第5章特征值與特征向胡建華

1、-2-把把(1)改寫為改寫為0(1)a 0()0(2)ea定義定義設(shè)設(shè) , 如果存在數(shù)如果存在數(shù) 和和向量向量 滿足滿足n nac0cnc則稱數(shù)則稱數(shù) 為為a的的特征值特征值, 稱稱非零向量非零向量 為為a的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于( (或?qū)儆诨驅(qū)儆? )特征特征值值 的的特征向量特征向量. .00由由(2)得得00ea 是是a的特征值的特征值 0 是是a的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量的特征向量0是齊次方程組是齊次方程組 的非零解的非零解0()0ea x-3-111212122212( )nnannnnaaaaaafeaaaa121121( 1)( 1)nnnnnnncccc 由代數(shù)基本定理，由代

2、數(shù)基本定理，n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域上恰有次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域上恰有 n 個(gè)根個(gè)根(重根重根按重?cái)?shù)計(jì)算按重?cái)?shù)計(jì)算)。因此，。因此，n 階方陣在復(fù)數(shù)域上恰有階方陣在復(fù)數(shù)域上恰有 n 個(gè)特征值個(gè)特征值. 關(guān)于特征值、特征向量的討論在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行關(guān)于特征值、特征向量的討論在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行.記記稱稱 為為 a 的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，稱，稱 為為 a 的的特征方特征方程程. 由前面的分析，特征方程的根即為由前面的分析，特征方程的根即為a的特征值的特征值.( )0afea( )af-4-解特征方程解特征方程例例1 1求矩陣求矩陣 的特征值與特征向量的特征值與特征向量.0110a21( )11fea12i ,i

3、i1 解解 求特征多項(xiàng)式求特征多項(xiàng)式2( )10f 得特征值為得特征值為-5-解方程組解方程組 ，得基礎(chǔ)解系：，得基礎(chǔ)解系： 10ea x1i11111(,0)kkc k則屬于特征值則屬于特征值 的所有的特征向量為的所有的特征向量為1解方程組解方程組 ，得基礎(chǔ)解系：，得基礎(chǔ)解系： 20ea x2i1 2222(,0)kkc k則屬于特征值則屬于特征值 的所有的特征向量為的所有的特征向量為2-6-例例2 211121222nnnnaaaaaaa求矩陣求矩陣 的特征值的特征值.得得 a 的的 n 個(gè)特征值為個(gè)特征值為111222,nnnaaa問問 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣,下三角矩陣的特征值等于什么？下三

4、角矩陣的特征值等于什么？解解 由由1122()()()nnaaaea22anna11a-7-例例3 3366636669a求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.366636669ea解解3663636101366303600123336663630313rr 31cc -8-1233,3 a 的特征值為的特征值為對(duì)于對(duì)于 ，解方程組，解方程組131()0ea x106610136060116612000eaea 1323xxxx 同解方程組為同解方程組為 ，令，令 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系31x t11,1,1因此，對(duì)應(yīng)于特征值因此，對(duì)應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為

5、1111(0)kk-9-對(duì)于特征值對(duì)于特征值 ，解方程組，解方程組233 2()0ea x26661113666000666000eaea 同解方程組為同解方程組為 ，令，令123xxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2310,01xx t21, 1,0 ,t31,0, 1因此，對(duì)應(yīng)于特征值因此，對(duì)應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為233 2233kk23(,)k k 不同時(shí)為零-10-(1) 向量向量 滿足滿足 , 0a0是是 a 的特征向量嗎？的特征向量嗎？(2) 實(shí)矩陣的特征值與特征向量一定是實(shí)的嗎實(shí)矩陣的特征值與特征向量一定是實(shí)的嗎?(4) 矩陣矩陣 a 是可逆矩陣的充要條件是是可逆矩

