2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(天津卷)

1、1 / 17 絕密 啟用前 2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(天津卷,理) 本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共 150 分,考試用時(shí) 120 分鐘.第卷 1 至2 頁,第卷 2 至 4 頁. 答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí),考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回. 祝各位考生考試順利! 第卷 注意事項(xiàng): 1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號. 2.本卷共 8 小

2、題,每小題 5分,共 40分. 參考公式: 如果事件 a,b 互斥,那么 p(ab)=p(a)+p(b). 如果事件 a,b 相互獨(dú)立,那么 p(ab)=p(a)p(b). 棱柱的體積公式 v=sh,其中 s表示棱柱的底面面積,h 表示棱柱的高. 棱錐的體積公式 v=13sh,其中 s表示棱錐的底面面積,h 表示棱錐的高. 一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)全集為 r,集合 a=x|0 x2,b=x|x1,則 a(rb)= a.x|0 x1 b.x|0 x1 c.x|1x2 d.x|0 x2 2 / 17 2.設(shè)變量 x,y 滿足約束條件 + 5,2- 4

3、,- + 1, 0,則目標(biāo)函數(shù) z=3x+5y 的最大值為 a.6 b.19 c.21 d.45 3. 閱讀右邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入 n的值為 20,則輸出 t 的值為 a.1 b.2 c.3 d.4 4.設(shè) xr,則“|-12| 12”是“x3bc b.bac c.cba d.cab 6.將函數(shù) y=sin(2 +5)的圖象向右平移10個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù) a.在區(qū)間34,54上單調(diào)遞增 b.在區(qū)間34,上單調(diào)遞減 c.在區(qū)間54,32上單調(diào)遞增 d.在區(qū)間32,2上單調(diào)遞減 7.已知雙曲線2222=1(a0,b0)的離心率為 2,過右焦點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線與雙曲

4、線交于 a,b兩點(diǎn).設(shè) a,b到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為 d1和 d2,且 d1+d2=6,則雙曲線的方程為 a.24212=1 b.21224=1 c.2329=1 d.2923=1 8. 如圖,在平面四邊形 abcd 中,abbc,adcd,bad=120 ,ab=ad=1.若點(diǎn) e為邊 cd 上的動(dòng)點(diǎn),則 的最小值為 a.2116 b.32 c.2516 d.3 第卷 注意事項(xiàng): 1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2.本卷共 12 小題,共 110 分. 4 / 17 二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30分. 9.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)6+7i1+

5、2i= . 10.在(-12)5的展開式中,x2的系數(shù)為 . 11. 已知正方體 abcd-a1b1c1d1的棱長為 1,除面 abcd外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)e,f,g,h,m(如圖),則四棱錐 m-efgh的體積為 . 12.已知圓 x2+y2-2x=0的圓心為 c,直線 = -1 +22, = 3-22(t為參數(shù))與該圓相交于 a,b 兩點(diǎn),則abc的面積為 . 13.已知 a,br,且 a-3b+6=0,則 2a+18的最小值為 . 14.已知 a0,函數(shù) f(x)=2+ 2 + , 0,-2+ 2-2, 0.若關(guān)于 x 的方程 f(x)=ax 恰有 2 個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,則

6、a 的取值范圍是 . 三、解答題:本大題共 6 小題,共 80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 15.(本小題滿分 13分) 在abc中,內(nèi)角 a,b,c 所對的邊分別為 a,b,c.已知 bsin a=acos(-6). (1)求角 b的大小; (2)設(shè) a=2,c=3,求 b和 sin(2a-b)的值. 5 / 17 16.(本小題滿分 13分) 已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為 24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取 7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查. (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4人睡眠不足,3 人睡眠充足,

7、現(xiàn)從這 7 人中隨機(jī)抽取 3 人做進(jìn)一步的身體檢查. 用 x表示抽取的 3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量 x 的分布列與數(shù)學(xué)期望; 設(shè) a為事件“抽取的 3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件 a 發(fā)生的概率. 6 / 17 17.(本小題滿分 13分) 如圖,adbc 且 ad=2bc,adcd,egad且 eg=ad,cdfg且 cd=2fg,dg平面abcd,da=dc=dg=2. (1)若 m為 cf的中點(diǎn),n為 eg 的中點(diǎn),求證:mn平面 cde; (2)求二面角 e-bc-f的正弦值; (3)若點(diǎn) p在線段 dg上,且直線 bp 與平面 adge所成的角為

