2015屆高考數(shù)學(xué)（浙江專用理科）必考題型過關(guān)練：專題3 第10練（含答案）

1、第10練化解抽象函數(shù)快捷有效的幾個途徑題型一與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問題例1已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為0,1上的增函數(shù)”是“f(x)為3,4上的減函數(shù)”的()A既不充分也不必要的條件B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件D充要條件破題切入點(diǎn)周期函數(shù)的概念，同時考查單調(diào)性及充要條件答案D解析f(x)在R上是偶函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱f(x)為0,1上的增函數(shù)，f(x)為1,0上的減函數(shù)又f(x)的周期為2，f(x)為區(qū)間14,043,4上的減函數(shù)f(x)為3,4上的減函數(shù)，且f(x)的周期為2，f(x)為1,0上的減函數(shù)又f(x)在R上是偶函數(shù)，f(

2、x)為0,1上的增函數(shù)由知“f(x)為0,1上的增函數(shù)”是“f(x)為3,4上的減函數(shù)”的充要條件題型二與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問題例2設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0，則方程f(x)0在閉區(qū)間2 011,2 011上的根的個數(shù)為()A802 B803 C804 D805破題切入點(diǎn)將條件轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識答案D解析f(7x)f(7x)f(2(5x)f(2(5x)f(3x)，即f(x10)f(x)，所以函數(shù)的周期為10，- 1 - / 10且對稱軸為x2，x7，在0,10內(nèi)，f(1)f(3)f(11)f(13)，所

3、以一個周期內(nèi)只有2個零點(diǎn)，在0,2 011內(nèi)2 011201×101有201×21403個，在2 011,0內(nèi)2 011201×(10)1，有201個周期且f(1)0，此時有201×2402個零點(diǎn)，合計805，故選D.題型三與抽象函數(shù)有關(guān)的新概念問題例3設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合若映射f：VR滿足：對任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以及任意R，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，則稱映射f具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)x

4、y1，m(x，y)V.其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為_(寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號)破題切入點(diǎn)準(zhǔn)確把握性質(zhì)P的含義答案解析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)對于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)·y2(x1y1)(1)(x2y2)，而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，具有性質(zhì)P.對于，f2(m)x2y，設(shè)a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1

5、)，又是任意實(shí)數(shù)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故不具有性質(zhì)P.對于，f3(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性質(zhì)P.綜上，具有性質(zhì)P的映射的序號為.總結(jié)提高(1)讓抽象函數(shù)不再抽象的方法主要是賦值法和單調(diào)函數(shù)法，因此學(xué)會賦值、判斷并掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性是必須過好的兩關(guān)，把握好函數(shù)的性質(zhì)(2)解答抽象函數(shù)問題時，學(xué)生往往盲目地用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等來代替函數(shù)來解

6、答問題而導(dǎo)致出錯，要明確抽象函數(shù)是具有某些性質(zhì)的一類函數(shù)而不是具體的某一個函數(shù)，因此掌握這類函數(shù)的關(guān)鍵是把握函數(shù)的性質(zhì)以及賦值的方法1(2014·浙大附中模擬)設(shè)f(x)為偶函數(shù)，對于任意的x>0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)等于()A2 B2 C8 D8答案D解析f(x)為偶函數(shù)，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，當(dāng)x1時，f(21)(2)·f(21)，f(3)(2)×48，f(3)8.2對于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件

7、D既不充分也不必要條件答案B解析若函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)此時|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，但當(dāng)y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱時，未必能推出yf(x)為奇函數(shù)，故“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的必要而不充分條件3函數(shù)f(n)logn1(n2)(nN*)，定義：使f(1)·f(2)··f(k)為整數(shù)的數(shù)k (kN*)叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間1,10內(nèi)這樣的企盼數(shù)共()A2個 B3個 C4個 D5個答案A解析依題意有f(1)log23，f(2)log34，f(3)log4

8、5，f(k)logk1(k2)，則有f(1)·f(2)·f(3)··f(k)log2(k2)令log2(k2)m，則k2m2，由k1,10得12m210，32m12，kN*，m2,3，故所求的企盼數(shù)共有2個4設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函數(shù)Bf(x)|g(x)|是奇函數(shù)C|f(x)|g(x)是偶函數(shù)D|f(x)|g(x)是奇函數(shù)答案A解析由f(x)是偶函數(shù)，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函數(shù)可得g(x)g(x)，故|g(x)|為偶函數(shù)，f(x)|g(x)|為偶函數(shù)5定義在R上

9、的偶函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(x)，且在3，2上是減函數(shù)，是鈍角三角形的兩個銳角，則下列不等式中正確的是()Af(sin )>f(cos ) Bf(sin )<f(cos )Cf(cos )<f(cos ) Df(cos )>f(cos )答案B解析因?yàn)閒(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，又f(2x)f(x)，所以f(x2)f(2(x2)f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)以2為周期，因?yàn)閒(x)在3，2上是減函數(shù)，所以f(x)在1,0上也是減函數(shù)，故f(x)在0,1上是增函數(shù)，因?yàn)?，是鈍角三角形的兩個銳角，所以<，<，則0<sin <

