(word完整版)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)大全(全國新課標(biāo)版),推薦文檔

1、第1頁高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)大全(新課標(biāo)版)第一部分集合1. 理解集合中元素的意義.是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲 線上的點(diǎn)？2.數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù) 問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決3.兀素與集合的關(guān)系：x A x CUA,x CuAx A.(2) 德摩根公式：CU(AI B)CUAUCUB；CU(AU B)CuAI CUB.(3)AI B AAUB BAB CUB CUA AI CUBCUAU B R注意：討論的時(shí)候不要遺忘了A的情況.(4) 集合a

2、1,a2,L ,an的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n- 1 個(gè)；非空子集有2n- 1 個(gè)；非空真子集有2n- 2 個(gè).4.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函數(shù)1.映射：注意：第一個(gè)集合中的元素必須有象；一對(duì)一或多對(duì)一2函數(shù)值域的求法：分析法：配方法；判別式法；利用函數(shù)單調(diào)性：換兀法；絕對(duì)值的意義等)；利用函數(shù)有界性(ax、sinx、cosx等)；平方法； 導(dǎo)數(shù)法3復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：1若 f(x)的定義域?yàn)閍, b,則復(fù)合函數(shù) fg(x)的定義域由不等式 a g(x) b 解出2若 fg(x)的定義域?yàn)閍,b,求 f(x)的定義域，相當(dāng)于 x a,b

3、時(shí)，求 g(x)的值域.(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：首先將原函數(shù)y fg(x)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)u g(x)與外函數(shù)y f (u)分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性3根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。5函數(shù)的奇偶性：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件f (x)是奇函數(shù)f( X)f (x)；f (x)是偶函數(shù)f( x) f (x)利用均值不等式b2利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距離、第2頁奇函數(shù)f(x)在 0 處有定義，則f(0)0第3頁在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相

4、同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性6 函數(shù)的單調(diào)性：單調(diào)性的定義：1f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)2f (x)在區(qū)間M上是減函數(shù)般要將式子f(Xi) f(X2)化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(hào)；復(fù)合函數(shù)法圖像法注：證明單調(diào)性主要用定義法。7 函數(shù)的周期性：(1)周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的任意x，若有f (x T) f (x)(其中T為非零常數(shù))，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為它的一個(gè)周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最 小正周期。(2)三角函數(shù)的周期：ysin x :T 2；ycosx :

5、 T 2:y tan x : Ty Asin( x ), yAcos( x):T2| |:y tan x: T| |(3)與周期有關(guān)的結(jié)論：f (x a) f (x a)或f (x2a)f (x)(a0)f (x)的周期為2a&基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì):.指數(shù)函數(shù)：y ax(a0,a1)；對(duì)數(shù)函數(shù):y logax(a 0,a1)；幕函數(shù)：y x(R)； 正弦函數(shù):ysi nx；余弦函數(shù)：y cosx；_2(6)正切函數(shù)：y tanx；一元二次函數(shù)：ax bx c 0(0 )；其它常用函數(shù)：ka 正比例函數(shù)：y kx(k0):反比例函數(shù)：y (k 0)；函數(shù)y x (a 0)XXmm.分

6、數(shù)指數(shù)幕：an:am；an匚(以上a 0,m, n N，且n 1).aabN logaN b；logaMN logaM logaN；l0gaMlogaMlogaN；砸am以logab.Nm對(duì)數(shù)的換底公式：logaNlog m N.對(duì)數(shù)恒等式：alogaNN.logma9.二次函數(shù)：Xi, X2M ,當(dāng)XiX2時(shí)有f (xjf(X2);Xi, X2M ,當(dāng)XiX2時(shí)有f (xjf(X2);單調(diào)性的判定：定義法:第4頁解析式：一般式：f (x) ax2bx C；頂點(diǎn)式：f(x) a(x h)2k,(h,k)為頂點(diǎn);第5頁零點(diǎn)式：f(x) a(x x1)(x x2)(0)二次函數(shù)問題解決需考慮的因素

7、:開口方向；對(duì)稱軸；端點(diǎn)值；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；判別式；兩根符號(hào)。Kc的圖象的對(duì)稱軸方程是x，頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a10.函數(shù)圖象:圖象變換:平移變換：i)yf(x)y f(xa),(a0)左“ +”右ii) yf(x)yf (x)k,(k0)-上“ +”下“”；對(duì)稱變換：i ) yf(x)(0,0)yf ( x)；ii ) yf(x)y 0y f(x)；iii) yf(x)x 0yf( x)；iv) yf (x)y xx f(y)；翻折變換:12函數(shù)零點(diǎn)的求法:零點(diǎn)定理：若 y=f（x）在a,b上滿足 f（a） f（b）0 , 貝 U y=f（x）在（a,b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。第三部分三角函數(shù)、三角恒等變

