第六講工具變量回歸

1、工具變量回歸Ill八OLS經(jīng)典假設(shè)岳有的解釋變量心與隨機(jī)誤 差項(xiàng)彼此之間不相關(guān)。Cov（皿 Xi） = 0若解釋變量Xi和Hi相關(guān)，貝！IOLS估計(jì)量是非一致的，也就是即使當(dāng)樣本容量很大時(shí)，OLS估|=MB flBk計(jì)量也不會(huì)接近回歸系數(shù)的真值。當(dāng)解釋變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，模型存在著 內(nèi)生性問(wèn)題。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把所有與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān) 的解釋變量都稱(chēng)為“內(nèi)生變量”。這與 一般經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的定義有所不同。廠1。與誤差項(xiàng)相關(guān)的變量稱(chēng)為內(nèi)生變量 (endogenous variable) o廣2。與誤差項(xiàng)不相關(guān)的變量稱(chēng)為外生變量(exogenous variable)。因很多，但我們主要考慮如下幾個(gè)方

2、面: 曠遺漏變量偏差 曠變量有測(cè)量誤差雙向因果關(guān)系。遺漏變量偏差假設(shè)真實(shí)的模型為V. = X, 3 +乙乩八Zb 1/2'21 I而實(shí)際估計(jì)的模型為x- = xiA + ui遺漏變量(omitted vai-inbbs)尤；0被歸入新擾動(dòng)項(xiàng)色中去了?？紤]以下兩種情形，（1）遺漏變量血與解釋變量殲不相關(guān),即Cov（£“2）二0。在這種情況下,擾動(dòng) 項(xiàng)冷與解釋變量以不相關(guān)，根據(jù)大樣本理論，OLS依然可以一致地估計(jì)何。但由于遺漏變 量曲2被歸入擾動(dòng)項(xiàng)冷中，可能增大擾動(dòng)項(xiàng)的方弟，從而影響OLS估計(jì)的精確度。（2）遺漏變量如與解釋變量州相關(guān)，即Cov（嗎“2）工0。在這種情況下,根據(jù)大

3、 樣本理論，OLS不再是一致的，其偏差被稱(chēng)為“遺漏變量偏差” （omittedvariablebias）0這 種偏差在計(jì)量實(shí)賤中較常見(jiàn)，成為某些實(shí)證研究的致命傷。比如，在研究教育投資回報(bào)時(shí), 個(gè)體的先天能力因?yàn)闊o(wú)法觀測(cè)血披遺漏，但能力與受教育年限很可能存在正相關(guān)。°變量有測(cè)量誤差測(cè)量數(shù)據(jù)正確時(shí)：假設(shè)方程為：Yi 00 + 0Xi + Hi當(dāng)存在測(cè)量誤差時(shí)：方程為：X = 0O + 01 + W所以我們有：X = 0o + 0i 常+ H=00 + 01 常 + 0i（Xi 常）+ UiM = 01（X-施）+ /可知，誤差項(xiàng)中包含 Xi-所以可以得到：如果Coy（Xi 老，老）H0

4、則回歸結(jié)果有偏，非一致我們假設(shè)豬=Xi + Wi則有八(J2XCY 兀 + b wc： lo 由,因此A即使在大樣本下也偏向于o2o回歸的性質(zhì)決定于w的標(biāo)準(zhǔn)差a八(T X(y2W00 0”>22a x +awc八CT xcr2w0 二cr x +cr w雙商因果萸系7之前我們假定因果關(guān)系是從回歸變量到因變 量的（X導(dǎo)致了Y）。但如果因果關(guān)系同時(shí)也 是從因變量到一個(gè)或多個(gè)回歸變量（Y導(dǎo)致 了X）的呢？如果是這樣的話，因果關(guān)系是 向前的也是“向后”的，即存在雙向因果 關(guān)系，如果存在雙向因果關(guān)系，貝!IOLS回歸 中同時(shí)包含了這兩個(gè)效應(yīng)，因此OLS估計(jì)量 是有偏的、非一致的。（“口 - D /