10、;sincos <1，故f(sin )<f(cos )，選B.6已知函數(shù)yf(x)和yg(x)的定義域及值域均為a，a(常數(shù)a>0)，其圖象如圖所示，則方程f(g(x)0根的個數(shù)為 ()A2 B3 C5 D6答案D解析由f(x)的圖象可知方程f(x)0有三個根，分別設(shè)為x1，x2，x3，因?yàn)閒(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因?yàn)閍<x1<a，g(x)a，a，所以由g(x)的圖象可知yx1與yg(x)的圖象有兩個交點(diǎn)，即方程g(x)x1有兩個根，同理g(x)x2，g(x)x3各有兩個根，所以方程f(g(x)0有6個根7如圖，偶函數(shù)f(x)

11、的圖象如字母M，奇函數(shù)g(x)的圖象如字母N，若方程f(f(x)0，f(g(x)0的實(shí)根個數(shù)分別為m，n，則mn_.答案12解析由圖象可知偶函數(shù)f(x)的1個零點(diǎn)是0，另外2個零點(diǎn)分別在區(qū)間(2，1)與(1,2)中，值域是1,1；奇函數(shù)g(x)的1個零點(diǎn)是0，另外2個零點(diǎn)分別在區(qū)間(1,0)與(0,1)中，值域是2,2只有當(dāng)f(x)0時，f(f(x)0，故實(shí)根個數(shù)m3.存在3個實(shí)數(shù)x，使g(x)0，f(g(x)0；存在3個實(shí)數(shù)x，使g(x)(2，1)，f(g(x)0；存在3個實(shí)數(shù)x，使g(x)(1,2)，f(g(x)0，故實(shí)根個數(shù)n9.從而mn12.8設(shè)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(

12、x1)f(x)，且在1,0上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)yf(x)的判斷：yf(x)是周期函數(shù)；yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱；yf(x)在0,1上是增函數(shù)；f()0.其中正確判斷的序號是_(把你認(rèn)為正確判斷的序號都填上)答案解析由f(x1)f(x)可得f(x2)f(x)，正確；因?yàn)閥f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，可知yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，正確；顯然錯誤；由f(1)f()f()f()得f()0，正確9函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，若x1，x2A且f(x1)f(x2)時總有x1x2，則稱f(x)為單函數(shù)例如，函數(shù)f(x)2x1(xR)是單函數(shù)下列命題：函數(shù)f(x)x2(xR)是單函數(shù)；若

13、f(x)為單函數(shù)，x1，x2A且x1x2，則f(x1)f(x2)；若f：AB為單函數(shù)，則對于任意bB，它至多有一個原象；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)其中的真命題是_(寫出所有真命題的編號)答案解析當(dāng)f(x)x2時，不妨設(shè)f(x1)f(x2)4，有x12，x22，此時x1x2，故不正確；由f(x1)f(x2)時總有x1x2可知，當(dāng)x1x2時，f(x1)f(x2)，故正確；若bB，b有兩個原象時，不妨設(shè)為a1，a2，可知a1a2，但f(a1)f(a2)，與題中條件矛盾，故正確；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性時整個定義域上不一定單調(diào)，因而f(x)不一定是單函數(shù)，故不正確

14、故答案為.10(2013·湖南)設(shè)函數(shù)f(x)axbxcx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且ab，則(a，b，c)M所對應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為_(2)若a，b，c是ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的序號)x(，1)，f(x)>0；xR，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長；若ABC為鈍角三角形，則x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|0<x1(2)解析(1)c>a>0，c>b>0，ab且a，b，c不能構(gòu)成三角形的

15、三邊，0<2ac，2.令f(x)0得2axcx，即x2.x.log21.0<x1.(2)a，b，c是三角形的三條邊長，ab>c.c>a>0，c>b>0，0<<1,0<<1.當(dāng)x(，1)時，f(x)axbxcxcx>cxcx·>0.x(，1)，f(x)>0.故正確令a2，b3，c4，則a，b，c可以構(gòu)成三角形但a24，b29，c216卻不能構(gòu)成三角形，故正確c>a，c>b，且ABC為鈍角三角形，a2b2c2<0，又f(1)abc>0，f(2)a2b2c2<0，函數(shù)f(x)在

16、(1,2)上存在零點(diǎn)，故正確11已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足f()f(x1)f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.解(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)任取x1、x2(0，)，且x1>x2，則>1.當(dāng)x>1時，f(x)<0.f()<0，即f(x1)f(x2)<0，有f(x1)<f(x2)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減 (3)由f()f(x1)f(x2)，得f()f(9)f(3)而f(3)1，f(9)2.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，原不等式為f(|x|)<f(9)|x|>9，x<9或x>9，不等式的解集為x|x<9或x>912設(shè)集合Pn1,2，n，nN*，記f(n)為同時滿足下列條件的集合A的個數(shù)：APn；若xA，則2xA；若xPnA，則2xPnA.(1)