初中數(shù)學(xué)直角三角形的性質(zhì)推薦實(shí)用教案

1、直角三角形的兩個直角三角形的兩個(lin )(lin )銳銳角互余角互余第1頁/共17頁第一頁，共18頁。直角三角形的兩個直角三角形的兩個(lin )(lin )銳角銳角互余互余定理定理(dngl)(dngl)1 1BAC在在Rt Rt ABCABC中，中，C=90C=90 A A + +B=90 B=90 . .已知：已知：求證求證(qizhng)(qizhng)： 證明：證明： 在在 ABCABC中，中， A A + +B+B+C=180C=180 （三角形的內(nèi)角和是三角形的內(nèi)角和是180 180 ）又又 C=90 C=90 （已知已知） A A + +B=90 B=90 （等式性質(zhì)等式性

2、質(zhì)） 第2頁/共17頁第二頁，共18頁。直角三角形的兩個直角三角形的兩個(lin )(lin )銳角銳角互余互余定理定理(dngl)(dngl)1 1BAC在在Rt Rt ABAB C C中，中，ACB=90ACB=90 （1 1）如果）如果(rgu)B=75(rgu)B=75，則，則 A=_ A=_ ; ;練習(xí)練習(xí)1 1：（2 2）如果）如果A-A-B=10B=10 , ,則則 A=_A=_ , , B=_B=_ ; ;（3 3）如果）如果CDCD是是ABAB邊上的高邊上的高, , 圖中有圖中有_對互余的角對互余的角; ; 有有_對相等的銳角對相等的銳角. .D1 12 2A A + +2=

3、90 2=90 A A + +B=90 B=90 1 +1 +B=90 B=90 1 1 + +2=90 2=90 1515505040404 42 2第3頁/共17頁第三頁，共18頁。直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線(zhngxin)(zhngxin)等于等于斜邊的一半斜邊的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2BAC在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CMCM是斜邊是斜邊ABAB上的中線上的中線(zhngxin)(zhngxin)已知：已知：求證：求證： CM= CM= AB.AB.21MBACMEFBACMC1第4頁/共17頁第四頁，共18頁。 MF

4、B MFB AEM AEM BAC在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CMCM是斜邊是斜邊ABAB上的中線上的中線(zhngxin)(zhngxin)已知：已知：求證求證(qizhng)(qizhng)： 分析分析(fnx(fnx)：BF=MEBF=MECM=MBCM=MBCM= CM= AB.AB.21MEF MFB MFB AEM AEM ME=CFME=CFBF=CFBF=CFCM= CM= AB.AB.21過點(diǎn)過點(diǎn)M M作作ME ACME AC，MFBCMFBC，垂足分別為，垂足分別為E E、F F第5頁/共17頁第五頁，共18頁。（直角三角形的兩個（直角三角形的

5、兩個(lin )(lin )銳銳角互余）角互余）BAC在在RtRtABCABC中，中， ACB=90 ACB=90，CMCM是斜邊是斜邊ABAB上的中線上的中線(zhngxin)(zhngxin)已知：已知：求證求證(qizhng)(qizhng)： 證明：證明：CM= CM= AB.AB.21MC1 在在C C1 1MAMA和和CMBCMB中中延長延長CMCM到點(diǎn)到點(diǎn)C C1 1, ,使使MCMC1 1=CM=CM，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)ACAC1 11 12 2AM=BMAM=BM C C1 1MAMA= CMB CMBMCMC1 1=MC=MC C C1 1MA MA CMBCMB（S.A.S)S.