8、換與解三角形圖象作法：描點(diǎn)法（特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖） 圖象變換法導(dǎo)數(shù)法b 4ac b2,。2a 4a二次函數(shù)y ax2bxii )y f (x)y f(x)f(|x|)I f(x)|（去左翻右）（留上翻y 軸右不動(dòng)，右向左翻（x 軸上不動(dòng)，下向上翻（|f（x）在y左側(cè)圖象去掉）；f（x）|在x下面無圖象）；直接法（求f （x）0的根）；圖象法；二分法1.角度制與弧度制的互化:弧度180,1801弧度，1弧度（）57 18弧長公式：IR;扇形面積公式：S2IR2R2。2.三角函數(shù)定義：角終邊上任一點(diǎn)（非原點(diǎn)）P(x,y),設(shè)| OP | r則:sin= cos r-,tan1rx3三角函數(shù)

9、符號(hào)規(guī)律:全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為“全 s t c第6頁4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律:“奇變偶不變，符號(hào)看象5 .yA sin( x對(duì)稱軸：令對(duì)稱中心:(k,0)(k Z)；y Acos( x對(duì)稱軸：令k，得x ；對(duì)稱中心:k(-2一,0)(k Z)；周期公式：函數(shù)Asin( xAcos( x )的周期T2 (A、3、為常數(shù),第7頁&兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:sin()sincoscossin；cos()cos cosmsi n sin；)tantantan(1 mta n tansin()si n()sin2sin2；cos()cos()2 2cossinasinbco

10、s= :一 a2b2sin()(其中，輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限K決定，tan).a10.正、余弦定理:注：a : b : c sin A: si nB:si nC:2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC；一。sin A si nB sinC si nA si nB sin C2 2 2余弦定理：a2b2c22bccosA等三個(gè)；cos A -c等三個(gè)。2bcysin x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k, 2k-k Z,單調(diào)遞減區(qū)間為222k3,2kk Z,對(duì)稱軸為x k(k Z),對(duì)稱中心為k ,0(kZ).2 22ycosx的單調(diào)遞增區(qū)間為2k,2k kZ,單調(diào)遞減區(qū)間為2k

11、,2kk Z,7三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱性:Z).對(duì)稱軸為x k (k Z),對(duì)稱中心為正弦定理：sin A sin Bc2R sin C2R是ABC外接圓直徑且AM0).函數(shù)y Atan x的周期T(A、3、為常數(shù)，且AM0).6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:sin2x cos2x 1;SinXcosxtan x(ky tan x的單調(diào)遞增區(qū)間為kZ，對(duì)稱中心為k,029 二倍角公式：sin22sin cos.(sin cos )21 2si ncos 1 sin 2cos 2cos2sin222cos1 2si n2(升幕公式)2cos1 cos2 . 2 ,si n21 cos 2(降幕公式

12、)11111.幾個(gè)公式：二角形面積公式：Sahabhbchc(ha、 hb、hc分別表示 a、b、c 邊上的高)；2221 uuuuuu2uiu uur22, OA | | OB |)2(OA OB)2第四部分 平面向量1.平面上兩點(diǎn)間的距離公式：dA,B.(X2xj2(y2yj2，其中 A(X1,yJ，B(X22).2. 向量的平行與垂直：設(shè)a=(x1, y1),b=(x2, y2)，且b 0,則：1a/b bd ax1y2x2y10；2ab(a 0)ab=0X1X2yy 0.3. ab=| a| b|cos= x1X2+y1y2；注：Ia|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|co

13、s叫做 b 在 a 方向上的投影;ab的幾何意義：ab等于| a|與| b|在 a 方向上的投影| b|cos的乘積。a b4. cos=-；|a|b|5. 三點(diǎn)共線的充要條件： P, A, B 三點(diǎn)共線1 .定義:2.等差、等比數(shù)列性質(zhì):等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1(n1)dn 1anaz11S1asin B.SOAB2內(nèi)切圓半徑 r=2SABCa b c外接圓直徑sinAbsinBcsinCuuu uuu uuuOP xOA yOB 且 x y 1。第五部分?jǐn)?shù)列等差數(shù)列 an2anan 1anan 1and(d 為常數(shù),n1(n 2,nN*)anknananAn21d(n 2)Bn等比