5、= （rn 吆）4。9也+丈乂 + “ 二?x 呦+ X射+唱='A1歸中加入遺漏變，量的方法加以解決，但前提是只有當(dāng)你有遺漏 變量數(shù)據(jù)時(shí)上述方法才可行。廣雙向因果關(guān)系偏差是指如果有時(shí)因果關(guān)系是從 X到Y(jié)又從Y到X時(shí)，此時(shí)僅用多元回歸無(wú)法消 除這一偏差。同樣，r變量有測(cè)量誤差也無(wú)法用我們前面學(xué)過(guò)的方法 解決。r因此我們就必須尋找一種新的方法。工具變量(instrumehtabvariable, IV)回 *"" 歸是當(dāng)回歸變量X與誤差項(xiàng)u相關(guān)時(shí)獲得總體回歸方程未知系數(shù)一致估計(jì)量的一般方法O 我們經(jīng)常稱(chēng)其為IV估計(jì)。廠其基本思想是:假設(shè)方程是:Yt =金 +直&

6、; +叫，匚=1, 2, , n我們假設(shè)w與X湘關(guān)，則OLS估計(jì)量一定是 有偏的和非一致的。工具變量估計(jì)是利用另 曠我們的工作就是要尋找相應(yīng)的工具變量將解一個(gè)“工具”變量Z將X份離成與u湘關(guān)和不相關(guān)的兩部分。釋變量分解成內(nèi)生變量和外生變量，然后利用兩階段最小二乘法(TSLS)進(jìn)行估計(jì)。工具變量的選取一個(gè)有效的工具變量必須滿足稱(chēng)為工具變量相關(guān) 性和工具變量外生性?xún)蓚€(gè)條件:即(1)工具變量相關(guān)性：工具變量與所替代 的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)；Cov(Zi, X)豐 0(2)工具變量外生性：工具變量與隨機(jī)誤差 項(xiàng)不相關(guān)；CoV(Ui Zi) = 0么廠兩階段最小二乘估計(jì)量曠若工具變量Z滿足工具變量相關(guān)性

7、和外生性的 條件,貝！I可用稱(chēng)為兩階段最小二乘(TSLS)的 IV估計(jì)量估計(jì)系數(shù)屍。兩階段最小二乘估計(jì)量分兩階段計(jì)算：廠第一階段把X分解成兩部分：即與回歸誤差項(xiàng)相關(guān)的1部分以及與誤差項(xiàng)無(wú)關(guān)的一部分。r第二階段是利用與誤差項(xiàng)無(wú)關(guān)的那部分進(jìn)行估計(jì)。一般IV回歸模型一般IV回歸模型為y< = A)+01X” +直x缸+0屮昭口+介卄w< + %1因變量丫遷2.外生解釋變量W1P W2P .Wrio3內(nèi)生解釋變量X1P X2P .Xkio4我們引入工具變量、Z2P .Zmio第一階段回歸：利用OLS建立每個(gè)內(nèi)生變量 (X" X2P .Xki)關(guān)于工具變量(為、Z2P和外生變量(W

8、1P W2P的回歸，并得到所有回歸結(jié)果的擬合值Xhato 第二階段回歸：用Xi_hat取代原有的為，與原有 的外生變量W起進(jìn)行第二次回歸，得到TSLS 統(tǒng)計(jì)量B tsls。注意：工具變量出現(xiàn)在第一階段回歸，但不出 現(xiàn)在第二階段回歸。引入工具變量的個(gè)數(shù)=存假設(shè)我們有n個(gè)內(nèi)生解釋變量，引入了m個(gè)工 具變量，n和m的關(guān)系是什么？n=m恰好識(shí)別曠nvm過(guò)度識(shí)別n>m不可識(shí)別曠只有恰好識(shí)別和過(guò)度識(shí)別才能用IV方法估計(jì)。f兩階段最小二乘法的st ata命令:I=Jr ivregress 2sls depvar varlistl (varlist2 =instlist)/r/firstr其中,“dep

9、var，為被解釋變量，varlistl為外生解釋變量，varlist2為所有的內(nèi)生解釋變量集合，instlist為工具變量集合。廠選擇項(xiàng)表示使用異方差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤，選擇項(xiàng)“first，表示顯示第一階段的回歸。Q工具變量有效性的檢驗(yàn)廣工具變量相關(guān)性r工具變量相關(guān)性越強(qiáng)，也就是工具變量能解釋越多 的X變動(dòng)，則：IV回歸中能用的信息就越多，因此利用 相關(guān)性更強(qiáng)的工具變量得到的估計(jì)量也更精確Or弱工具變量：如果雖然Cov(Zi. Xi)主0 c但是 Cov(Zi, X) q 0 r弱工具變量幾乎不能解釋X的變動(dòng)。弱工具變量檢驗(yàn)準(zhǔn)則r 1.偏R2 (Shea's partial R2)廣含義：在

