有限區(qū)間內(nèi)的正態(tài)分布

1、有限區(qū)間內(nèi)的正態(tài)分布云南省曲靖農(nóng)業(yè)學校劉弘如果隨機變量E的分布函數(shù)為八 1 e令，則稱E服從于寸22正態(tài)分布，其中的取值區(qū)間為一:：:X-:。由于許多隨機變量是在有限區(qū)間內(nèi)取值的，盡管他們的分布具有中間密、兩側(cè)疏和左右對稱 的特點，用X作為他們的分布密度函數(shù)，在不同程度上都會失去其 精確性，為此有必要尋求有限區(qū)間內(nèi)的正態(tài)分布密度函數(shù)。 本文論述 有限區(qū)間內(nèi)的正態(tài)分布密度函數(shù)，并論述他與無限區(qū)間內(nèi)的正態(tài)分布 密度函數(shù)的一致性，以及這種分布的概率計算問題有限正態(tài)分布密度函數(shù)如果隨機變量 的取值區(qū)間為- a a , a 0，并且他的分布密度函數(shù)為"-a ： x ： " a其余(1

2、)(2k+1! /-1)k (x-叮 J fk(x)2kd1k! * a a2 一0K=0, 1, 2, 3,則稱E服從于有限正態(tài)分布，在不失一般性的情況下，設(shè)卩=0,得 到有限區(qū)間（-a,a）內(nèi)的正態(tài)分布密度函數(shù):'(2k+1! ,(-1)k ；x2J其余fk(x)才 2宀k! aa2J0顯然fk x具有如下基本性質(zhì)：性質(zhì)1 fk（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱;性質(zhì)2 x在區(qū)間（：，；）內(nèi),fk x -0;性質(zhì)4今對性質(zhì)4證明如下:公式引理k對于任何fk X = 2k TH -12k1k!a'2、丄-12 I0 丿k(k=1,2,3, ),遞推,“xfk(x),fkxdx =

3、 2k 1 fkxdx都成立。事實上,按照分部積分法有fk x dx = xfk x - xdfk x22k 1 k!aa2 1.xdfkx = .2k時2 k! a2k 丄三/ 2x-22Adx a-12Adxa=2k fk x dx - 2k Tfk 4 x dx由此fk x d xfk x - 2k fk x dx 2k Tx dx移項整理后得"恥站fk'xdx。所以(3)式成立。下面證明性質(zhì)4：1當“0時x%斗f 22 I<a丿a 1dxdx = 1。J 2a2設(shè)K二n-1性質(zhì)4成立，即._fn/ xdx=1,則K=n時，按照遞推公式(3),得到axfn X a

4、f fn(X0X = J fn(XdX = +®/2n 1 -a/ 2 X_ 12 I<ax 2n 1! -1 n2n 1 2n 1 n! a-Hefn_1 X dXana1=1-a根據(jù)數(shù)學歸納法原理，對于任何 K (K=0 , 1, 2)都有由于fk x具有以上四個基本性質(zhì)，他可以作為有限正態(tài)分布的分布密度函數(shù)，他的函數(shù)圖形如下:上面我們作出了 a =1,k =0,1,2,3,4,5時的有限正態(tài)分布密度函數(shù)的 圖形，分別稱為零階有限正態(tài)分布、一階有限正態(tài)分布、二階有限正 態(tài)分布、，可以看出，零階有限正態(tài)分布就是均勻分布。二、有限正態(tài)分布與無限正態(tài)分布的一致性為了分析有限正態(tài)分

5、布與無限階正態(tài)分布的一致性， 我們先計算 有限階正態(tài)分布的方差，根據(jù)方差的定義，當數(shù)學期望J =0時，有限正態(tài)隨機變量'的方差為-a2'a_a2k 1! -1ka2k1k!.*. ,k +2 k 1 a 2k 3!-1匚J ak 1fc-1aa2k 3 2k 2 k 1 ! a k2、kx2 1 dxa ”害-12 k!a22k 12k +3"21一4= 2k+3 2k+3產(chǎn)a2D =2k +3afk 1 x dx afk x dx2adx(4)再設(shè)有限區(qū)間-a,a內(nèi)的正態(tài)分布和無限區(qū)間內(nèi)的正態(tài)分布有相同的方差，即2=打2或 a = 2k 3 二2k 3(5)將（5）