8、60 ,求線段 dp的長. 18.(本小題滿分 13分) 設(shè)an是等比數(shù)列,公比大于 0,其前 n 項(xiàng)和為 sn(nn*),bn是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求an和bn的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列sn的前 n項(xiàng)和為 tn(nn*), 求 tn; 7 / 17 證明 =1(+2)(+1)(+2)=2+2+2-2(nn*). 19.(本小題滿分 14分) 設(shè)橢圓22+22=1(ab0)的左焦點(diǎn)為 f,上頂點(diǎn)為 b.已知橢圓的離心率為53,點(diǎn) a的坐標(biāo)為(b,0),且|fb| |ab|=62. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線 l:y=kx

9、(k0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為 p,且 l與直線 ab 交于點(diǎn) q.若|=524sinaoq(o為原點(diǎn)),求 k 的值. 20.(本小題滿分 14分) 已知函數(shù) f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a1. (1)求函數(shù) h(x)=f(x)-xln a 的單調(diào)區(qū)間; 8 / 17 (2)若曲線 y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1)處的切線與曲線 y=g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2)處的切線平行,證明 x1+g(x2)=-2ln lnln; (3)證明當(dāng) a e1e時(shí),存在直線 l,使 l是曲線 y=f(x)的切線,也是曲線 y=g(x)的切線. 數(shù)學(xué)(天津卷,理) 1.b b=x|x1,r

10、b=x|x1.a=x|0 x2,a(rb)=x|0 x1.故選 b. 2.c 作出不等式組 + 5,2- 4,- + 1, 0表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示. 由 + = 5,- + = 1,解得點(diǎn) a的坐標(biāo)為(2,3). 由 z=3x+5y,得 y=-35x+5. 由圖可知,當(dāng)直線 y=-35x+5過點(diǎn) a 時(shí),5最大,即 z最大. 所以 z的最大值 zmax=32+53=21. 3.b 輸入 n=20,i=2,t=0,此時(shí)202=10 是整數(shù),t=1,i=3,不滿足 i5;此時(shí)203不是整數(shù),i=4,不滿足i5;此時(shí)204=5 是整數(shù),t=2,i=5,滿足 i5,輸出 t=2. 9 / 1

11、7 4.a 由|-12| 12,可得 0 x1.由 x31,可得 x1. 所以“|-12| 12”是“x3log2elog22=1,即ca1. 因?yàn)?y=ln x 在(0,+)上單調(diào)遞增,且 b=ln 2, 所以 ln 2ln e=1,即 bab.故選 d. 6.a 將函數(shù) y=sin(2 +5)的圖象向右平移10個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2(-10) +5=sin 2x. 當(dāng)-2+2k2x2+2k,kz,即-4+kx4+k,kz 時(shí),y=sin 2x 單調(diào)遞增. 當(dāng)2+2k2x32+2k,kz,即4+kx34+k,kz 時(shí),y=sin 2x 單調(diào)遞減, 結(jié)合選項(xiàng),可知

12、y=sin 2x在34,54上單調(diào)遞增.故選 a. 7.c 由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線 y=x.如圖所示,|ad|=d1,|bc|=d2,過點(diǎn) f作 efcd于點(diǎn) e. 由題易知 ef 為梯形 abcd的中位線, 10 / 17 所以|ef|=12(d1+d2)=3. 又因?yàn)辄c(diǎn) f(c,0)到 y=x 的距離為|-0|2+2=b,所以 b=3,b2=9. 因?yàn)?e=2,c2=a2+b2,所以 a2=3,所以雙曲線的方程為2329=1.故選 c. 8.a 如圖,取 ab 的中點(diǎn) f,連接 ef. =( + )2-( - )24=(2 )2- 24=| |2-14. 當(dāng) efcd時(shí),| |最小

