勾股定理講義

1、數(shù)學 勾股定理講義 姓名： 班級： 勾股定理1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b 的平方和等于斜邊c 的平方。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么    。強調說明：勾最短的邊、股較長的直角邊、弦斜邊2、勾股定理的逆定理：如果三角形三邊a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形就為直角三角形。3、定理的證明方法勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四

2、個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，化簡得證4利用勾股定理作長為的線段易錯點1,勾股定理揭示了直角三角形三邊的關系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有兩邊（較小的兩邊）的平方和等于第三邊（最長的邊）的平方，非直角三角形不具備這種關系。因此，在非直角三角形中或者是在不知道三角形是不是直角三角形的情況下，不能盲目地使用勾股定理。另一方面，若已知三角形中有直角，使用勾股定理時也需謹慎，不能機械地把它記為，這只是時的情形。當時，有；當時，有2,注意隱含條件已知直角三角形的兩邊長分別為3cm，4cm，求第三邊的長由于

3、思考不周全，忽略隱含條件，誤認為一邊是3cm，一邊是4cm，所以第三邊就應該是5cm，實際上，題目隱含著兩種情況3,注意應用的區(qū)別在直角的三角形中需要用到三邊關系時用勾股定理，而已知三邊長想用勾股定理進行有關計算或推理時，則需先用勾股定理的逆定理判定它是不是直角三角形。4,注意遇到求高問題?？紤]用勾股定理解決【知識點 1】 勾股定理內容1、在ABC中，C=90°， AB5，則+=_2、下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A.a=1.5，b=2,c=3B.a=7,b=24,c=25C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=53、已知一個直角三角形的兩邊

4、長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A.25B.14C.7D.7或254、三角形的三邊長為,則這個三角形是( )A. 等邊三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 銳角三角形.5、（西城區(qū)2010-2011）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段不能構成直角三角形的是（ ）A6，8，10 B8，15，17 C1，2 D2，2，6、如圖，一根12米高的電線桿兩側各用15米的鐵絲固定，兩個固定點AB之間的距離是（ ）A 13 B 9 C 18 D 107、如圖,64、 400分別為所在正方形的面積，則圖中字母A所代表的正方形面積是   _   

5、 . 8、如右圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)同學為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”，而他們僅僅少走了 步（假設1米 = 2步），卻踩傷了花草.9、如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是7cm，則正方形A、B、C、D、E、F的面積之和是_“路” 18題圖 10、（西城區(qū)2009-2010）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段能構成直角三角形的是（ ）A3，4，6 B5，12，14 C1，1， D2， ，411、（西城區(qū)2008-2009）下列各組數(shù)中，以a、b、c為邊長的三角形不是直角三角形的是（ ）A. ，B. C. D. 12、直角三

6、角形的兩條直角邊的長分別為5，12，則斜邊上的高線的長為（ ）13、下列各組數(shù)中， 能成為直角三角形的三條邊長的是 （ ）A8、15、17 B. 10、24、25 C. 9 、15、20 D. 9、 80、 8114、 如圖，一根木棍斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設木棍中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B沿地面向右滑行。在此滑動過程中，點P到點O的距離 （ ） A. 不變 B.變小 C. 變大 D.無法判斷15、（西城區(qū)2008-2009）下列各組數(shù)中，以a、b、c為邊長的三角形不是直角三角形的是（ ）A. ，B. C. D. 16、直角三角形的兩條直角邊的長分別為5，12，則斜邊上的

7、高線的長為（ ）17、三十五中學為了迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備舉辦新年晚會，大林搬來一架高為2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米的墻上，開始梯腳與墻角的距離為1.5米，但高度不夠。要想正好掛好拉花，梯腳應向前移動（人的高度忽略不計）（ ） A0.7米 B0.8米 C0.9米 D1.0米18、若直角三角形的兩邊長分別為6cm和8cm，則第三邊長為 19、如圖，四邊形ABCD中，ABBC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四邊形ABCD的面積。20、（東城區(qū)20082009）在下列以線段a、b、c的長為三邊的三角形中，不能構成直角三角形的是（）A、a：b：c=3：4

8、：5 B、a=9，b=40，c=41C、a=11，b=12，c=13 D、a=b=5，c=5 21、小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1 m，當它把繩子的下 拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為 22、老李家有一塊草坪如圖所示，家里想整理它，需要知道其面積。老李測量了草坪各邊得知：AB=3米,BC=4米,AD=12米,CD=13米,且ABCB.請同學們幫老李家計算一下這塊草坪的面積.23、如圖在ABC中，D是BC上一點，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求 （7分）24、如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）46C 16552

