數(shù)值分析整理版試題及答案

1、例1、 已知函數(shù)表X-112f(x)-304求f (x)的Lagrang次插值多項式和Newtor二次插值多項式。解：(1)由題可知Xk-112yk-304插值基函數(shù)分別為XX1XX1 x 2X0XiX0X2111 2XX0XX2X1X2XiX0XiX21112XX0XX1X1X1X2X0X2X121211lo(x)61l1(x)x21l2(x)x3故所求二次拉格朗日插值多項式為L2(X)ykh x(2) 階均差、二階均差分別為32f x°,x!f X0f Xif X1，x2X0X1x1f x2X1 X2f X0，X!，X2f X0，x!X1，x2X0 X2均差表為Xkf (xk)一

2、階二階-1-3103/22445/6故所求Newton次插值多項式為P2 x f X。fX0, X1xX0f X0,X1,X2 X X0 X Xic 3513 -x1X 1 X265 237xx623spa n 1,x例2、 設(shè) f(x) x2 3x 2，x 0,1，試求 f(x)在0, 1上關(guān)于(x) 1， 的最佳平方逼近多項式。解:若 span1,x，貝U 0(x) 1，1(x) x，且(x) 1，這樣，有dxdx2XoXxdo23一 62X33Xdx所以，法方程為丄2 aoai236 ，經(jīng)過消元得941223aoa1再回代解該方程，得到 印4 , ao 口6故，所求最佳平方逼近多項式為S

3、；(x)11 4x6span 1,x的最佳例3、 設(shè) f (x) ex，x 0,1，試求 f (x)在0, 1上關(guān)于(x) 1， 平方逼近多項式。解：1dx1,x2dx031xdx0exdx01xexdx0法方程為1.7183所以，2131.71831解法方程，得到 a0 0.8732 , a1 1.6902 ,故，所求最佳平方逼近多項式為S；(x)0.8732 1.6902X例4、 用n 4的復(fù)合梯形和復(fù)合辛普森公式計算積分：xdx解：(1)用n 4的復(fù)合梯形公式由于h 2， f xx，xk1 2k k 1,2,3，所以，有<xdx T4h3f 12 f Xkf 92k 1-1 235

4、 79217.2277(2)用n 4的復(fù)合辛普森公式由于 h 2， f x 、x，xk1 2k k 1,2,3，x 12 2k k 0,1,2,3，所以，有k -.xdx S4hf 1334f X12 f:Xkf 9 6k 0k2k 11-14324682.5,7317.3321例5、用列主元消去法求解下列線性方程組的解。所以，線性方程組的解為X-! 1， x22， x3 3例 6、用直接三角分解法求下列線性方程組的解。111X1X2X3 94561113X14X25X38112x1 3x23x31518x1 3x2 x315X1X2X36解：先消元Ab12331518311511161831

5、151233151116r1 r2m21 一，第 1 仃（2131 一 m31,第1行（1818r2r300m32-,第 2 行（327再回代，得到叫）第2行第2行m31）第3行第3行317 6 17 1817 3m32 ）第3行第3行X3 3， X221830 107 61531 6518307 60 0X!11157 351718 3161151718 31 622 766 7尹1 X2 2X3 8解:設(shè)111456100U11u12u13111A -l21100u22u23LU3451l31l32100u332則由A LU的對應(yīng)元素相等，有1u11, u12415，u13l21u11l2

6、14-,l31u111312,121u12u22u22160，121u13145，I31U12 I32U221 I32因此，36， I31U13 I32U23 U332u331315LU60161452361315解Ly b ，即1360y10y21y398，得 y1 9， y24， y3154814解Ux y，即05160061451315X1X2X394 ，得 x3177.69，x2 476.92，x1227.08154所以，線性方程組的解為X!227.08， x2 476.92， x3177.691、若A是n n階非奇異陣，則必存在單位下三角陣L和上三角陣U，使A LU唯一成立。(2、當(dāng)