14、數(shù)列an詈q(q 0) an2an-1an 1( n 2,n第 5 頁第10頁1.q 1時(shí)，Snna1;前 n 項(xiàng)和n(a1an)na1n(n21)d2q耐Sa1(1qn)Sn2na1a.q1 q1 q性質(zhì)an=am+ (nm)d, an=amqn-m;m+n=p+q 時(shí) am+an=ap+aq m+n=p+q 時(shí) aman=apaqSk,S2kSk,&kS2k,成 APSk,S2kSk,S3kS2k,成 GPak,ak m,ak 2m,成 AP,dmdak,ak m,ak 2m,成 GP,q qm3 常見數(shù)列通項(xiàng)的求法:anan 14.前n項(xiàng)和的求法：分組求和法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)法。

15、5.等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最值的求法:第六部分不等式2.極值定理： 已知x, y都是正數(shù)，則有:（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)x y時(shí)和x y有最小值2 P；12（2）如果和x y是定值s，那么當(dāng)x y時(shí)積xy有最大值一s2.43. 解一元二次不等式ax2bx c 0（或 0）:若a 0,則對(duì)于解集不是全集或空集時(shí)，對(duì)應(yīng)的解集為大兩邊，小中間”.如：當(dāng)x1x2,xx1xx20 x-1xx2；x x1x x20 x x2或 x x1.4. 含有絕對(duì)值的不等式：當(dāng)a 0時(shí)，有：x ax2a2a x a；2x ax2a2x a或x a.定義法（利用 AP,GP 的定義）；累加法（an,an累乘法（C

16、n型）；待定系數(shù)法（an ikanCn型） ；公式法:b型）轉(zhuǎn)化為an1Si(n=1)an=帯 _Sn一 Sn-1(n2)x k(anx)（6）間接法（例如：an 1an4anan 11 14）;（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。Sn最大值anan 1或 Sn最小值an0an 10;利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。1.均值不等式：-ba2br 2b(a,b 0)注意：一正(a,bR)。2a第11頁5*.分式不等式:、fX小、f Xc(1)0f x g x0；（2）0g xg x/c、f X(3)06*.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式f(x) g(x)f(x)0當(dāng)0 a 1時(shí)，af（x）g (x)af (x)g(x)

17、；gf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)3.不等式的性質(zhì)：a b b a；ab, bc ac；abac b c；a b, cda c b d；ab,c0 acbd；ab,c0ac bc；a b0,c d 0ac bd;a b 0nabn0(n N );:ab0nanb( n N )第七部分 概率1 事件的關(guān)系：事件 B 包含事件 A:事件 A 發(fā)生，事件 B 一定發(fā)生，記作A B；事件 A 與事件 B 相等：若A B, B A，則事件 A 與 B 相等，記作 A=B;并（和）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A 發(fā)生或 B 發(fā)生，記作A B（或A B）；并（積）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且

18、僅當(dāng)事件A 發(fā)生且 B 發(fā)生，記作A B（或AB）事件 A 與事件 B 互斥：若A B為不可能事件（A B），則事件 A 與互斥；對(duì)立事件：A B為不可能事件，A B為必然事件，則 A 與 B 互為對(duì)立事件。2.概率公式：古典概型：P(A)A 包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)；幾何概型：P(A)構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長度（面積或體 積等）試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積等）；第八部分統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1.抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,通過逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量/八f x(4)0g x(1)當(dāng)a 1時(shí)，af(x)ag(x)f (x) g(x)；logaf(x

19、) logag(x)f(x) 0g(x) 0第12頁為 n 的樣本，且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱這種抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。注：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為；N常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法。系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體均衡的分成幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從 每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注：步驟：編號(hào)；分段；在第一段采用簡單隨機(jī)抽樣方法確定起始的個(gè)體編號(hào)；按預(yù) 先制定的規(guī)則抽取樣本。分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí)，為使樣本更充分的反映總體的情況， 將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣

20、。注：每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)N注：以上三種抽樣的共同特點(diǎn)是：在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等2 頻率分布直方圖與莖葉圖：用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字,它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。3 總體特征數(shù)的估計(jì):第九部分算法初步1 程序框圖：圖形符號(hào)：終端框（起止框）：/ 輸入、輸出框;- 處理框（執(zhí)行框）程序框圖分類：順序結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)：循環(huán)結(jié)構(gòu)：材-| r =0?- 否求 n 除以 i 的余數(shù)樣本

