選擇性必修第一冊第三章 3.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、1 / 13 3.2 雙曲線雙曲線 32.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單問題 知識點(diǎn)一 雙曲線的定義 1定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) f1，f2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡 2定義的集合表示：m|mf1|mf2|2a，02a|f1f2| 3焦點(diǎn)：兩個定點(diǎn) f1，f2. 4焦距：兩焦點(diǎn)間的距離，表示為|f1f2|. 思考 (1)雙曲線定義中，將“小于|f1f2|”改為“等于|f1f2|”或“大于|f1f2|”的常數(shù)，其他條件

2、不變，點(diǎn)的軌跡是什么？ (2)雙曲線的定義中，f1，f2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|mf1|mf2|2a(常數(shù))，且2a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 焦點(diǎn) (c，0)，(c，0) (0，c)，(0，c) a，b，c的關(guān)系 c2a2b2 1平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線( ) 2 / 13 2平面內(nèi)到點(diǎn) f1(0,4)，f2(0，4)的距離之差等于 8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線( ) 3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是 a b( ) 4在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c之間的關(guān)系與橢圓中 a，b，c 之間的關(guān)系相同( ) 一、雙曲線的定義的應(yīng)用

3、例 1 (1)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，點(diǎn) p 在雙曲線的右支上，若|pf1|pf2|b，且雙曲線的焦距為 2 5，則該雙曲線的方程為_ 答案 x2y241 解析 由題意得 |pf1|pf2|2ab，c2a2b2，2c2 5，解得 a21，b24， 則該雙曲線的方程為 x2y241. (2)已知雙曲線x29y2161的左、右焦點(diǎn)分別是 f1，f2.若雙曲線上一點(diǎn) p 使得f1pf260 ，求f1pf2的面積 解 由x29y2161得，a3，b4，c5. 由雙曲線的定義和余弦定理得|pf1|pf2| 6， |f1f2|2|pf1|2|pf2|22|

4、pf1|pf2|cos 60 ， 所以 102(|pf1|pf2|)2|pf1| |pf2|， 所以|pf1| |pf2|64， 所以12f pfs12|pf1| |pf2| sin f1pf2 12643216 3. 反思感悟 雙曲線的定義的應(yīng)用 (1)已知雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求得該點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而根據(jù)定義求該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離 (2)雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運(yùn)用 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)若雙曲線 e：x29y2161 的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，點(diǎn) p 在雙曲線 e

5、 上，3 / 13 且|pf1|3，則|pf2|等于( ) a11 b9 c5 d3 答案 b 解析 由題意得|pf1|pf2|6， |pf2|pf1| 6，|pf2|9或3(舍去) 故選 b. (2)設(shè) f1，f2分別是雙曲線 x2y2241 的左、右焦點(diǎn)，p 是雙曲線上的一點(diǎn)，且 3|pf1|4|pf2|，則pf1f2的面積等于( ) a4 2 b8 3 c24 d48 答案 c 解析 |pf1|pf2|2，3|pf1|4|pf2|，解得|pf1|8，|pf2|6. 在pf1f2中，|pf1|8，|pf2|6，|f1f2|10， pf1f2為直角三角形，1 2pf fs12|pf1|pf2

6、|24. 二、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 (1)以橢圓x28y251 長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(3， 10)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 答案 x23y251 解析 由題意得，雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，且 c2 2. 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(a0，b0)， 則有 a2b2c28，9a210b21， 解得 a23，b25. 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23y251. (2)求過點(diǎn) p3，154，q163，5 且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 設(shè)雙曲線的方程為 ax2by21，ab0. 因?yàn)辄c(diǎn) p，q 在雙曲線上， 則 9a22516b1，2569a25b1，解得 a116，b19

7、. 4 / 13 故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29x2161. 反思感悟 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在 x軸和 y軸上兩種情況討論求解 (2)當(dāng) mn0，b0)， 將點(diǎn)(4，2)和(2 6，2 2)代入方程得 16a24b21，24a28b21， 解得 a28，b24， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y241. (2)已知方程x2k5y2|k|21 對應(yīng)的圖形是雙曲線，那么 k的取值范圍是_ 答案 k5 或2k0. 即 k50，|k|20，或 k50，|k|25 或2k0，0a24，4a2a2，解得 a1. 4“0k3”是“方程x2k1y2k5

8、1表示雙曲線”的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分又不必要條件 答案 a 解析 0k0，k50，方程x2k1y2k51表示雙曲線； 反之，方程x2k1y2k51 表示雙曲線，(k1)(k5)0，解得1k5. 故“0k3”是“方程x2k1y2k51表示雙曲線”的充分不必要條件故選 a. 5已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個焦點(diǎn) f1，f2的坐標(biāo)分別為( 5，0)和( 5，0)，點(diǎn) p 在雙曲線上，且 pf1pf2，pf1f2的面積為 1，則雙曲線的方程為_ 答案 x24y21 解析 由 |pf1| |pf2|2，|pf1|2|pf2|2(2 5)2 (|pf1|pf2|

