a 與 f 不重合、 abc 不為正三角形）當(dāng)圖形為線段時(shí)， bac=60 °（或 a 與 f 重合、 abc 為正三角形） 點(diǎn)評： 此題的關(guān)鍵是通過三角形的全等來

47、得出線段的相等，要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角形全等的條件是否充分，缺少條件的要依據(jù)已知先求出了22如圖，以 abc 的三邊為邊，在 bc 的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即 abd 、 bce 、 acf ，那么，四邊形afed 是否為平行四邊形？假如是，請證明之，假如不是，請說明理由 考點(diǎn) ：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；專題 ：探究型；分析： 由等邊三角形的性質(zhì)易得 bed bca ， cba cef，從而得到 de=fc=af ，ad=bc=ef ，再由兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形afed 是平行四邊形解答： 解：四邊形 afed

48、 是平行四邊形 證明如下：在 bed 與 bca 中， be=bc ， bd=ba （均為同一等邊三角形的邊） dbe= abc=60 ° eba bed bca （ sas） de=ac又 ac=af de=af在 cba 與 cef 中， cb=ce ， ca=cf acb= fce=60 °+ ace cba cef（ sas） ba=ef又 ba=da ， da=ef故四邊形 afed 為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）點(diǎn)評： 此題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)認(rèn)真觀看題目所給的條件，認(rèn)真挑選適合于題目的判定方法進(jìn)行解答

49、，防止混用判定方法23（ 2007.黑龍江）在 abc 中， ab=ac ，點(diǎn) p 為 abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)p 分別作 peac 交 ab 于點(diǎn) e， pf ab 交 bc 于點(diǎn) d，交 ac 于點(diǎn) f如點(diǎn) p 在 bc 邊上（如圖 1），此時(shí) pd=0 ，可得結(jié)論： pd+pe+pf=ab 請直接應(yīng)用上述信息解決以下問題：當(dāng)點(diǎn) p 分別在 abc 內(nèi)（如圖 2）， abc 外（如圖 3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？如成立，請賜予證明；如不成立， pd，pe， pf 與 ab 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明考點(diǎn) ：平行四邊形的性質(zhì)；專題 ：探究型；分析：在圖 2 中，由于

50、四邊形 peaf 為平行四邊形， 所以 pe=af ，又三角形 fdc 為等腰三角形， 所以 fd=pf+pd=fc ， 即 pe+pd+pf=ac=ab ，在圖 3 中，pe=af 可證，fd=pf pd=cf ，即 pf pd+pe=ac=ab 解答： 解：圖 2 結(jié)論： pd+pe+pf=ab 證明：過點(diǎn) p 作 mn bc 分別交 ab ， ac 于 m ， n 兩點(diǎn)， 由題意得 pe+pf=am 四邊形 bdpm 是平行四邊形，mb=pd pd+pe+pf=mb+am=ab， 即 pd+pe+pf=ab 圖 3 結(jié)論： pe+pf pd=ab 點(diǎn)評： 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，

51、難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵24（ 2006.大連） 如圖 1，p 為 rt abc 所在平面內(nèi)任意一點(diǎn) （不在直線 ac 上），acb=90 °，m 為 ab 邊中點(diǎn) 操作：以 pa、pc 為鄰邊作平行四邊形padc ，連續(xù) pm 并延長到點(diǎn) e，使 me=pm ，連接 de探究：（ 1）請猜想與線段 de 有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；（ 2）請你利用圖 2，圖 3 挑選不同位置的點(diǎn)p 按上述方法操作；（ 3）經(jīng)受（ 2）之后，假如你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請加以證明； 假如你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請用圖2 或圖 3 加以說明；（留意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例賜予說明也得分）（ 4）如將 “rt abc ”改為 “任意 abc ”，其他條件不變，利用圖4 操作，并寫出與線段de 有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）考點(diǎn) ：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；專題 ：探究型；分析： 連接 be ，依據(jù)邊角邊可證三角形pam 和三角形 ebm 全等，可得 eb 和 pa 既平行又相等，而pa 和 cd 既平行且相等，所以de 和 bc 平行相等，又 bc ac ，所以 de 也和 ac 垂直以下幾種情形雖然圖象有所變化，但是證明方法一樣解答： 解：