2022屆高考數(shù)學解題方法微專題（29）非線性回歸直線方程的求解

1、- 1 - / 4 微專題微專題(二十九二十九) 非線性回歸直線方程的求解非線性回歸直線方程的求解 回歸分析中，依據(jù)描述自變量與因變量之間因果關系的函數(shù)表達式是線性的，還是非線性的，分為線性回歸分析和非線性回歸分析通常線性回歸分析法是最基本的分析方法，遇到非線性回歸問題可以借助數(shù)學手段化為線性回歸問題處理 例 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費 x(單位：千元)對年銷售量 y(單位：t)和年利潤 z(單位：千元)的影響，對近 8 年的年宣傳費 xi和年銷售量 yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值 x y w i18 (xi x)2 i18

2、 (wiw)2 i18 (xi x) (yi y) i18 (wiw) (yi y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi xi，w18i18wi. (1)根據(jù)散點圖判斷，yabx 與 ycd x哪一個適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關于 x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤 z與 x，y的關系為 z0.2yx.根據(jù)(2)的結果回答下列問題： 年宣傳費 x49 時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ 年宣傳費 x 為何值時，年利潤的預報值最大？

3、附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu 的斜率和截距的最小二乘估計分別為i1n (ui u)(vi v)i1n (ui u)2， vu. 解析：(1)由散點圖可以判斷，ycd x適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x 的回歸方程類型 (2)令 w x，先建立 y 關于 w 的線性回歸方程，由于di18 (wiw) (yi y)i18 (wiw)2108.81.668， c ydw563686.8100.6， - 2 - / 4 所以 y 關于 w的線性回歸方程為y100.668w， 因此 y 關于 x的回歸方程為y100.668 x. (3)由(2)知，

4、當 x49時， 年銷售量 y 的預報值y100.668 49576.6， 年利潤 z的預報值z576.60.24966.32. 根據(jù)(2)的結果知，年利潤 z 的預報值 z0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12. 所以當 x13.626.8，即 x46.24 時，z取得最大值 故年宣傳費為 46.24 千元時，年利潤的預報值最大 名師點評 非線性回歸方程的求法 (1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x，y)作出散點圖 (2)根據(jù)散點圖選擇恰當?shù)臄M合函數(shù) (3)作恰當?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程 (4)在(3)的基礎上通過相應變換，即可得非線性回歸方程 變式練 二手車經(jīng)銷商小王對其所

5、經(jīng)營的 a 型號二手汽車的使用年數(shù) x 與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數(shù)據(jù)： 使用年數(shù) 2 3 4 5 6 7 售價 y 20 12 8 6.4 4.4 3 zln y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 下面是 z關于 x 的折線圖： (1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合 z 與 x 的關系，請用相關系數(shù)加以說明； (2)求 y 關于 x 的回歸方程并預測某輛 a 型號二手車當使用年數(shù)為 9 年時售價約為多少？(b、a小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字) 參考公式：回歸方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：bi1n (xi x)(yi y

6、)i1n (xi x)2i1nxiyin xyi1nx2in x2； a ybx，ri1n (xi x)(yi y)i1n (xi x)2i1n (yi y)2 參 考 數(shù) 據(jù) ：i16xiyi 187.4 ，i16xizi 47.64 ，i16x2i 139 ，i16 (xi x)2 4.18 ，- 3 - / 4 i16 (yi y)213.96，i16 (zi z)21.53，ln 1.460.38，ln 0.711 80.34. 微專題微專題(二十九二十九) 變式練 解析：(1)由題意，計算 x16(234567)4.5， z16(32.482.081.861.481.10)2. 且i16xizi47.64, i16 (xi x)24.18, i16 (zi z)21.53， - 4 - / 4 ri1n (xi x)(zi z)i1n (xi x)2i1n (zi z)2 47.6464.524.181.536.366.395 40.99. z與 x 的相關系數(shù)大約為0.99，說明 z與 x 的線性相關程度很高 (2)利用最小二乘法估計公式計算 bi1nxizin x zi1nx2in x247.6464.5213964.526.3617.50.36. a zbx20.364.53.62. z與 x 的線性回