9、)216，即 2a4，解得 a2， 又 c 5，所以 b1， 故雙曲線的方程為x24y21. 1知識清單： (1)雙曲線的定義 7 / 13 (2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2方法歸納：待定系數(shù)法、分類討論 3常見誤區(qū)： 雙曲線焦點(diǎn)位置的判斷， 忽略雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍 1設(shè)動點(diǎn) p到 a(5,0)的距離與它到 b(5,0)距離的差等于 6，則 p 點(diǎn)的軌跡方程是( ) a.x29y2161 b.y29x2161 c.x29y2161(x3) d.x29y2161(x3) 答案 d 解析 由題意知，軌跡應(yīng)為以 a(5,0)，b(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支 由 c5，a3，知 b216， p點(diǎn)

10、的軌跡方程為x29y2161(x3) 2雙曲線方程為 x22y21，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) a.22，0 b.62，0 c.52，0 d( 3，0) 答案 b 解析 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y2121， a21，b212，c2a2b232，c62， 故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為62，0 . 3已知雙曲線x2a3y22a1，焦點(diǎn)在 y 軸上，若焦距為 4，則 a等于( ) a.32 b5 c7 d.12 答案 d 解析 根據(jù)題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y22ax23a1. 由其焦距為 4，得 c2， 8 / 13 則有 c22a3a4，解得 a12. 4已知雙曲線x24y251 上一點(diǎn) p 到左焦

11、點(diǎn) f1的距離為 10，則 pf1的中點(diǎn) n 到坐標(biāo)原點(diǎn) o的距離為( ) a3或 7 b6 或 14 c3 d7 答案 a 解析 連接 on，on是pf1f2的中位線， |on|12|pf2|， |pf1|pf2|4，|pf1|10，|pf2|14或 6， |on|12|pf2|7或 3. 5(多選)已知 f1(3,0)，f2(3,0)，滿足條件|pf1|pf2|2m1 的動點(diǎn) p 的軌跡是雙曲線的一支，則 m 可以是( ) a2 b1 c. 4 d3 答案 ab 解析 設(shè)雙曲線的方程為x2a2y2b21，則 c3，2a2c6，|2m1|6，且|2m1|0， 52m0，且 m20，解得 m2

12、. 7以橢圓x216y291 的短軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn) a(4，5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 答案 y25x241 解析 由題意， 知雙曲線的兩焦點(diǎn)為 f1(0，3)，f2(0,3) 設(shè)雙曲線方程為y2a2x2b21(a0，b0)， 將點(diǎn) a(4，5)代入雙曲線方程，得25a216b21. 又 a2b29，解得 a25，b24， 9 / 13 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y25x241. 8已知abp 的頂點(diǎn) a，b 分別為雙曲線 c：x216y291 的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn) p 在雙曲線 c上，則|sin asin b|sin p的值等于_ 答案 45 解析 由方程x216y291 知 a216，

13、b29，即 a4，c 1695. 在abp中，利用正弦定理和雙曲線的定義知，|sin asin b|sin p|pb|pa|ab|2a2c242545. 9已知與雙曲線x216y291 共焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn) p52， 6 ，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 已知雙曲線x216y291， 則 c216925，c5. 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(a0，b0) 依題意知 b225a2， 故所求雙曲線方程可寫為x2a2y225a21. 點(diǎn) p52， 6 在所求雙曲線上， 522a2( 6)225a21， 化簡得 4a4129a21250， 解得 a21或 a21254. 當(dāng) a21254時，b2

14、25a22512542540， 不合題意，舍去， a21，b224， 所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y2241. 10已知雙曲線x216y241的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2. (1)若點(diǎn) m 在雙曲線上，且mf1 mf20，求 m點(diǎn)到 x 軸的距離； 10 / 13 (2)若雙曲線 c與已知雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3 2，2)，求雙曲線 c的方程 解 (1)如圖所示，不妨設(shè) m 在雙曲線的右支上，m點(diǎn)到 x 軸的距離為 h，mf1 mf20， 則 mf1mf2， 設(shè)|mf1|m，|mf2|n， 由雙曲線定義，知 mn2a8， 又 m2n2(2c)280， 由得 m n8， 12mn412|f

15、1f2| h， h2 55. (2)設(shè)所求雙曲線 c的方程為 x216y241(4b0)與雙曲線 c：x2m2y2n21(m0，n0)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過 2k(kn*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為_ 答案 2k(am) 解析 光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點(diǎn)， 如圖， |bf2|2m|bf1|， |bf1|ba|af1|bf2|2m|ba|af1|af2|af1|2m2a2m， 所以光線經(jīng)過 2k(kn*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為 2k(am) 16已知abc 的一邊的兩個頂點(diǎn) b(a，0)，c(a，0)(a0)，另兩邊的斜率之積等于m(m0)求頂點(diǎn) a的軌跡方程，并且根據(jù) m 的取值情況討論軌跡