6、式代入（2）式得(2k +1)!(-1)k:x2fk(x)=2k + k!i 01(2k +3訊(2k + 3 莎 2k-1x21戶-2 二:二其余不難證明lim fk x e(6)事實上，在區(qū)間 -a,a內(nèi)fk X 帯 k!2112k 3 2c由（5）式可知，當a時,k匚根據(jù)斯特林公式n!-2二n" 2e可以得到 1妬(2k+12kek41fk x，22k12二k2k1e環(huán)2k1k2k'1e2k2存21 (2k+1 了2k +1 2k +1 ) 莎© 12k +3丿、2k 人 2k 丿1 + F1 +工2,3,3k +-k + - 2 一i2x22ke3X2一2/

7、、2k'21e,2k|1I 2k丿- 2 -12-2 nxxx22t e 2°",1十2豚33k +k +- 2 一L. 2；k時,1,1,2k +1 ¥I T l2k + 3 丿2k 1T2kx2二aimfk（xAimfk（x）=e 咯x2由（6）式可知，fk x和x =1 eW的關(guān)系實質(zhì)上是正態(tài)分布、2兀6式成立。KCS"隨機變量在有限區(qū)間和無限區(qū)間內(nèi)取值的兩種具體分布密度函數(shù)，對于分布在有限區(qū)間內(nèi)的正態(tài)分布隨機變量，用fk x作為它分布密度函數(shù)，更加精確地反映其分布特征。三、有限正態(tài)分布的應(yīng)用前面的論述中，我們假定有限正態(tài)隨機變量數(shù)學期望為

8、=0,在一般情況下o，根據(jù)坐標平移公式，的分布密度函數(shù)如式（1）所示，即(21! (-1)k(x-叮 | 2譏！ aa2'0- a ： x ： a其余顯然，的方差仍然是2z aD =2k +3我們稱以式（1）為分布密度函數(shù)的隨機變量服從于K階有限正態(tài)分布，記作©N比其中："為的數(shù)學期望；K為分布密度函數(shù)的階數(shù)；a為 取值區(qū)間長度之半。特別，當-0,a=1時,我們用 X代替fk X ,即kX =/1*ki o- 1 : X : 1其余相應(yīng)的方差為12k 3如果以匚X為它的分布密度函數(shù)，則稱服從于標準有限正態(tài)分布'記作ENf2kM。根據(jù)隨機變量分布函數(shù)的定義,2

9、k + 3 丿，則它的分布函數(shù)為:oFk (x )= P© vx )=* (心 fk(x dx1如果 - N 0,:為】，則它的分布函數(shù)為:嘰(x)=PG<x)=tL®k(x dx1x乞-1_ 1 ： X 乞 11 :： X不難證明：Fk（x）=%y；（10）l a丿由（10）可知，一般有限正態(tài)分布的分布函數(shù)值，可用標準有限 正態(tài)分布的分布函數(shù)值求得。應(yīng)用遞推公式（3），可計算出各階標準 有限正態(tài)分布的分布函數(shù)表。四、計算實例對某種棉花纖維長度進行測定，纖維長平均值為29.83mm,統(tǒng)計 均方差為1.045mm，最長和最短的纖維長分別為 32.8mm和26.8mm，

10、試求：纖維長度超過28mm的概率。解：設(shè)棉花纖維長度為隨機變量，且匕N。< 2k+3 丿已知亠-29.8，初定 32.8 - 26.8 =3.2a 1.04522a23/=ct 2 - k=2k 3，2二22將a =3 =1.045代入上式,得3232.622-k必須取正整數(shù)，.取k =3.再計算a的值，得a 一； 2k 3 =1.045 2 3 3 =3.135.比小琵 (3.1352 "所以匕 N 29.83,<2乂3+3丿纖維長超過28mm的概率為：P(E :>28) = 1 _P& "8)=1_F3(28)=1_©3 28 _” = _打 28_29.83 jl a .丿< 3.135 丿=1 - 3 - 0.584由于無表可查，可由遞推公式（3）求出3 - 0.584之值即。即_0.584