10、第一階段回歸中，在控制外生變量 影響的前提下，看其它變量對(duì)某內(nèi)生變量的 解釋力，或者說(shuō)，在第一階段回歸中，剔除 掉外生變量的影響。曠2最小特征值統(tǒng)計(jì)量F：經(jīng)驗(yàn)上F應(yīng)該大于10。Stata命令：r estat firststagezall forcenonrobust廣 3 Cragg-Donald Wald F 統(tǒng)計(jì)量 r 4 Kleibergen-Paap Wald rk F 統(tǒng)計(jì)量”r Stata命令：ivreg2=J廣1.如果有很多工具變量，有部分強(qiáng)工具變量和部分 弱工具變量，可以舍棄較弱的工具變量而選用相關(guān)性 較強(qiáng)的工具變量子集。在stata中，可以使用ivreg2 命令進(jìn)行“冗余檢驗(yàn)

11、”，以決定選擇舍棄哪個(gè)工具變 量。（直觀上，冗余工具變量是那些第一階段回歸中 不顯著的變量。）2.如果系數(shù)是恰好識(shí)別的，則你不能略去弱工具變量。在這種情況下，有兩個(gè)選擇: 廣第一個(gè)選擇是尋找其他較強(qiáng)的工具變量。（難度較大） 第二個(gè)選擇是利用弱工具變量繼續(xù)進(jìn)行實(shí)證分 析，但采用的方法不再是TSLS。而是對(duì)弱工 具變量不太敏感的有限信息極大似然法(LIML)o在大樣本下，LIML與2SLS是漸近 等價(jià)的，但在存在弱工具變量的情況下，LIML的小樣本性質(zhì)可能優(yōu)于2SLS。LIML的Stata命令為 ivregress liml depvar varlistl (varlist2 =instlist)

12、Q工具變量外生性的檢驗(yàn)=廣剛才我們提到：只有恰好識(shí)別和過(guò)度識(shí)別才 能用IV方法估計(jì)。=1=1曠一個(gè)很重要的命題是：只有過(guò)度識(shí)別情況下 才能檢驗(yàn)工具變量的外生性，而恰好識(shí)別情 況下無(wú)法檢驗(yàn)。廣基本思想:假設(shè)有一個(gè)內(nèi)生回歸變量，兩個(gè)工具變量且沒(méi) 有包含的外生變量。則你可以計(jì)算兩個(gè)不同的 TSLS估計(jì)量：其中一個(gè)利用第一個(gè)工具變量， 而另一個(gè)利用第二個(gè)工具變量。由于抽樣變異 性，這兩個(gè)估計(jì)量不會(huì)相同，但如果兩個(gè)工具 變量都是外生的，則這兩個(gè)估計(jì)量往往比較接 近。如果由這兩個(gè)工具變量得到估計(jì)非常不同, 則你可以得出其中一個(gè)或兩個(gè)工具變量都有內(nèi) 生性問(wèn)題的結(jié)論。識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：廠Sargan統(tǒng)計(jì)量 廣J統(tǒng)計(jì)量

13、 廣C統(tǒng)計(jì)量 曠過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)的Statar estat over id命令:曠豪斯曼檢驗(yàn) 廠原假設(shè)為: 廠H0 :所有解釋變量均為外生變量reg y xl x2est store ols廣 ivregress 2sls y xl (x2=zl z2) est store ivr hausman iv olsz sigmamore=j=1力上述檢驗(yàn)的缺點(diǎn)是，它假設(shè)在HO成立的情況三 下，OLS最有效率。但如果存在異方差， OLS并不最有效率(不是BLUE)O故傳統(tǒng)的 豪斯曼檢驗(yàn)不適用于異方差的情形。了此時(shí)可以使用杜賓-吳-豪斯曼檢驗(yàn)(DWH), 該檢驗(yàn)在異方差的情況下也適用，更為穩(wěn)健。stata