7、n 8時, (3、形如f(x)dxNewt on cotes)nAf(Xi)型求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性的高斯(Gauss)型求積公式具有最高代數(shù)精確度的勺次數(shù)攵為2n1 o()21 0A11 14、矩陣01 2的2 范數(shù)A2 =:9o()2aa0A0a05、設(shè)00a則對任意實數(shù)a0，方程組Axb都是病態(tài)的。（用III )()6、設(shè)ARnnQRn n，且有 QTQI（單位陣），則有 A2 QA2 o()7、區(qū)間a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)W（x）的直交多項式是存在的，且唯一。（）1、（ X ）2> （ V ）3、（ X ）4> （ V ）5、（ X ）6、（ V ） 7、（ X ）8、（ X

8、 ）一、判斷題（10XT）1、 若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX= b 一定可以使用高斯消元法求解。（X ）2、 解非線性方程f（x）=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。（）3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式naHaj（i 1,2,.,n）j ij i則解線性方程組AX= b的高斯塞德爾迭代法一定收斂。（X ）4、樣條插值一種分段插值。（）5、如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。（）6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。（）7、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組 AX= bo（ X

9、 ） &迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計 ，直到最后一步迭代計算的舍入誤差。（X ）9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差=舍入誤差。（）10、 插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。（X ）1.用計算機(jī)求時,應(yīng)按照n從小到大的順序相加。i n2. 為了減少誤差，應(yīng)將表達(dá)式. 1999改寫為進(jìn)行計算。(對)72001719993. 用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時，步長越小計算就越精確。()4. 用迭代法解線性方程組時，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有關(guān)，與常數(shù)項無關(guān)。()復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、，則A

10、的LU分解為答案:14 15115 40156.152、已知f(1)31f (x)dx1.0,f(2)1.2,f(3)1,3，則用辛普生(辛卜生)公式計算求得,用三點式求得f (1)答案:2.367, 0.253、f(1)1，f(2)2，f(3)1，則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為拉格朗日插值多項式為2)1 1答案:-1，L2(x)尹 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) 1(x 1)(x4、近似值x0.231關(guān)于真值x 0.229有(2 )位有效數(shù)字;5、設(shè)f(x)可微，求方程xf(x)的牛頓迭代格式是()；Xnf(Xn)xn 1 xn -答案1 f (Xn)&對 f(x)

11、 x3 x j差商 f0,1,2,3 (1), f0,1,2,3,4 (0)；7、計算方法主要研究( 截斷)誤差和( 舍入 )誤差；8、 用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分 n次后的誤差限為(2n 110、已知 f(1) = 2,f(2) = 3,"4)= 5.9,則二次 Newton 插值多項式中 x2系數(shù)為(0.15 );111.313111、兩點式高斯型求積公式。十皿(0f(x)dx畀GJ f(2 3),代數(shù)精度為(5 );12、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。1013、為了使計算x 1 (x 1

12、)6(x 1)3的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫為y 10(3(4，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式2、2001、 1999 改寫為 _ 2001.1999314、用二分法求方程f(x) x x 1 0在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為 0.5, 1，進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為0.5, 0.75。xdx15、計算積分0.5 d ,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268 ,用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為3 。3x15x21x1(k 1(1 5x2k)/316、求解方程組0.2x14x20的高斯一塞德爾迭代格式

13、為_ x2k1)x1<k 1)/20 _，該迭丄代格式的迭代矩陣的譜半徑(M ) =_ 石_。17、設(shè) f(0) 0, f (1) 16, f (2) 46,則 h(x) _ h(x) x(x 2)_, f (x)的二次牛頓插值多項式為N2(x)16x 7x(x 1)18求積公式bf(x)dx anAJ(Xk)k 0的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有(2n 1)次代數(shù)精度19、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求1 f(X)dX "( 12)。20、設(shè) f (1)=1,f(2)=2, f (3)=0，用三點式求 f (1) (2.5

