數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)茹少峰課后題及答案（精編版）

1、第四章習(xí)題答案 1.求下列函數(shù)的極值。（1）byaxyxyxy3322（2）xxy212（3）1613xy（4）1lnxxxy解：（ 1）根據(jù)二元函數(shù)極值的必要條件，可得032ayxfx，032byxfy解得，)2,2(),(abbayx為可能的極值點(diǎn)。根據(jù)充分條件，函數(shù)),(yxf的二階導(dǎo)師組成的hessian 矩陣為03h，因此)2,2(abba為),(yxf的嚴(yán)格極小值點(diǎn)， 極值為22353baba。（2）根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，可得因此該函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，極值不存在。（3）根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，可得求得極值點(diǎn)為1x。由充分條件知66 xy。當(dāng)1x時(shí)0 y，所以該

2、函數(shù)極值不存在。（4）根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，可得求的極值點(diǎn)為ex。由充分條件知4 3ln2xxxxy。當(dāng)ex時(shí)，013 ey，因此該函數(shù)存在極大值為e1。 2. 討論函數(shù)122yxxyyxf，的極值。解：根據(jù)二元函數(shù)極值的必要條件，可得)21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(yxyxyxyxyx為可能的極值點(diǎn)。根據(jù)充分條件，函數(shù)),(yxf的二階導(dǎo)師組成的hessian 矩陣為)0 ,0(),(yx時(shí)，01h，因此函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)極值；)21,21(),(yx時(shí)，0223212123h，海賽矩陣為正定矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)格極

3、小值為81；)21,21(),(yx時(shí)，0223212123h，海賽矩陣為正定矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)格極小值為81；)21,21(),(yx時(shí)，0223212123h，0) 1( ,0) 1(221aa，則海賽矩陣為負(fù)定矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)格極大值為81；)21,21(),(yx時(shí)，0223212123h，0) 1( ,0)1(221aa，則海賽矩陣為負(fù)定矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)格極大值為81 3. 試說(shuō)明對(duì)于任意的0，生產(chǎn)函數(shù)lakxf)(是凹函數(shù)。證明：lkafk1,11lkafkllkafkk2)1(,2)1(lkafll所以函數(shù)的 hessian 矩陣為因?yàn)?0 ,10，所以0)

4、,(lkh; 且0)1( ,0)1(221aa,hessian 是負(fù)定的，因此生產(chǎn)函數(shù)是嚴(yán)格凹函數(shù)。 4. 考慮生產(chǎn)函數(shù)kly。如果11010，試說(shuō)明該生產(chǎn)函數(shù)對(duì)于l和k的任意取值都是嚴(yán)格凹函數(shù)。如果1，該函數(shù)是什么形狀？證明：（ 1）同上，可求得函數(shù)的hessian 矩陣為 hessian是負(fù)定的，該函數(shù)對(duì)于k、l 任意取值都是嚴(yán)格凹函數(shù)。 5. 某完全競(jìng)爭(zhēng)廠商由單一可變投入l（勞動(dòng)），每期工資率為0w。若該廠商每期的固定成本為f，產(chǎn)品的價(jià)格為0p，要求：（1）寫出廠商的生產(chǎn)函數(shù)、收益函數(shù)、成本函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)；（2）何為利潤(rùn)最大化的一階條件？解釋此條件的經(jīng)濟(jì)意義；（3）什么樣的經(jīng)濟(jì)環(huán)境才能保

5、證利潤(rùn)最大化而不是最??？解: （1）生產(chǎn)函數(shù)為：)(lfq收益函數(shù)為：)(lfpqpr成本函數(shù)為：fwlc0利潤(rùn)函數(shù)為：)()(0flwlpfcr（2）利潤(rùn)最大化的一階條件為：0)(0wlldfpl，即pwlldf0)(。該條件的經(jīng)濟(jì)含義為： 在利潤(rùn)最大化時(shí)， 單個(gè)要素的邊際產(chǎn)量等于要素單位成本與產(chǎn)品價(jià)格的比值。（3）要滿足利潤(rùn)最大化而不是最小，則要滿足利潤(rùn)最大化的二階充分條件：因?yàn)?p，所以0)(22ldldf，也就是說(shuō)，在邊際產(chǎn)出遞減規(guī)律的經(jīng)濟(jì)條件下才能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化 . 6. 某廠商有如下的總成本函數(shù)c與總需求函數(shù)q：，qq-qc5011173123pq100.請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1） 確