6、陣的充要條件是 a 的所有特征值的所有特征值_.(5)設(shè)設(shè) ，a 必有一個(gè)特征值為必有一個(gè)特征值為_.0ae(3) 設(shè)設(shè) ，a 有一個(gè)特征值為有一個(gè)特征值為_.0a 設(shè)設(shè) 可逆可逆, a 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_.ae(6) a 的特征值與的特征值與 的特征值有什么關(guān)系？的特征值有什么關(guān)系？ta(7) 一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)于幾個(gè)特征向量一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)于幾個(gè)特征向量?其中線性無(wú)關(guān)的特征其中線性無(wú)關(guān)的特征 向量有幾個(gè)？向量有幾個(gè)？-11-例例4 4 證明：一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值證明：一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值. 證證 假設(shè)假設(shè) 是是 a 的一個(gè)特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值有兩個(gè)的一

7、個(gè)特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值有兩個(gè) 和和 .12移項(xiàng)移項(xiàng)12a 12()0, 120則則例例5 5 設(shè)設(shè) ，證明，證明 a 的特征值只能是的特征值只能是0 0或或1.1.2aa 證證 設(shè)設(shè) 是是 a 的一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征向量為的一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征向量為 .則則22,aaa 由由2220aaoaa 20001或再再-12-性質(zhì)性質(zhì)1 1 a 與與 有相同的特征值有相同的特征值.ta性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)設(shè) n 階矩陣階矩陣 a 的的 n 個(gè)特征值為個(gè)特征值為 ，12,n 2012( )mmzcc zc zc z是一多項(xiàng)式，則是一多項(xiàng)式，則2012( )mmac ec ac ac a的的 n

8、 個(gè)特征值為個(gè)特征值為 12(), (), ()n 且對(duì)應(yīng)的特征向量相同且對(duì)應(yīng)的特征向量相同. 例如：設(shè)例如：設(shè)2階矩陣階矩陣a的兩個(gè)特征值為的兩個(gè)特征值為 ，則，則 的兩個(gè)的兩個(gè)特征值為特征值為1, 11,12a-13-性質(zhì)性質(zhì)3 3 設(shè)設(shè) n 階可逆矩陣階可逆矩陣 a 的的 n 個(gè)特征值為個(gè)特征值為 ，12,n 則則 的的 n 個(gè)特征值為個(gè)特征值為 且對(duì)應(yīng)的特征且對(duì)應(yīng)的特征向量相同向量相同.1a11112,n性質(zhì)性質(zhì)4 4 設(shè)設(shè) n 階可逆矩陣階可逆矩陣 的的 n 個(gè)特征值為個(gè)特征值為 ，12,n ijaa則則121122(1)tr( )nnnaaaa12(2)na -14-例例6 6 設(shè)

9、設(shè)3階矩陣階矩陣a的三個(gè)特征值為的三個(gè)特征值為 , 求求1, 1,232aae解解112aa aa 1232,a 1( )32232aaaeaae 的三個(gè)特征值為的三個(gè)特征值為1()232, (1,2,3)iiiii 計(jì)算得計(jì)算得1231,3,3 123329aae 因此因此矩陣矩陣-15-123123tr( )aa 4xy解解 由7147144yax例例7 7 已知矩陣已知矩陣 的的3個(gè)特征值為個(gè)特征值為 ，3,3,12得得14184944940108xxyxy解之解之求求 x，y.-16-定義定義 設(shè)設(shè)a，b都是都是 n 階矩陣，若存在可逆矩陣階矩陣，若存在可逆矩陣 p，使得，使得1p a

10、pb則稱則稱a與與b相似相似 ，記為，記為ab. 特別地，如果矩陣特別地，如果矩陣 a 與對(duì)角矩陣相似，則稱與對(duì)角矩陣相似，則稱 a 是是可對(duì)角可對(duì)角化的化的. 對(duì)對(duì) a 進(jìn)行的矩陣變換進(jìn)行的矩陣變換 稱為相似變換，其中稱為相似變換，其中 p 稱稱為相似變換矩陣為相似變換矩陣.1pap-17-相似變換的性質(zhì)相似變換的性質(zhì)(1) 相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系(滿足三條滿足三條);(2) 設(shè)設(shè)ab, 則則 ； (3) 設(shè)設(shè)ab, 則則 ;(4)設(shè)設(shè)ab，則則 a 與與 b 有相同的特征值有相同的特征值;(5)設(shè)設(shè)ab，則則 ;(6)設(shè)設(shè)ab，則則 ;(7)設(shè)設(shè)ab，則則 與與 相似