14、 )。321、如果用二分法求方程x x 40在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分(10)次。23、l0(x), "(x), ,ln(x)是以整數(shù)點XoN, , Xn為節(jié)點的Lagra nge插值基函數(shù)，則29、若用復(fù)化梯形公式計算 個求積節(jié)點。1exdx06，要求誤差不超過10，利用余項公式估計，至少用47730k 1洛k 1X2出求1.6x2k0.4x/ 1x1 1 .6x210.4%X2的 Gauss-Seidel迭代公式,k0,1,1.6，迭代矩陣為_ 00.64，此迭代法是否收斂收斂。lk(x)xklj(xk)x(X：X：3)lk(x)42k 0(1)，k 0(xj )，

15、當(dāng)n2時k0(XX3)。26、改變函數(shù) f(x).x 1X(x1)的形式，使計算結(jié)果較精確f x11 Ax1x。nnn1027、若用二分法求方程 次。x 0在區(qū)間口,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分31、設(shè)，則A482482U016A25711360032、設(shè)矩陣的A LU，則U233、若 f(x)3x42x1，則差商 f 2,4,8,16,323134、數(shù)值積分公式1f(x)dx29f( 1)8f(0)f (1)的代數(shù)精度為2121015X111235、線性方程組103的最小一乘解為1。321A20436、設(shè)矩陣135分解為A LU，則U二、單項選擇題:211、Jacobi迭代法解

16、方程組Ax b的必要條件是（C ）。A A的各階順序主子式不為零B （劉1C .aii0,i1,2,nD .A 1223A0512、設(shè)007則（A）為（C ).A .2B .5C.7D .33、三點白1勺咼斯斤求積公式的代數(shù)精度為(B )。A .2B .5C .3D .44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是（B ）A 對稱陣B 正定矩陣C.任意陣D 各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是（A ）產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B 模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測量D 數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實際值6、3.141580是n的有（B ）位有效數(shù)字的近似值。A. 6B . 5C

17、 . 4D . 77、 用1+x近似表示e所產(chǎn)生的誤差是（ c）誤差。A.模型B.觀測C .截斷D.舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是（A ）A .控制舍入誤差B .減小方法誤差C .防止計算時溢出D.簡化計算x3 9、用1+3近似表示/ x所產(chǎn)生的誤差是（D ）誤差A(yù).舍入B.觀測C .模型D.截斷10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效數(shù)字A.5B.6C.711、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A )A. -0. 5B. 0. 5 C. 2D. -212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C )。

18、A .3B .4C .5D .213、( D )的3位有效數(shù)字是 0.236X 102。(A) 0.0023549 X 103(B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根,把方程f(x)=0表示成x= (x),則f(x)=0的根是(B )。(A) y= (x)與x軸交點的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點的橫坐標(biāo)15、用列主元消去法解線性方程組(A ) °(A) - 4(B) 3(C) 416、拉格朗日插值多項式的余項是(B(B) y=x與y= (x)交點的橫坐標(biāo)(D) y=x與y= (x)的交

19、點3x1 x2 4x31x1 2x2 9x304x1 3x2 x31，第1次消元，選擇主元為(D) - 9)，牛頓插值多項式的余項是(C )。(A) f(x,x0,x1,x2.,xnx®(x x2)(x xn 1)(x xn),Rn(x) f (x) R(x) f()() (B)(n D!(C) f(x,x0,x1,x2.,x(x)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn),(D)Rn(x)f (x) Pn(x)f (n 1()(n 1)!n 1(X)17、等距二點求導(dǎo)公式f(x1) ( A )f(X1) f(Xo)(A)X1 Xof(X1) f(x°)(B) -X

20、0 X1f(x°) f(X1)(C)X0 X1(D) f(xj f(x°)X1 X0)，則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,18、用牛頓切線法解方程f(x)=0 ,選初始值x0滿足(A 一定收斂到方程f(x)=0的根。(A)f(x°)f(x) 0(B)f(x°)f(x) 0(C)f(x°)f(x) 019、為求方程x3x2仁0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是（A ）2X(A)1一,迭代公式：Xk 1X 1x(B)丄,迭代公式:Xk1X12Xk3(C)XX2 ,迭代公式:Xk 1(12、1