6、定總收益函數(shù)r與總利潤(rùn)函數(shù)。（2） 確定利潤(rùn)最大化的產(chǎn)出水平及最大利潤(rùn)。解：（ 1）)100(qqpqr (2)利潤(rùn)最大化的一階必要條件為：解得，11, 1qq。利潤(rùn)最大化的二階充分條件為：1222qq，當(dāng)1q時(shí)，02q，函數(shù)取得極小值為-55.33 ；當(dāng)11q時(shí)，02q，函數(shù)取得極大值為111.33 ；所以，在產(chǎn)出水平為11 時(shí)，利潤(rùn)最大為111.33 。 7. 設(shè)有二次利潤(rùn)函數(shù)，kjqhq2q試確定系數(shù)所滿足的約束，使下列命題成立：（1）證明若什么也不生產(chǎn)，由于固定成本的關(guān)系，利潤(rùn)將為負(fù)；（2）證明利潤(rùn)函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)；（3）求在正的產(chǎn)出水平q下的最大化利潤(rùn)。解：（ 1）由題可知，當(dāng)0q時(shí)

7、，k。由于固定成本存在的關(guān)系，利潤(rùn)為負(fù)，因此系數(shù)必須滿足的條件為0k。（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)，其一階必要條件為02jhqq，求得hjq2；二階充分條件為hq22。函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)滿足的充要條件：0)( xf，即02q,因此，0h。(3) 在正的產(chǎn)出水平下，02hjq，因此0j。 8. 假設(shè)有一個(gè)壟斷市場(chǎng)環(huán)境下的兩產(chǎn)品廠商，產(chǎn)品的價(jià)格分別為1p和2p，產(chǎn)品的需求函數(shù)q及成本函數(shù)c為：211240-pp-q，21235-p-pq，102221qqc，求利潤(rùn)最大化的價(jià)格水平。解：利潤(rùn)函數(shù)2835185270837212122212211ppppppcqpqp利潤(rùn)最大化的一階必要條件為：027

8、0814211ppp,018568212ppp解得，, 5.21,721pp又020,06,01421222112211所以，在利潤(rùn)最大化是價(jià)格水平為,5.21,721pp 9. 假設(shè)有一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)條件下的兩產(chǎn)品廠商，產(chǎn)品的價(jià)格分別為1p和2p，單位時(shí)間內(nèi)i產(chǎn)品的產(chǎn)出水平為iq，廠商成本函數(shù)為22212122qqqqc，求：（1）利潤(rùn)最大化的產(chǎn)出水平；（2） 若總成本函數(shù)為222122qqc，兩產(chǎn)品的生產(chǎn)是否存在技術(shù)相關(guān)性，1q與2q的新最優(yōu)水平是多少？（3） 對(duì)參變量1p和2p進(jìn)行比較靜態(tài)分析。解: （1）)22(2221212211qqqqqpqp04211qqpq,041222qqpq可

9、得,34211ppq,3413212ppq（2）)22(22212211qqqpqp04111qpq，04211qpq，可得，1141pq,2241pq而0212qq, 即在最優(yōu)產(chǎn)量下，21,qq不存在技術(shù)相關(guān)性。（3）由（ 1）問(wèn)中的最優(yōu)產(chǎn)量,34211ppq,3413212ppq3411pq,3121pq,31312pq,3422pq即，產(chǎn)品 1 價(jià)格上升 1 單位，產(chǎn)量上升34，價(jià)格下降313；產(chǎn)品 1 價(jià)格上升 1 單位，產(chǎn)量下降31，價(jià)格下降34； 10.一個(gè)公司有嚴(yán)格凹的生產(chǎn)函數(shù)lkq,。給定p產(chǎn)品價(jià)格，r資本的利用率，工資。要求：（1） 對(duì)利潤(rùn)達(dá)到最大化的投入要素k與l進(jìn)行比較靜