11、，其中相似，其中 是一多項(xiàng)式是一多項(xiàng)式; (8)設(shè)設(shè)ab，且且 a 可逆可逆, 則則 與與 相似。相似。tr( )tr( )abeaebab( )a( )b1a1b( ) zrankrankab-18- 解解20022311aa12bb例例1 1 設(shè)設(shè) 與與 相似，相似，求求 a 與與 b , 以及以及 a 的特征值的特征值.32( )(tr)(4)afeaaaa 32( )(tr)(2)bfebbbb由由 ，比較兩多項(xiàng)式的系數(shù)得，比較兩多項(xiàng)式的系數(shù)得( )( )abff11,ab 242 ,ab 42ab 解得解得0,2ab a的特征值即為的特征值即為b的特征值，它們是：的特征值，它們是：1

12、,2, 2.-19- 由相似變換的性質(zhì)知，相似變換保留了原矩陣的很多信息由相似變換的性質(zhì)知，相似變換保留了原矩陣的很多信息. 我們的目標(biāo)是把一個(gè)矩陣用相似變換變?yōu)樽詈?jiǎn)單形狀，其中特別我們的目標(biāo)是把一個(gè)矩陣用相似變換變?yōu)樽詈?jiǎn)單形狀，其中特別地變?yōu)閷?duì)角矩陣地變?yōu)閷?duì)角矩陣. 下面我們重點(diǎn)討論下面我們重點(diǎn)討論.-20-n 階矩陣階矩陣 a 可對(duì)角化的充要條件是可對(duì)角化的充要條件是 a 有有 n 個(gè)線性無(wú)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。關(guān)的特征向量。證證 先證必要性先證必要性. 設(shè)設(shè)a可對(duì)角化，即存在可逆矩陣可對(duì)角化，即存在可逆矩陣p使得使得12,np 記記 ，則，則1212,nna 12n于是于是(1, )ii

13、iain 112diag(,)np ap 上式說明，上式說明， 就是對(duì)應(yīng)于特征值就是對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量的特征向量.由于由于p是可逆矩是可逆矩陣，故陣，故 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).ii12,n 把上述證明過程倒推即得充分性的證明把上述證明過程倒推即得充分性的證明.-21-1233,3 可驗(yàn)證可驗(yàn)證 線性無(wú)關(guān)，故線性無(wú)關(guān)，故a可對(duì)角化可對(duì)角化.見后面注見后面注123, 233ea第第1步步求特征值求特征值 即求即求 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系第第2步步 求線性無(wú)關(guān)的特征向量，求線性無(wú)關(guān)的特征向量，()0iea xt1(1,1, 1)13t2(1, 1,0) ,t3(1,0, 1)233 36663666

14、9a例例2 2 討論矩陣討論矩陣 是否可對(duì)角化是否可對(duì)角化.若可以，求若可以，求可逆矩陣可逆矩陣p使使 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣. 1p ap參見參見5.1例例3-22-第第3步步 把線性無(wú)關(guān)的特征向量拼成可逆矩陣把線性無(wú)關(guān)的特征向量拼成可逆矩陣p.123111,110101p 第第4步步 寫出相似變換及對(duì)角矩陣寫出相似變換及對(duì)角矩陣.1333pap 下面的定理告訴我們，本題中下面的定理告訴我們，本題中 的線性無(wú)關(guān)性不的線性無(wú)關(guān)性不需要驗(yàn)證需要驗(yàn)證.123, -23- 不同特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量合并后仍是不同特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量合并后仍是線性無(wú)關(guān)的。線性無(wú)關(guān)的。即設(shè)即設(shè) 是矩陣是