9、5、等腰三角形的周長為，腰長為1，則它的底邊上的高為_26、如圖已知正方形ABCD中，求證： 27、如圖，四邊形ABCD是正方形，AEBE于點E，且AE=3，BE=4，則陰影部分的面積是_。28、如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點如圖1中是以格點為頂點面積為5的正方形；（1）在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為3、4、5；（2）在圖3中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、29、已知直角三角形的邊長分別是5、12、13，則三角形的面積是30、在高為3米,斜坡長為5米的樓梯表面鋪地毯,則地毯的長度至少需要多少米?若樓梯寬2米,每平方

10、米地毯30元,那么這塊地毯需花多少元? 31、下列各組數(shù)中，能構成直角三角形的是A4，5，6 B1，1， C6，8，11 D5，12，1732、如果正方形ABCD的面積為，則對角線AC的長度為33、如圖，在單位正方形組成的網格圖中標有四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（ ）A. CD，EF，GH B. AB，EF，GH C. AB，CD，GH D. AB，CD，EF34、有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了_米35、如圖，在ABC中，D是BC上一點，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC的面積。（2）在AB

11、C中，若AB15，AC13，高AD12，求ABC的周長。36、如圖，一架長為7.5米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子底端B距離墻ON有4.5米. （1）梯子頂端與地面的距離OA的長。 （2）若梯子頂點A下滑1米到C點，求梯子的底端B向右滑到D的距離。37、一個三角形的三個內角之比為121，其相對應的三邊之比為（ B ）A. 121BC141D21238、如圖是2002年北京第24屆國際數(shù)學家大會會徽，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩直角邊分別為_ 39、已知:如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，

12、CD=12cm，且A=90°，求四邊形ABCD的面積. （5分）40、直角三角形一條直角邊與斜邊分別為8cm和10cm.則斜邊上的高等于（ ） A.6cm B. 4.8cm C.9cm D.不能確定41、下列三角形中不是直角三角形的是（ ）.A三個內角之比為561 B其中一邊上的中線等于這一邊的一半C三邊之長為9、40、41 D三邊之比為1.5 : 2 : 342、一棵大樹在離地面9米高的B處斷裂，樹頂A落在離樹底部C的12米處，則大樹數(shù)斷裂之前的高度為（ ） A9米 B.15米 C. 21米 D. 24米43、如圖，一個梯子AB長2.5 米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角

13、C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？44、如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km（1）水泵應建在什么地方,可使所用的水管最短?請在圖中設計出水泵站的位置；（2）如果鋪設水管的工程費用為每千米1500元，為使鋪設水管費用最節(jié)省，請求出最節(jié)省的鋪設水管的費用為多少元？45、小明想知道學校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高是( ) A8米 B10米 C12米 D1446、正方

14、形面積為36，則對角線的長為 A6BC9 D47、ABC中，AB=12，AC=9，BC=15，則ABC的面積等于 （A）108 （B）90 （C）180 （D）5448、如圖，中，若AB=15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（ ） A、 B、 C、 D、無法計算49、下列線段不能組成直角三角形的是（ ）A、 B、 C、 D、【知識點 2】 勾股數(shù) 能成為直角三角形三邊的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)，32+42=52 3、4、5是一組勾股數(shù)同理 6、8、10是一組勾股數(shù)，5、12、13也是一組勾股數(shù)；顯然，若(a，b，c)為一組基本勾股數(shù)，則(ka，kb，kc)也為勾股數(shù)，其中k為正整數(shù)

15、例1、觀察一下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律： 3， 4， 5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41；請你寫出有以上規(guī)律的第組勾股數(shù)： 【知識點 3】 勾股定理與方程的綜合運用運用勾股定理解決幾何問題時，常常要構造方程求解。例1、折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊上點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長。練習1、如圖，把長方形沿對折，使點落在的位置時，與交于，若，求重疊部分的面積。2、將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，求線段CN的長3、如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D&#

16、39;處，則重疊部分AFC的面積=_4、如圖ABCD中, C=90度，沿著直線BD折疊，使點C落在處，交AD于E，求DE的長5、如圖：有一張直角三角形紙片，兩直角邊為AC=6cm,BC=8cm，將三角形ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CE長為（ ）cmEAB.C. D.6、如圖所示，將矩形ABCD沿AE向上折疊，使點B落在DC邊上的F處，若AFD的周長為9，ECF的周長為3，則矩形ABCD的周長為_.7、把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF若AB = 3 cm，BC = 5 cm，則重疊部分DEF的面積是 8、如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直