21、平均數(shù)x1（x1x2nXn)1n.xi；ni 1樣本方差S21(x1x)2(x2x)2X x)2n-(x x)2；ni i樣本標(biāo)準(zhǔn)差SJ1（為x）2（x2x）2= J1n2(Xnx)=nii(xix)2流程線4第13頁+ n不是質(zhì)數(shù) n 是質(zhì)數(shù)i=i+1第14頁句：IF條件 THEN語句體END IFELSEEND IF循環(huán)語句：當(dāng)型：直到型：WHILE條件1DO循環(huán)體循環(huán)體WENDLOO：P UNTIL條件新課標(biāo)數(shù)學(xué)部分公式及結(jié)論3.函數(shù)的的單調(diào)性:(1)設(shè)xX2a, b ,為x2那么則f (x)為減函數(shù).4*.函數(shù)y f (x)的圖象的對(duì)稱性i=2n 或 r=注：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：1當(dāng)型( w

22、hile 型)先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體;n.直到型(until 型)一一先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷條件。2.基本算法語句:輸入語句 INPUT “提示內(nèi)容”；變量 ；輸出語句:PRINT “提示內(nèi)容”；表達(dá)式賦值語句:I 變量=表達(dá)式條件語IF I 條件 THEN語句體 1語句體 22.從集合Aa!,a2,a3, , an到集合Bbb2,b3,bm的映射有mn個(gè).(X X2)f(Gf(X2)0f(xj f(X2)XiX2f (x)在 a,b上是增函數(shù);(xX2)f(Gf(xj f(X2)X-Ix2f (x)在 a, b上是減函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)yf (x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f (x)0,則f

23、(x)為增函數(shù)；如果f (x)0,第15頁y f(x)的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱f(a x) f (a x) f (2a x) f (x)；a b2y f (x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱f (a x) f (bx)f(a bx) f(x)；3y f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱fx f 2a x f a x f a x 0,y f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱fx2b f 2a x faxfa x2b.6 奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱；反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函

24、數(shù).7多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxnan 1xn 1La0的奇偶性：多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.8.若將函數(shù)y f (x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y f (x a) b的圖象；9.幾個(gè)常見的函數(shù)方程：(1) 正比例函數(shù)f (x) cx,f(x y) f (x) f (y), f (1) c.(2) 指數(shù)函數(shù)f (x)ax,f(x y)f (x) f(y), f(1) a 0.(3) 對(duì)數(shù)函數(shù)f(x) logax,f(xy) f(x) f (y), f (a) 1(a 0,a 1)

25、.(4) 幕函數(shù)f (x) x,f(xy) f (x)f (y), f (1).(5)余弦函數(shù)f(x) cosx,正弦函數(shù)g(x) si nx,f (xy)f(x)f(y)g(x)g(y),f(0)=110*.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定 a0)(1)f (x) f (x a)，則f (x)的周期 T=a；1(2)f (x a)f (x)，或f (x a)(f (x)0),或f(x a)1(f(x) 0),f(x)f(x)則f (x)的周期 T=2a；11.等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式：ana1n 1 d,或anam(nm)ddanamn m前 n 項(xiàng)和公式:snn(a1an)na1n(n 1)dd2n

26、佝5)n.2 2 2 212.設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)的和，Sn是前 n 項(xiàng)的和，則1前 n 項(xiàng)的和SnS奇S偶；2當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，S偶S奇2d，其中 d 為公差；3當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，則S奇S偶a中，S奇-_a中，S偶-a中，-1,22S偶n 1第16頁n（其中a中是等差數(shù)列的中間一項(xiàng)）anan和bn的前2n 1項(xiàng)的和分別為S2n1和T2n1，則匚(1)若x (0,)，則sinx x tanx.2(2)若x (0,)，則1 sin x cosx、2.2(3)| sin x | cosx | 1.18.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：n(1)2sin ,n 為偶數(shù)n)口； cosq(1)2cos , n 為奇數(shù)19*.萬能公式:sin 22ta n1 ta n2tan21 tan2（正切倍角公式）1 tan2；cos 21 ta n220*.半角公式:tan2sin1 cos1 cossin21.三角函數(shù)變換:相位變換:y sinx的圖象向左0 或向右0平移1個(gè)單位ysin x的圖象；即：奇變偶不變，符號(hào)看象限”.如c