二元一次方程講義

1、二元一次方程組一、知識要點梳理知識點一：二元一次方程的概念  含有兩個未知數(shù)(一般設(shè)為x、y)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方    程如xy24，都是二元一次方程.要點詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).(2)“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(單項式)的次數(shù)是1. 如xy的次數(shù)是2，所以方程   6xy90不是二元一次方程.(3) 二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 如方程的左邊不是整式，所以它就不是二元一次方程.(4)判斷某個方程是不是二元一次方程，一般先把它化

2、為axbyc0的形式，再根據(jù)定義判斷，例 如：2x4y32x不是二元一次方程，因為通過移項，原方程變?yōu)?y3，不符合二元一次方程的形      式。 知識點二：二元一次方程的解   能使二元一次方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一     次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值不只一個，故每個二元一次方程都有無數(shù)組解。如，都是二元一次方程xy3的解，我們把有無數(shù)組解的這樣的方程又稱    之為不定方程。要點詮釋：(

3、1)使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，即二元一次方程的解都要用“”聯(lián)立起來，如 ,是二元一次方程xy2的解(二元一次方程的解是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值)。(2)在二元一次方程的無數(shù)個解中，每個解的一對數(shù)值是相互聯(lián)系、一一對應(yīng)的。即其中一個確定后， 另一個也隨之確定并且唯一。知識點三：二元一次方程組的概念 把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 例如， 都是二元一次方程組.要點詮釋：如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，這樣的方程組也是二元一次方程組。例如，也是二元一次方程組.知識點四：二元一次方程組的解  一般地，二元一

4、次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：(1)方程組的解是一對數(shù)值，即 ，而不能表示成x9,y4.(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數(shù)個.(3)檢驗一組數(shù)是否是二元一次方程組的解時，一定要將這一組數(shù)代入方程組中的每一個方程，看是否 滿足每一個方程，只有這組數(shù)是方程組中的所有方程的公共解時，該組數(shù)才是原方程組的解，否則不      是。知識點五：二元一次方程組的解法  消元法：所謂“消元”就是減少未知數(shù)的個數(shù)，使多元方程最終轉(zhuǎn)化為一元方程再解出未知數(shù)

5、。   即將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的消元思想。消元法分代入消元法和加減消元法。（一）代入消元法1代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。是把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解,這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法。2用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示這個方程中的另一個未知數(shù);(2)將變形后的這個關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

6、(4)將求得的這個未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值；(5)把求得的兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式.要點詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化 簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；（二）加減消元法1加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，加減消元法是通過將兩個方程相加(或相減)消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解,這種解法叫做加減消元法，簡稱加減法。2用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組中的兩個方程，如果同一

7、個未知數(shù)的系數(shù)既不相反又不相等，就可用適當?shù)臄?shù)去乘一 個方程或兩個方程的兩邊，使兩個方程中的某一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加減(相同時相減，相反時相加)，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求得其中一個未知數(shù)的值；(4)把所求得的這個未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡單的一個方程，求出另一個未知數(shù)的值；(4) (5)把求得的兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式。要點詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1)選擇系數(shù)絕對值較小的未知數(shù)消元；(2)某一未知數(shù)絕對值相等，如果符號不同，用加法消元，如果符號相同，用減法消元；(

8、3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，直接對其中一個方程變形，使其系數(shù)絕對值相等，再運用加減法消 元；(4)當相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時，找出某一個未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時對兩個方程進行變形， 轉(zhuǎn)化為絕對值相同的系數(shù)，再用加減法來解。（選學(xué)）知識點六：三元一次方程組（一）定義：    方程組含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程     ， 這樣的方程組叫做三元一次方程組。要點詮釋：方程組包括三個方程，但是不一定每個方程都有三個未知數(shù)。如（二）解法： 

9、0;解三元一次方程組的的關(guān)鍵仍然是消元，通過消元，把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進     而轉(zhuǎn)化為一元一次方程組求解。要點詮釋：  解三元一次方程組時，要仔細觀察方程組中三個一次方程系數(shù)的特點，確定先消哪個元，然后選擇     用代入消元法還是加減消元法。二、規(guī)律方法指導(dǎo)1二元一次方程的整數(shù)解的求法：  一般情況下，一個二元一次方程都有無數(shù)個整數(shù)解，解這類問題時，先用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示     另一個未知數(shù)，然后根據(jù)條件逐

10、一求出相應(yīng)的解.2判斷二元一次方程組的方法：  把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起就組成一個二元一次方程組，判斷一個方程是不是     二元一次方程組，就看它是否滿足以下兩個條件：(1)看整個方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個；(2)看     含未知數(shù)的項的次數(shù)是不是1.3檢驗一對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法是：  將這對數(shù)值分別代入方程組中的每個方程，只有當這對數(shù)值滿足其中的所有方程時，才能說這對數(shù)     

11、60;值是此方程組的解；否則，如果這對數(shù)值不滿足其中的任何一個方程，那么它就不是此方程組的解.4運用代入法、加減法解二元一次方程組要注意的問題：(1)當方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式時，用代入法比較簡單；(2)若方程組中一個未知數(shù)的系數(shù)為1(或1)時，選擇這個方程進行變形，用代入法比較簡便；(3)當方程組中的兩個方程有某個未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時，進行加減消元比較方便；(4)若兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，利用等式性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成(3)的類型，選擇加減 消元法比較簡便；(5)若兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不相等，那么，應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小 的

12、一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等 (都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元；(6)對于比較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母、去括號、合并同類項等). 通常要把每個方程 整理成含未知數(shù)的項在方程的左邊，常數(shù)項在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮.二元一次方程組例題一、填空題1已知(k2)xk12y1，則k_時，它是二元一次方程；k_時，它是一元一次方程2若x2(3y2x)20，則的值是_ 3二元一次方程4xy10共有_ 組非負整數(shù)解4已知是二元一次方程mxny2的一個解，則2mn6的值等于_5用加減消元法解方程組時，把×3&

13、#215;2，得_6已知二元一次方程組那么xy_ ，xy_7若2x5y0，且x0，則的值是_8.如果是方程組的解,則的關(guān)系是( )9.關(guān)于的方程組的解也是二元一次方程的解,則的值是.10. 若已知方程,則當=時,方程為一元一次方程; 當=時,方程為二元一次方程.二、選擇題1已知二元一次方程xy1，下列說法不正確的是( )(A)它有無數(shù)多組解(B)它有無數(shù)多組整數(shù)解 (C)它只有一組非負整數(shù)解(D)它沒有正整數(shù)解2若二元一次方程組的解中，y0，則mn等于( )(A)34(B)34(C)14(D)1123已知x3t1，y2t1，用含x的式子表示y，其結(jié)果是( )(A)(B) (C) (D)4如圖，將正方形ABCD的一角折疊，折痕為AE，BAD比BAE大48°設(shè)BAE和BAD的度數(shù)分別為x，y，那么x，y所適合的方程組是( ) (A)(B) (C) (D)5. 已知代數(shù)式及是同類項，那么a、b的值分別是（ ） A. B. C.6關(guān)于x，y的方程組的解為則a，b的值分別為( )(A)2和3(B)2和3(C)2和3(D)2和37及方程組有完全相同的解的是( )(A)x2y30 (B)2xy0 (C) (x2y3)(2xy)0 (D) x2y3(2xy)208若方程組的解