21、/3Xk)3X(D),迭代公式：Xk 12XkXkXk21、解方程組（1）（A）Ax1b的簡單迭代格式（B） 1,x(k1）Bx(k)(A)g收斂的充要條件是1,（B）1bf(x)dxa(b a)22、在牛頓-柯特斯求積公式： 穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)（nCi（n）f（Xi）C（n）i 0中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時，公式的）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25（1） n 8，（ 2） n 7，（ 3） n 10，（ 4） n 6，23、有下列數(shù)表所確定的插值多項式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次

22、25、取'31.732計算x C 31）4，下列方法中哪種最好？（）16 16Xi11.522.533.5f (Xi )-10.52.55.08.011.5（A） 28 16'3 ；（B） （4 2 3/ ；（C） （4 2 3）? ；（D） C 3 1）4。27、由下列數(shù)表進(jìn)行 Newt on插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）(A)；5 ；(B)4 ；(C)3 ；(D)2。bf (x)dxAj f (x1) A2f (X2)A3f(X3)的咼斯28、形如a()(A)!9 ；(B)7 ；(C)5 ；(D)3。29、計算 3 的 Newton迭代格式為（)Xk 3Xk3Xk

23、(A)xk 12Xk ；xk 1>(B)22xk ；(C)xk 1230、用二分法求方程 x3,24x 100在區(qū)間1,2內(nèi)的勺實根，次數(shù)至少為（）(A)110 ；(B)12 ；(C)8 ；(D)9。要求誤差限為xk 1Xk ； (D)（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為Xk3xk。103,則對分kh(k)32、設(shè)1 i(x)是以Xk k(k 0,1丄，9)為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則k 0()(A) x ；( B) k ;( C) i ；( D) 1。33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度(A)5 ；(B)4 ；(C)6 ；(D)3。335、已知方程x

24、2x 50在xX02不收斂的是(2附近有根，下列迭代格式中在2x：X124f(x)1243-5(B)(A®3 2xk 5 ；36、由下列數(shù)據(jù)3xk 1xkxk 5 ；(D)確定的唯一插值多項式的次數(shù)為 ()(A) 4；(B)2 ；(C)1 ；(D)3。37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8 ；(B)9；(C)10 ；(D)11。三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打，否則打)1、已知觀察值(人，yi)(i 012， ，m),用最小二乘法求n次擬合多項式Pn(x)時,Pn(x)的次數(shù)n可以任意取。()2x2、 用1- 2近似表示cos(產(chǎn)生舍入誤差。()(X

25、X0 )( X X2 )3、 (X1 Xo)(X1 X2)表示在節(jié)點X1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。()4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。( )3 112 535、矩陣A=1 25具有嚴(yán)格對角占優(yōu)四、計算題：4x2x2X311X14X22X3181、用高斯-塞德爾方法解方程組2x1X25X3(0)22，取x求按五位有效數(shù)字計算)。(0,0”，迭代四次(要答案：迭代格式kx1k)x2k)x3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.

26、7019°)x；k 1-(1142x2k)x3k)x2k 11(184x；k 12x3k)x3k 11(222x；k 1x2k)12求A B使求積公式if(X)dXAf( 1)1 1 f(1) Bf( ) f()A的代數(shù)精度盡量I高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求2-dx1 x(保留四位小數(shù))答案：2f(x) 1,x,x是精確成立，即2A 2B 22A 1B1A -,B 得 9求積公式為11 f(x)dx1f(1)8 1 1 f(1)9f( 1)f(2)當(dāng)f(x) x3時，公式顯然精確成立；當(dāng)f (x)4x時,2左=51右=3。所以代數(shù)精度為3。21 tdx1 x2x311 1 11t

27、 3dt 9 1311 3891/23971400.692863、已知Xi1f (Xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(X)的三次插值多項式P3(x)，并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))。L(x)2(x®(x4)(x 5)6(x1)(x4)(x5)答案：3(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)54(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為Xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-1014P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)( x 3) -(x 1)( x 3)(x

28、 4)4f(2)P3(2) 5.56、已知sinx區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8Yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差M 3|R2(x)| 才 | 3(x)|3!盡量小，即應(yīng)使丨3(X)|盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點0.5,0.6,0.7最好，實際計算結(jié)果SinO .63891 0.596274，Sin 0.638910.5962741(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.