14、 命令：r estat endogenous廣義矩估計(jì)法？ GMM基本思想：求解如下一般化目標(biāo)函數(shù)，使之最小化J(b_GMM) = n*g(b_GMM),*W*g(b_GMM)其中，W為權(quán)重矩陣 廣在球型擾動(dòng)項(xiàng)的假定下，2SLS是最有效的。但如果擾動(dòng)項(xiàng)存在異方差或自相關(guān)，則廣義矩估計(jì)方法效 果更好。r GMM方法又分為兩步GMM法和迭代GMM方法。曠有關(guān)GMM的Stata命令為r ivregress gmm y xl （x2=zl z2）（兩步 GMM）r ivregress gmm y xl （x2=zl z2）figmm （迭代GMM）r estat overid （過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)）Minc

15、er (1958)最早研究了工資與受教育年限的正相關(guān)關(guān)系，但遺漏了 “能力”這個(gè)變量，導(dǎo)致遺漏變量偏差。針對(duì)美國(guó)面板調(diào)查數(shù)據(jù)中的年輕男子組群(Young Men5sCohort of the National Longitudinal Survey,簡(jiǎn)記 NLS-Y), Griliches (1976) 采用工具變量法對(duì)遺漏變量問(wèn)題進(jìn)行了校正O Blackburn and Neumark (1992)更新r 了 Griliches (1976)的數(shù)據(jù)，即這個(gè)例子中 將要使用的數(shù)據(jù)集grilic.dta。力該數(shù)據(jù)集中包括以下變量:（工資對(duì)數(shù)rH|S（受教育年限），age（年齡），exp（工齡），

16、 tenure（在現(xiàn)革位的工作年數(shù)），iq（智商）， med（母親的受教育年限），kww（社“knowledge of the World of Work”測(cè)試中的成績(jī)），mrt（婚姻虛擬變量，已婚"）， ns（美國(guó)南方虛擬變量，住在南方=1）, smsa（大城市虛擬變量，住在大城市=1）, year （有數(shù)據(jù)的最早年份，19661973年中 的某一年）。LU.。這是一個(gè)兩期面板數(shù)據(jù)，初始期為當(dāng)以上變量 有數(shù)據(jù)的最早年份，結(jié)束期為1980年。不帶 80字樣的變量名為初始期，帶80字樣的變量名為1980年數(shù)據(jù)。比如，iq指的是初始期的 智商，而lw80指的是1980年的工資對(duì)數(shù)。use

17、 grilic.dta,clear sumr (2)考察智商與受教育年限的相關(guān)關(guān)系。pwcorr iq szsig (3)建立如下方程:Zw80 = 0S8O + 02 exp r80 + j33tenure80 + wreg lw80 s80 expr80 tenure80刖我們發(fā)現(xiàn)了如下問(wèn)題；'rlo遺漏變量問(wèn)題：認(rèn)為方程遺漏了 “能力” 這個(gè)變量，加入iq （智商）作為“能力”的代 理變量。reg lw80 s80 iq expr80 tenure80在誤差。3。變量?jī)?nèi)生性問(wèn)題：S80可能與擾動(dòng)項(xiàng)中除“能力” 以外的其他因素相關(guān)，因此是內(nèi)生變量。解決方法：引入四個(gè)變量med，kw

18、w, mrt, age, 作為內(nèi)生解釋變量iq與s80的工具變量。r然后使用TSLS方法進(jìn)行回歸。ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age), first廣使用兩步GMM oivreg (s80ress gmm lw80 expr80 tenure80 iq=med kww mrt age)廠使用迭代GMM oivreg (s80ress gmm lw80 expr80 tenure80 iq=med kww mrt age)zigrnm-勺幾點(diǎn)注意事“ Srio first選項(xiàng)的目的是顯示TSLS第一階段的 結(jié)果，