6、A.S)得得C C1 1A=CBA=CB（全等三角形對應(yīng)邊相等）（全等三角形對應(yīng)邊相等） 1 1= B B ACB=90ACB=90 ，（全等三角形對應(yīng)角相等）（全等三角形對應(yīng)角相等） 2+2+B=90 B=90 2+2+1=90 1=90 即即 C C1 1AC=90AC=90 ， C C1 1AC= AC= ACBACB 在在C C1 1ACAC和和BCABCA中中C C1 1A=BCA=BCAC=CAAC=CA C C1 1AC AC BCABCA（S.A.S)S.A.S) C C1 1AC= AC= ACBACB得得CCCC1 1=AB=AB又又 CM CM= CC= CC1 1 CM

7、CM= AB= AB2121（已知）（已知）（對頂角相等）（對頂角相等）（所作）（所作）（已知）（已知）（等量代換）（等量代換）（已證）（已證）（已證）（已證）（公共邊）（公共邊）（所作）（所作）（等量代換）（等量代換）第6頁/共17頁第六頁，共18頁。直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線(zhngxin)(zhngxin)等于等于斜邊的一半斜邊的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2練習(xí)練習(xí)(linx)2(linx)2：1 1、判斷下列命題是真命題還是假命題：、判斷下列命題是真命題還是假命題：（1 1）在）在ACBACB中，中，CDCD是是ABAB邊上的中線，則邊上的中線，則CD

8、= AB.CD= AB.（ ）21（2 2）在）在RtRtACBACB中，中，ACB=90ACB=90 ，D D是是ABAB邊上的一點(diǎn)，則邊上的一點(diǎn)，則CD= AB.CD= AB.（ ）21（3 3）在）在RtRtACBACB中，中，ACB=90ACB=90 ，ADAD是是BCBC上的中線，則上的中線，則AD= AB.AD= AB.（ ）21BACD假命題假命題假命題假命題假命題假命題直角直角斜邊斜邊中線中線第7頁/共17頁第七頁，共18頁。直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線(zhngxin)(zhngxin)等于斜等于斜邊的一半邊的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2練習(xí)練習(xí)

9、(linx)2(linx)2：2 2、已知：在、已知：在RtRtABCABC中中, ,ABC=90ABC=90 ，BMBM是是ACAC邊上的中線邊上的中線（1 1）若）若B BM=8M=8，則，則AM=_AM=_，CM=_CM=_，AC=_AC=_；（2 2）若）若C=C=2525 ，AMB=_AMB=_ ；BACM8 88 8161650502 21 1BM=AM=CM= ACBM=AM=CM= AC21C=C=1 1A=A=2 2（3 3）若）若B BD D是是ACAC邊上的高，則與邊上的高，則與A A相等的角有相等的角有_個個. .第8頁/共17頁第八頁，共18頁。直角三角形斜邊上的中線

10、直角三角形斜邊上的中線(zhngxin)(zhngxin)等于等于斜邊的一半斜邊的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2練習(xí)練習(xí)(linx)2(linx)2：2 2、已知：在、已知：在RtRtABCABC中中, ,ABC=90ABC=90 ，BMBM是是ACAC邊上的中線邊上的中線BACM（3 3）若）若B BD D是是ACAC邊上的高，則與邊上的高，則與A A相等的角有相等的角有_個個. .2 2DBACDBACM第9頁/共17頁第九頁，共18頁。已知：如圖，在已知：如圖，在 ABC ABC中，中，AD BCAD BC， E E、F F分別分別(fnbi)(fnbi)是是ABAB、ACA

11、C的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且DE=DFDE=DF求證求證(qizhng)(qizhng)：AB=AC. AB=AC. DABCEF等腰三角形等腰三角形底邊底邊上的中點(diǎn)上的中點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)直角三角形直角三角形斜邊斜邊上的中點(diǎn)上的中點(diǎn)第10頁/共17頁第十頁，共18頁。如圖如圖1 1，在，在Rt Rt ABC ABC與與Rt Rt ACE ACE中，中， ABC= AEC=90 ABC= AEC=90 ，點(diǎn)，點(diǎn)M M是是ACAC邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn)(zhn din)(zhn din)，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)BMBM、EMEM、BEBE，點(diǎn)，點(diǎn)P P是是BEBE的中點(diǎn)的中點(diǎn)(zhn (zhn din). din). 求證