29、638910.7)0.55032 107、構(gòu)造求解方程e10x 2 0的根的迭代格式xn 1(Xn), nQ1,2,，討論其收斂性，并將根求出來,I Xn 1xn |10 4o答案：解：令f(x)10x2,f(0)2 0,f (1)10 e 0且 f (x) ex 10)，故心)0在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程f(x) 0變形為1 X 押2 e)則當(dāng)x (0,1)時(x)卻2 ex)| (x)|x e10e110故迭代格式1x川押2 en)收斂。取x00.5，計算結(jié)果列表如下:n0123X0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567X0.09

30、0 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 0086 *且滿足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 x 0.090 525 0088、利用矩陣的LU分解法解方程組2x22x 5x23X1 X23x3142x3185X32011 23A LU2114答案：解：35 124令Lyb得y （(14, 10,72)TUxy 得 x (1,2,3)T3x12X210X31510x14X2X359、對方程1組2x110x24X38（1）試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；要求（2） 取初值x（0） （0,0,0）T ,利用（i）

31、中建立的迭代公式求解，|x(kD x(k)|10 3o解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)10x14x2x352x110x24X383x12x210x315迭代格式為故對應(yīng)的高斯一塞德爾迭代法收斂(kx1(kx2x3k1)丄101)丄101)丄104x2k)5)2x1k3x1k1)1)2x2k 1)4x3k)8)15)取x（o）（0,0,0）T,經(jīng)7步迭代可得:要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差R(n)(f)x* x(7)(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T10、已知下列實驗數(shù)據(jù)Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37

32、818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)由 R<n)(f)訥（），只要R(n)(ex)壬二 1 10 412n12n2即可，解得n , e 10267.30877:6所以 n 68,因此至少需將0,1 68等份。111X1454 3X212211X3111114r ：543121 2解：21111543121r2r1501282555r3r1131795055554312r_1r3 r1320131795555501313回代得x31,X211、用列主元素消元法求解方程組,為312、取節(jié)點X。0，X10.5, x2543121114211115431223013179555

33、0128555x1 ,求函數(shù)f（x）e在區(qū)間0,1上的二次插值多項式B（x），并估計誤差P (x) e 0 (x 0.5)(x 1) e 0.5(x 0)(x 1)解：(0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)1 (x 0)(x 0.5) e<1 0)(10.5)0 512(x0.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)|R2(x)| |e x P2(x)| g|x(x 0.5)( x 1)|故截斷誤差 0x14、給定方程 f（x） （x 1）e101）分析該方程存在幾個根；2）用迭代法求出這些根，精確到 5位有效數(shù)字;3）說明所用的迭代格式是收斂的。解：

34、1）將方程(x 1)eX1 0（1）改寫為X 1X e（2）作函數(shù)f1（x）X 1f2(x) eX的圖形（略）知（2）有唯一根 X（1,2）2）將方程（2）改寫為X 1 e XXk 11 e Xk構(gòu)造迭代格式Xo1.5(k0,1,2,)計算結(jié)果列表如下:k123456789146Xk1.223131.294311.27409)1.27969 1.27812 1.2785>6 1.27844 1.27847 1.2783)(x)1 eX，(x) e X當(dāng) x 1,2時，(x)(2), (1)1,2，且|(x)| e 11所以迭代格式Xk 1(Xk) (k 0,1,2,)對任意 Xo 1,2