10、態(tài)分析，并作簡(jiǎn)要的分析說(shuō)明；（2）假定生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬遞減的coob-douglas 函數(shù)， 做同樣的比較靜態(tài)分析。解：（ 1）wlrklkpq),(利潤(rùn)最大化時(shí)，最優(yōu)解為),(wrpkk，),(wrpllwlrklkpq),(為最優(yōu)值函數(shù)。r變化對(duì)最大利潤(rùn)的影響為：krlwrllqprkrrkkqpr利潤(rùn)最大化時(shí)有0rkqp,0wlqp則rkr，wlw即當(dāng)資本利用率或工資提高時(shí)，利潤(rùn)率隨之下降， 當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格上漲時(shí)， 最大利潤(rùn)率隨之上升。（2）wlrklpk利潤(rùn)最大化時(shí)，最優(yōu)解為),(wrpkk，),(wrpllwlrklkpq),(為最優(yōu)值函數(shù)。rkr，wlw,)()(lkp 11. 考慮

11、參數(shù)為a的極大化問(wèn)題函數(shù)043;22aaaxxaxf：（1）利用包絡(luò)定理求函數(shù)axf;的最大值關(guān)于參數(shù)a的導(dǎo)數(shù)；（2）分析參數(shù)a對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最大值的影響。解：（ 1）假設(shè)最優(yōu)解為)( axx，（2）一階條件為0),(xaaxf，即03)(2aax所以，參數(shù) a 與木匾函數(shù)的最大值同向變動(dòng)。 12. 考慮參數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題1323,max2343xexxaaxfa（a為參數(shù)）：（1）求目標(biāo)函數(shù)的極大值關(guān)于參數(shù)a的導(dǎo)數(shù)；（2）分析參數(shù)a對(duì)目標(biāo)函數(shù)的極大值的影響（假設(shè)這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解0ax）。解：（ 1）假設(shè)最優(yōu)解)(axx利用包絡(luò)定理（2）0)(ax，由（ 1）中結(jié)果，0),(daaxdf，所以參數(shù)a

12、對(duì)目標(biāo)函數(shù)極值的影響是同增同減的。 13. 給定依賴于投入?yún)?shù)y的短期總成本函數(shù)ydqbqayyqc2，這里0dba，求長(zhǎng)期總成本函數(shù)qcl。解：長(zhǎng)期總成本函數(shù)ydqbqayyqcqcs2),(min)(0,dba要使上式為極小值，必須滿足一階必要條件：04),(2ydqayyqc，即adqy4代入可得aqc)(adq4adqdqbq42 14. 航空公司在甲乙兩地之間有固定的航班。他比預(yù)定航班的商務(wù)乘客和預(yù)定周六晚上過(guò)夜航班的乘客的需求看作兩個(gè)單獨(dú)的市場(chǎng)。假設(shè)商務(wù)乘客的需求函數(shù)為pq16，旅游乘客的需求函數(shù)為pq10，對(duì)于所有乘客的成本函數(shù)為210qqc。該航空公司在兩個(gè)市場(chǎng)如何定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？解：總利潤(rùn)函數(shù)3767842pp由一階必要條件可得，439p二階充分條件可得，08 ，即該點(diǎn)為極大值。 15. 給定一個(gè)價(jià)格接受的廠商的生產(chǎn)函數(shù)lkq,。假設(shè)0klq，即資本的邊際產(chǎn)量隨著勞動(dòng)力的增加而增加。給定產(chǎn)品價(jià)格p，資本的租金率r和工資，則它的利潤(rùn)