12、：求證：EABCMP中點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)證明證明(zhngmng)(zhngmng)：（已知）（已知） ABC= ABC= AEC=90AEC=90 M M是是ACAC邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn)（已知）（已知）（等量代換）（等量代換） BM= ACBM= AC21，EM= ACEM= AC21（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） BMBM= EM EM又又 P P是是BEBE邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn) MPMP BE BE （等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）（圖（圖1 1）MP BE .MP BE .第11頁/共17頁第十一頁，共18頁。C證明證明(zhn

13、gmng)(zhngmng)： ABC= ABC= AEC=90AEC=90 M M是是ACAC邊上邊上(bin (bin shn)shn)的中點(diǎn)的中點(diǎn) BM= ACBM= AC21，BE= ACBE= AC21 BMBM= EM EM又又 P P是是BEBE邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn) MPMP BE BE （已知）（已知）（已知）（已知）（等量代換）（等量代換）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）如圖如圖2 2，在，在Rt Rt ABCABC與與RtRt ACE ACE中，中， ABC= ABC= AEC=90

14、AEC=90 ，點(diǎn)，點(diǎn)M M是是ACAC邊上的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)邊上的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BMBM、EMEM、BEBE，點(diǎn)，點(diǎn)P P是是BEBE的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：MP BE .MP BE .中點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)（圖（圖1 1）EACMP（圖（圖1 1）B（圖（圖2 2）M第12頁/共17頁第十二頁，共18頁。EDACMP如圖如圖3 3，在，在ACDACD中，中，AEAE、CBCB分別是邊分別是邊CDCD、ADAD上的高，上的高，M M、 P P分別是分別是ACAC、BEBE的中點(diǎn)的中點(diǎn)(zhn din).(zhn din).求證：求證：MP BE .MP BE .證明證明(zhngmng)(zhngmn

15、g)： A AEC= EC= A ABC=90BC=90 M M是是ACAC邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn)ME= ACME= AC21，MB= ACMB= AC21 MEME= M MB B又又 P P是是BEBE邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn) M MP P B BE E （圖（圖3 3）（已知）（已知）（已知）（已知）（等量代換）（等量代換）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）B聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié)MEME、MBMB第13頁/共17頁第十三頁，共18頁。19.8 的性質(zhì)(xngzh)BACM1 12 2BACM1 12 2直角三角形的兩

16、個直角三角形的兩個(lin )(lin )銳角互余銳角互余直角三角形斜邊上的中線等于直角三角形斜邊上的中線等于(dngy)(dngy)斜斜邊的一半邊的一半第14頁/共17頁第十四頁，共18頁。（1 1）閱讀教材）閱讀教材(jioci)P115(jioci)P115頁，性質(zhì)定理頁，性質(zhì)定理2 2的證明；的證明；（2 2）用右圖的添線方法，完成性質(zhì)定理）用右圖的添線方法，完成性質(zhì)定理2 2的證明的證明 已知：在已知：在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90， CMCM是斜邊是斜邊ABAB上的中線上的中線. . MEFBACCM= CM= ABAB. .21求證：求證：（3 3）練習(xí)冊）練習(xí)冊 19.8(1)19.8(1)第15頁/共17頁第十五頁，共18頁。已知：如圖，在已知：如圖，在RtRt ABC ABC中，中， C=90C=90 ， A AD BCD BC， CBE=CBE= ABEABE . .求證求證(qizhng)(qizhng)：ED=2AB. ED=2AB. DABCE21FAB=AFAB=AF A ABE=BE= AFBAFBED=2AB.ED=2AB. A ABE=BE= 2 2 CBECBE AFB=2AFB=2 D D分析分析(fnx(fnx)：作作AEDAED邊邊EDED上的中線上的中線AFAF第16頁