15、矩陣a的不同的特征值，又設(shè)的不同的特征值，又設(shè) 12,t 對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為11(1)(1)(1)12,s對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為22(2)(2)(2)12,s對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為t( )( )( )12,tttts12(1)(1)(2)(2)( )( )111,tttiii仍是線性無(wú)關(guān)的。仍是線性無(wú)關(guān)的。則把這些特征向量合并得到的則把這些特征向量合并得到的 個(gè)向量個(gè)向量12tsss-24- (可對(duì)角化的充分條件可對(duì)角化的充分條件) n 階矩陣階矩陣 a 如有如有 n 個(gè)不同的特個(gè)不同的特征值，則它有

16、征值，則它有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而 a 可對(duì)角化可對(duì)角化.-25-設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣a的所有不同的特征值為的所有不同的特征值為 ，則，則12,t 1212( )() ()()tnnnatfea這里這里 . 稱稱 為特征值為特征值 的的代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù) . 12tnnnnini特征值特征值 對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為irank()iisnea稱稱 為特征值為特征值 的的幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù).isi也稱也稱 是是a的的 重特征值重特征值.ini考察下列矩陣特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)是多少？考察下列矩陣特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾

17、何重?cái)?shù)是多少？0000000001,1 ,1 -26-1iisn 單重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的單重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的 特征向量有幾個(gè)特征向量有幾個(gè)? 矩陣矩陣a的任一特征值的任一特征值 的代數(shù)重?cái)?shù)的代數(shù)重?cái)?shù) 與幾何重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù) 有下面關(guān)系：有下面關(guān)系：isini 矩陣矩陣a可對(duì)角化的充要條件是可對(duì)角化的充要條件是a的每個(gè)不同特征值的的每個(gè)不同特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)相等代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)相等.000000111與例如例如都是不可對(duì)角化的矩陣都是不可對(duì)角化的矩陣.-27-122113221a例例3 3 矩陣矩陣 是否可角化？是否可角化？2( )33afea解解 由由得得a的特征值為的特征值

18、為1233,3 只需考察二重特征值只需考察二重特征值 的幾何重?cái)?shù)是否等于的幾何重?cái)?shù)是否等于2. 易知易知23 2rank2ea23 故二重特征值故二重特征值 的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為 223rank12sea a不可對(duì)角化不可對(duì)角化.-28-00111100ax例例4 4 設(shè)設(shè) ，問，問 x 為何值時(shí)，為何值時(shí)，a 可角化？可角化？ 201111111110eax 解解 由由得得a的不同的特征值為的不同的特征值為121(),1() 二重單重110110110001101000eaxx a可對(duì)角化的充要條件是可對(duì)角化的充要條件是 ，即，即 .1rank321ea1x -29- 例例5 5 設(shè)設(shè)

19、a 是是 n 階的冪等矩陣（即階的冪等矩陣（即 ），證明），證明 a 必可對(duì)必可對(duì)角化，并求出相應(yīng)的對(duì)角矩陣角化，并求出相應(yīng)的對(duì)角矩陣.aa 2 ()rrnaea證證 由前面的結(jié)果知由前面的結(jié)果知 a 的特征值只可能為的特征值只可能為 0 或或 1，且，且特征值特征值 的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為 ，特征值，特征值 的幾何的幾何重?cái)?shù)為重?cái)?shù)為 .101( )snr a2()snr ea21故故 a 有有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 從而從而 a 可對(duì)角化可對(duì)角化.且相應(yīng)的對(duì)角矩陣為且相應(yīng)的對(duì)角矩陣為12( )()ssnr anr ean()diag(1,1,0,0)r a-30-例例1 1（見（見5.1引例引例1） 求解差分方程：求解差分方程：0110,1,2,kkkffffk10111,010kkkfxxaf 1,kkxax0kkxa x則則解解 記記直接計(jì)算直接計(jì)算 比較困難比較困難, 先把先把 a 對(duì)角化對(duì)角化. 計(jì)算得計(jì)算得 a 的特征