35、均收斂。15、用牛頓（切線）法求' 3的近似值。取xo=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。解：3是f（x） x2 3 0的正根,f（x） 2x，牛頓迭代公式為X：3Xn 1 Xn2xnXn 1Xn 322Xn(n 0,1,2,)取xo=1.7,列表如下:ni23Xni.73235i.73205i.7320516、已知f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(x)及f(1, 5)的近似值, 取五位小數(shù)。解:L2(x)2(x 1)(x 2)(1 1)( 13 (xi)(x2)4 (xi)(xi)2) (ii)(i2)(21)(2i)討 1)(x342)

36、 (x 1)(x 2) (x 1)(x i) 23if(i.5) L2(i.5)0.041672417、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計。解:T3 i-0e02 32(ei32 3 ie ) e i.7342f(x)x i 時，|f(X) | e|R| |eXe320.0250.05108至少有兩位有效數(shù)字。XiX218、用Gauss-Seide迭代法求解線性方程組 取x(°)=(0,0,0)T，列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seide迭代格式為：X3X(ki)x2ki)i)i(i(i4(X(k i)Xi(k i) x2ki)k)x3k)5)

37、i)8)系數(shù)矩陣1嚴(yán)格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(°)=(0,0,0)T,列表計算如下:k(k) xl丿x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（ 8分）用最小二乘法求形如 y a bx?的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù):Xi19253038yi19.032.349.073.3210e dx時，試用余項估計其誤解： span1, x 差。用n解:8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化詈 h2f（RHfSimps on 公式)1 1 0 2 e12 82計算出該積分的近似值。10.001302768T(

38、8)2f(a)72 f(Xk)k 1f(b)11 11at19(0.8824969 0.7788008 0.60653066252312382yT19.032.3 49.0 73.3解方程組AT AC ATy43391173.6atAATy其中33913529603179980.70.9255577C解得：0.0501025所以a 0.9255577，b 0.050102521、（ 15分）用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simps on公式）計算161對應(yīng)迭代格式Xn 1: Xn 1 ；X3 彳迭代格式Xn 1 Xn 1。判斷迭代格式在 精確到小數(shù)點后第三位。解:（ 1）(X)1 2(X) (

39、x 1) 3 3，1(2)2x(3)(X)3x2(1.5CI.5）0.18 1，故收斂;CI.5）0.17 1，故收斂；23 1.51，故發(fā)散。選擇(1)： X。1.5, X! 1.3572, X2 1.3309,沁 1.3259, X4 1.3249 x51.32476 x61.3247223、( 8分)已知方程組 AX f ,其中4324A 341 f 301424(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法:x,kx2k 1X3"1丄(24 3x2k)41(30 3x；k)x3k)41

40、)；(24 小0,1,2,3,(kX；Gauss-Seidel 迭代法:1-(24 3x2k)4-(30 3x1k 1x3k)41-( 24 x2k1)40,1,2,3,BjD 1(L U)0340(Bj)25、數(shù)值積分公式形如10xf(x)dx S(x)Af(0)Bf Cf(0)Df4量高；(2)設(shè) f(x) C 0,1，推導(dǎo)余項公式R(x)試確定參數(shù)A，B,C, D使公式代數(shù)精度盡10xf(x)dx S(x)，并估計誤差。20, B 20解：將f(x) hxxlx'分布代入公式得：H3(xJf(xj構(gòu)造Hermite插值多項式H 3(x)滿足 出以)f (xj i7,B 丄 D30

41、0,1其中x0則有:1o xH 3 (x) dx S(x)f(x) H3(x)(4)()x4!2 2(X 1)R(x)10xf(x) S(x)dx1200,捲1(4)()4!1320x(X 1) dx(4)(4! 60(4)()®X3(X 1)2dx 04!"()144027、(10分)已知數(shù)值積分公式為:f(x)dx 2f(0)f(h)2 ' 'hf(0) f(h)，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精f(x)f(x)hxdxh2h0h h>211f (X)x時，022;h3h sh312x2dx-0h2h202hh時，032212h 3 ,h4h s3-1 2 _ _3x dx-0h h 03h時，0421;h 4h5h413 h54X dx-0h -h 04h時，05216 ；xxx3。°)的迭代公式為:確度