13、,即 取最小值. 過點(diǎn) a作 ahef于點(diǎn) h,由 adcd,efcd,可得 eh=ad=1,dah=90 . 因?yàn)閐ab=120 ,所以haf=30 . 在 rtafh中,易知 af=12,hf=14, 所以 ef=eh+hf=1+14=54. 所以( )min=(54)214=2116. 9.4-i 6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i. 10.52 (-12)5的展開式的通項(xiàng)為 tr+1=c5x5-r(-12)= c5x5-r(-12)-2= (-12)c55-32. 令 5-32=2,可得 r=2. 11 /

14、 17 所以(-12)5的展開式中的 x2的系數(shù)為(-12)2c52=52. 11.112 由題意可知,四棱錐 m-efgh 的底面 efgh 為正方形且邊長為22,其高為12, 所以 v四棱錐m-efgh=13 (22)212=112. 12.12 由圓 c的方程為 x2+y2-2x=0,可得圓心為 c(1,0),半徑為 1. 由 = -1 +22, = 3-22(t為參數(shù)),可得直線的普通方程為 x+y-2=0. 所以圓心 c(1,0)到直線 x+y-2=0 的距離 d=|1+0-2|1+1=22. 所以|ab|=21-(22)2= 2. 所以 sabc=12 |ab| d=12 2 22

15、=12. 13.14 因?yàn)?2a0,180, 所以 2a+18=2a+2-3b222-3=22-3, 當(dāng)且僅當(dāng) a=-3,b=1時(shí),等號成立. 因?yàn)?a-3b+6=0,所以 a-3b=-6. 所以 2a+1822-6=14,即 2a+18的最小值為14. 14.(4,8) 由 f(x)=ax,可得 當(dāng) x0 時(shí),x2+2ax+a=ax,即 x2+ax+a=0,可得 a=-2+1. 由 a0,可得 x0時(shí),-x2+2ax-2a=ax,即 x2-ax+2a=0,可得 a=2-2. 由 a0,可得 x2. 可設(shè)函數(shù) h(x)=2-2,其中 x(2,+). 對 g(x)求導(dǎo),可得 g(x)=-2+2(

16、+1)2.令 g(x)0,可得 x0,可得-2x-1,則 g(x)在(-,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,-1)上單調(diào)遞增. 同理可得 h(x)在(2,4)上單調(diào)遞減,在(4,+)上單調(diào)遞增. 畫出 g(x)和 h(x)的大致圖象如圖所示. 由圖可知,滿足題意的 a的取值范圍是(4,8). 15.解 (1)在abc中,由正弦定理sin=sin,可得 bsin a=asin b.又由 bsin a=acos(-6),得 asin b=acos(-6),即 sin b=cos(-6),可得 tan b=3.又因?yàn)?b(0,),所以 b=3. (2)在abc中,由余弦定理及 a=2,c=3,b=3,有

17、b2=a2+c2-2accos b=7,故 b=7. 由 bsin a=acos(-6),可得 sin a=37.因?yàn)?ac,故 cos a=27.因此 sin 2a=2sin acos a=437,cos 2a=2cos2a-1=17.所以,sin(2a-b)=sin 2acos b-cos 2asin b=437121732=3314. 16.解 (1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為 322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取 3人,2 人,2 人. 13 / 17 (2)隨機(jī)變量 x 的所有可能取值為 0,1,2,3. p(x=

18、k)=c4c33-c73(k=0,1,2,3). 所以,隨機(jī)變量 x的分布列為 x 0 1 2 3 p 135 1235 1835 435 隨機(jī)變量 x的數(shù)學(xué)期望 e(x)=0135+11235+21835+3435=127. 設(shè)事件 b為“抽取的 3人中,睡眠充足的員工有 1人,睡眠不足的員工有 2 人”;事件 c 為“抽取的 3人中,睡眠充足的員工有 2人,睡眠不足的員工有 1 人”,則 a=bc,且 b與 c互斥.由知,p(b)=p(x=2),p(c)=p(x=1),故 p(a)=p(bc)=p(x=2)+p(x=1)=67. 所以,事件 a發(fā)生的概率為67. 17. 解 依題意,可以建