17、角邊，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，且與重合。則等于 （ ） 、 、 、 、9、在中，AB=17，BC=9，AC=10，試求的面積。利用兩直角三角形公共部分建立等量關系）【知識點 4】 利用割補法求面積例1、在Rt如圖網格都是邊長為1的小正方形，點A，B,C 在格點上，D為AB中點，則CD的長為 例2、在中，、三邊的長分別為、，求這個三角形的面積例3、如圖，在正方形網格上有一個ABC.若網格上的最小正方形邊長為1，ABC的面積為 .【知識點 5】 最近問題在本章中，求解長方體、圓柱體等例題圖形表面上兩點間最短距離問題，通常是將其表面展開為平面圖形，然后根據“兩點之間線段最短”，利用勾股

18、定理計算出結果例1、如圖是一個邊長6厘米的立方體ABCD-EFGH， 一只甲蟲在棱EF上且距F點1厘米的P處. 它要爬到頂點D，需要爬行的最近距離是_厘米.例2、有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm，AA1、BB1為相對的兩條母線。在AA1上有一個蜘蛛Q，QA=4cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1=3cm。蜘蛛沿圓柱體側面爬到P點吃蒼蠅，最短的路徑是_cm.（結果用帶和根號的式子表示）【知識點6】規(guī)律 例1、如圖，點，是正方形的兩個頂點，以它的對角線為一邊作正方形，以正方形的對角線為一邊作正方形，再以正方形的對角線為一邊作正方形，依次進行下去，則點的坐標是（ ） A B C D例2、

19、第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的. 設其中的第一個直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，請你先把圖中其它8條線段的長計算出來，填在下面的表格中：OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA81、已知ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC 為直角邊，畫第二個等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是 【知識點7】、分類討論思想例1、等腰三角形的腰長為10cm，底邊上的高是8cm，則其底邊的長為 _cm例2、ABC中，若

20、AB=AC=25, AB邊上的高CD7, 則BC=_例3、ABC中，AB=AC=5，BD是AC邊上的高，若BD=3，則BC= 1、已知：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（10，0）、C（0，4），點D是線段OA上一點，點P在BC邊上運動，當ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為_. 2、一個直角三角形的兩邊長分別為12和5，則此三角形的第三邊長_。3、如果直角三角形的三邊長為10、6、x，則最短邊上的高為_4、在ABC中，AB=，AC=，BC邊上高AD=，則BC的長為（ ）A B C或 D不能確【知識點8】、轉化思想我們在求三角形的邊或

21、角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決例1、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。 （思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關鍵是線段的轉化，根據直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接AD）例2、如圖所示，在中,且,求的長. 1、已知：如圖，ABC中，C90°，D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE,BF,EF關系【知識點9】（具有特殊30、45度角的直角三角

22、形）例1、ABC中，A=60°，C=90°,AC=,則BC= 例2、,如圖四邊形ABCD的周長為42，AB=AD=12，A=60°，D=150°，求BC的長例3、直角三角形一條直角邊長為8 cm，它所對的角為30°，則斜邊為（ ）A 12 cm B 4cm C 16cm D 8cm 練習1、在RtABC中，C=90º，A=30º，BC=1，則AC的長是（ ）A2 B C D 2、中，AB=2，BC=1，AC=，則A= 3、在RtABC，C=90°（1）若a：b=3：4, c = 10, 求a、b的值。（2）若b =

23、 6，A=45°，求a、c長度。解： 解：4、ABC中，AB=2，BC=4， 求AC邊的長（6分）5、等腰直角三角形的斜邊為10，則腰長為_，斜邊上的高為_。6、在RtABC中，C=，分別為A，B，C的對邊.（1）已知，求；（2）已知，A=，求，.7、已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 拓展探究1、如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形（涂上陰影）在圖1中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；在圖2、圖3中，分別畫一個直角三角形，使它的三邊長都是無

24、理數(shù) (兩個三角形不全等). 圖1 圖2 圖3 圖42、在正方形網格中，小格的頂點叫做格點小華按下列要求作圖：在正方形網格的三條不同實線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一條實線上；聯(lián)結三個格點，使之構成直角三角形，小華在左邊的正方形網格中作出了RtABC，請求出斜邊AC的長請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網格中各畫出一個直角三角形，使三個網格中的直角三角形互不全等，并分別求出這三個直角三角形的斜邊長 斜邊AC長為 斜邊長為 斜邊長為 3、 探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每邊上的釘子數(shù))，連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù)：當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與，所以不同長度值的線段