19、如果省略，則僅顯示第二階段的結(jié)果。曠2。命令的用法比較嚴(yán)格，將被解釋變量和 所有外生解釋變量放到括號(hào)外面，內(nèi)生解釋 變量放到括號(hào)里面，等號(hào)后面為所有工具變r(jià)3o 2SLS只能通過(guò)stata完成，利用定義手 動(dòng)計(jì)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的，因?yàn)闅埐钚蛄惺清e(cuò) 誤的。的工具變量，而是給所有內(nèi)生變量指定一系列工具變量O 廣5。所有外生變變量都作為自己的工具變量。 曠6。為了檢驗(yàn)工具變量的外生性，本題為過(guò)度 識(shí)別。<7o在大樣本下，IV估計(jì)是一致的，但在小 樣本下，IV估計(jì)并非無(wú)偏估計(jì)量，有些情況 下偏誤可能很?chē)?yán)重。鄉(xiāng)X弱工具變量檢驗(yàn)=;廣檢驗(yàn)方法：rlo初步判斷可以用偏R2（partial IV）（剔除掉

20、模型中原有外生變量的影響）。2o Minimum eigenvalue statistic（最小 特征值統(tǒng)計(jì)量），經(jīng)驗(yàn)上此數(shù)應(yīng)該大于10。 這個(gè)方法類(lèi)似于與書(shū)上的“第一階段F統(tǒng)計(jì)O么乞壬宣變量外生性礎(chǔ)曠我們一般稱(chēng)為過(guò)度識(shí)別約束J檢驗(yàn)。廣檢驗(yàn)工具變量是否與干擾項(xiàng)相關(guān)，即工具變量 是否為外生變量。TSLS根據(jù)Sargan統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)。 命令為：estat overid 檢驗(yàn)工具變量的外H0：所有工具變量都是外生的。H1：至少有一個(gè)工具變量不是外生的，與擾 動(dòng)項(xiàng)相關(guān)。ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age)f

21、firstestat firststagefall forcenonrobustestat firststage estat overid么廠究竟該用OLS還是IV曠解釋變量是否真的存在內(nèi)生性？假設(shè)能夠找到方程外的工具變量。廣1。如果所有解釋變量都是外生變量，貝！IOLS比IV更有效。在這種情況下使用IV,雖然估 計(jì)量仍然是一致的，會(huì)增大估計(jì)量的方差。2O如果存在內(nèi)生解釋變量，則OLS是不一 致的，而IV是一致的。檢驗(yàn)方法：豪斯曼檢驗(yàn)檢驗(yàn)二* 曠豪斯曼檢驗(yàn)(Hausman specification test) HO：所有解釋變量均為外生變量。Hl：至少有一個(gè)解釋變量為內(nèi)生變量。quietly

22、 reg lw80 s80 expr80 tenure80 iq est store olsquietly ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age) est store ivhausman iv olsIw = 0S + 02 exp r + tenure + J34rns + /35smsa + wreg Iw s expr tenure rns smsa,r引入智商(iq)作為“能力”的代理變量，再 進(jìn)行OLS回歸。reg Iw s iq expr tenure rns smsafr7 r(2)由于用iq來(lái)度量

23、能力存在“測(cè)量誤差”, 敲iq是內(nèi)生交量，考慮使用變量(me* kww, mrt, age)作為iq的工具變量，建行2SLS回 歸，并使用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。r ivregress 2sls lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww mrt age)fr first廣(3)進(jìn)行過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)，考察是否所有工具變量均外生，即與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。r estat overid/ (4)我們懷疑(m九age)不滿足外生性，故使用C統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)這兩個(gè)工具變量的外生性。findit ivreg2廠 ivreg2 lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww

24、mrt age)zr orthog(mrt age)f (5)考慮僅使用變量(med丿kww)作為iq的 工具變量，再次進(jìn)行2SLS回歸。ivregress 2sls lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww),r first2再次進(jìn)行過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)：estat overidr(6)弱工具變量檢驗(yàn)estat firststage,all forcenonrobust廠(7)為了穩(wěn)健起見(jiàn)，下面使用對(duì)弱工具變量更 不敏感的有限信息最大似然法(LIML)：ivregress liml lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww),rf ' (8)進(jìn)一步考察翡工具變量問(wèn)題，對(duì)工具變 量kww進(jìn)行冗奈檢驗(yàn)r ivreg2 lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww)fr redundant(kww)廣(9)利用豪斯曼檢驗(yàn)判斷是否存在內(nèi)生解釋 變量。廣 qui reg lw iq s expr tenure rns smsa rest store olslrqui ivregress 2sls lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww)estimates store ivl么No）由于穆統(tǒng)的豪斯曼檢驗(yàn)在異方差的情形*