19、立以 d為原點(diǎn),分別以 , , 的方向?yàn)?x軸、y 軸、z 軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得 d(0,0,0),a(2,0,0),b(1,2,0),c(0,2,0),e(2,0,2),f(0,1,2),g(0,0,2),m(0,32,1),n(1,0,2). (1)證明:依題意 =(0,2,0), =(2,0,2). 設(shè) n0=(x,y,z)為平面 cde的法向量, 則0 = 0,0 = 0, 14 / 17 即2 = 0,2 + 2 = 0,不妨令 z=-1,可得 n0=(1,0,-1).又 = (1,-32,1),可得 n0=0.又因?yàn)橹本€ mn平面 cde,所以 mn平面 cde

20、. (2)依題意,可得 =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2). 設(shè) n=(x,y,z)為平面 bce 的法向量,則 = 0, = 0,即- = 0,-2 + 2 = 0,不妨令 z=1,可得 n=(0,1,1). 設(shè) m=(x,y,z)為平面 bcf 的法向量,則 = 0, = 0,即- = 0,- + 2 = 0,不妨令 z=1,可得 m=(0,2,1). 因此有 cos=|=31010,于是 sin=1010. 所以,二面角 e-bc-f的正弦值為1010. (3)設(shè)線段 dp的長為 h(h0,2),則點(diǎn) p的坐標(biāo)為(0,0,h),可得 =(-1,-2,h).易知

21、, =(0,2,0)為平面 adge 的一個(gè)法向量,故|cos|=| | | |=22+5. 由題意,可得22+5=sin 60 =32,解得 h=330,2. 所以,線段 dp 的長為33. 18.(1)解 設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q.由 a1=1,a3=a2+2,可得 q2-q-2=0.因?yàn)?q0,可得 q=2,故an=2n-1. 設(shè)等差數(shù)列bn的公差為 d.由 a4=b3+b5,可得 b1+3d=4.由 a5=b4+2b6,可得 3b1+13d=16,從而b1=1,d=1,故 bn=n. 所以,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2n-1,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為 bn=n. (2)解 由(1),有

22、 sn=1-21-2=2n-1, 故 tn= =1(2k-1)= k=1n2k-n=2(1-2)1-2-n=2n+1-n-2. 證明 因?yàn)?+2)(+1)(+2)=(2+1-2+2)(+1)(+2)=2+1(+1)(+2)=2+2+22+1+1, 15 / 17 所以, =1(tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)= (233-222) + (244-233)+(2n+2n+2-2n+1n+1) =2n+2n+2-2. 19.解 (1)設(shè)橢圓的焦距為 2c,由已知有22=59,又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得,|fb|=a,|ab|=2b.由|fb| |ab|=62,可得

23、 ab=6,從而 a=3,b=2.所以,橢圓的方程為29+24=1. (2)設(shè)點(diǎn) p的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn) q 的坐標(biāo)為(x2,y2).由已知有 y1y20,故|pq|sinaoq=y1-y2.又因?yàn)閨aq|=2sin,而oab=4,故|aq|=2y2.由|=524sinaoq,可得 5y1=9y2. 由方程組 = ,29+24= 1,消去 x,可得 y1=692+4.易知直線 ab 的方程為 x+y-2=0,由方程組 = , + -2 = 0,消去 x,可得 y2=2+1.由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=392+ 4,兩邊平方,整理得 56k2-50k+11=0,解得 k=12,

24、或 k=1128. 所以,k 的值為12或1128. 20.(1)解 由已知,h(x)=ax-xln a,有 h(x)=axln a-ln a. 令 h(x)=0,解得 x=0. 由 a1,可知當(dāng) x變化時(shí),h(x),h(x)的變化情況如下表: x (-,0) 0 (0,+) h(x) - 0 + h(x) 極小值 所以函數(shù) h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+). 16 / 17 (2)證明 由 f(x)=axln a,可得曲線 y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1)處的切線斜率為1ln a.由 g(x)=1ln,可得曲線 y=g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2)處的切線斜率為12ln.因?yàn)檫@兩條切線平行,故有1ln a=12ln,即 x21(ln a)2=1.兩邊取以 a為底的對數(shù),得 logax2+x1+2logaln a=0,所以 x1+g(x2)=-2ln lnln. (3)證明 曲線 y=f(x)在點(diǎn)(x1,1)處的