第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析

1、第三章第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析自動控制系統(tǒng)的時域分析 (12學(xué)時)l 本章主要內(nèi)容及難點本章主要內(nèi)容及難點l 自動控制自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo)系統(tǒng)的時域指標(biāo) l 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) l 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) l 高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) l 自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) l 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 l 小結(jié)小結(jié)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 本章介紹了控制本章介紹了控制系統(tǒng)時域性能分析法系統(tǒng)時域性能分析法的相關(guān)概念和原理。的相關(guān)概念和原理。包括各種典型輸入信包括各種典型輸入信號的特征、控制系統(tǒng)號的特征、控制系統(tǒng)常用性能指標(biāo)、一階常用

2、性能指標(biāo)、一階、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據(jù)、系定性及穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點本章重點 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點掌握典型輸入信號重點掌握典型輸入信號的定義與特征、控制系的定義與特征、控制系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的定義及計算方法、一的定義及計算方法、一階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的分析方法、控制系統(tǒng)的分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用、控制系定判據(jù)的應(yīng)用、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤差系

3、數(shù)的求取等內(nèi)容。差系數(shù)的求取等內(nèi)容。3.1 自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo)自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo) 一、對控制性能的要求一、對控制性能的要求 （1）系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的； （2）系統(tǒng)達到穩(wěn)定時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求； （3）系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。 二、自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號 1階躍函數(shù)階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的定義是：000)(tAttxr，幅值為1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖3-1所示。圖3-1 單位階躍函數(shù))()()( 1)(tutxttxrr，或它表示為：單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：1( )1( )rXsLts2斜坡函數(shù)斜坡函數(shù) 這種函數(shù)的定義是：000)

4、(tAtttxr，2( )rAXsL Ats該函數(shù)的拉氏變換是：圖3-2 斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)如圖3-2所示。 3拋物線函數(shù)拋物線函數(shù) 這種函數(shù)的定義是： 該函數(shù)的拉氏變換是000)(2tAtttxr，322)(sAAtLsXr圖3-3 拋物線函數(shù)4脈沖函數(shù)脈沖函數(shù) 這種函數(shù)的定義是： 這種函數(shù)的拉氏變換是：)0(0 0)0(0 )(tttAtxr，AALsXrlim)(0 圖3-4 單位脈沖函數(shù)3.2一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一階系統(tǒng)的微分方程為: 式中，xc(t) 為輸出量，xr(t) 為輸入量，T 為時間常數(shù)。 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如

5、圖3-5所示。 )()()(txtxdttdxTrcc 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 圖3-5 一階控制系統(tǒng) 11111)()()(TssKsXsXsWrcB二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)因為單位階躍輸入的拉氏變換為：可得 ：取Xc(s)的拉氏反變換，可得單位階躍響應(yīng) ： ssXr1)(sTssXsWsXrBc111)()()(TssLsTsLtxc111111)(11)0( ,1)(1tetxtTc 顯然，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖3-6所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。 圖3-7 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3.

6、3 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式： 2222)()()(nnnrcBsssssW)2()(22nnKsssW 二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)構(gòu)圖如圖3-9所示。 圖3-9 二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)構(gòu)圖一、典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性一、典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性 系統(tǒng)的特征方程為 ：可解出特征方程式的特征根，這些根與阻尼比有關(guān)1過阻尼（過阻尼（ 1）的情況）的情況 系統(tǒng)的特征根為： 0222nnssnp)1(21np)1(220 111211)()(2)1(2)1(222110122teepsApsAsAsXLsxttccnn，2欠阻尼（欠阻尼（ ）的情況）的情況 特征方程的根

7、為：系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：10njp)1(21njp)1(220 ,sin1111sin111)()(2221ttetesXLtxdtntccnn式中 ， 稱阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率；nd2121arctan 圖3-10 以參變量的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)3臨界阻尼（臨界阻尼（ =1）的情況）的情況系統(tǒng)的特征方程式的根為： np2, 122)()(nncsssX0 ),1 (1)(ttetxntcn圖3-11 時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)4無阻尼（無阻尼（ =0）的情況）的情況 特征方程式的根為：二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為 ： 圖3-12 時二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng) nnjpjp21 ,ttXnccos1)(二、二

8、階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)二、二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)1上升時間上升時間tr ： 在暫態(tài)過程中第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間tr。 其計算公式為： 由上式可以看出 和n對上升時間的影響。當(dāng)n一定時，阻尼比越大，則上升時間tr越長；當(dāng) 一定時，n越大，則tr越短。21ndrt2最大超調(diào)量最大超調(diào)量 % 最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中t = tm 時刻。 根據(jù)超調(diào)量的定義得最大超調(diào)量的計算公式為： 從上式知，二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值 有密切 的關(guān)系，阻尼比 越小，超調(diào)量越大。 %100%21e3調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts 調(diào)節(jié)時間ts是 與穩(wěn)態(tài)值 之間的偏差達到允許范圍（一般取5%2%）而不再超出的暫態(tài)過程時間

9、。調(diào)節(jié)時間為：)(txc)(cx9 . 00 ,31ln2131%52nnst9 . 00 ,41ln2141%22nnst 調(diào)節(jié)時間ts近似與 成反比關(guān)系。在設(shè)計系統(tǒng)時， 通常由要求的最大調(diào)節(jié)量所決定，所以調(diào)節(jié)時間ts由自然振蕩角頻率 所決定。也就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變 的值可以改變調(diào)節(jié)時間。4振蕩次數(shù)振蕩次數(shù) 振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi)， 波動的次數(shù)。根 據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為式中 為阻尼振蕩的周期時間。nnn txcfstt2122ndft三、二階工程最佳參數(shù)三、二階工程最佳參數(shù)目前，在某些控制系統(tǒng)中常常采用所謂二階工程最佳參數(shù)作為設(shè)計控制系統(tǒng)的依據(jù)。這種系統(tǒng)選擇的參

10、數(shù)使這時 。將這一參數(shù)代入二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式，得開環(huán)傳遞函數(shù)為 ：得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ：707. 021nnT2121 121TsTssWk 122122TssTsWB這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)暫態(tài)特性指標(biāo)為：最大超調(diào)量 上升時間 調(diào)節(jié)時間 ts（2%）=8.43T（用近似公式求得為8T） ts（5%）=4.14T（用近似公式求得為6T）%3 . 4%100%21eTtnr7 . 412例例3-1 有一位置隨動系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3-13 所示，其中Kk = 4。求該系統(tǒng)的 （1）自然振蕩角頻率； （2）系統(tǒng)的阻尼比； （3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間； （4）如果要求 ，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng) 參數(shù)Kk 值。707. 0

11、解：解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 由此得自然振蕩角頻率 阻尼比 由 得 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間 4 ,/2kkkBKKssKsW2222)(nnnBsssW2knK12n25. 021n%47%100%21estns 63%)5( 當(dāng)要求 時, 所以必須降低開環(huán)放大系數(shù)值，才能滿足二階工程最 佳參數(shù)的要求。但應(yīng)注意到，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系 統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。 707. 021n5 . 02nkK 圖3-13 例3-1隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 圖3-14 例3-2隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 例例3-2 為了改善圖3-13所示系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量 的要求，今加入微分負(fù)反饋 ，如圖3-14

12、所示。求微分時間常數(shù)。解：解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 %5% s) 1411(1414)41(4)(sssssWk4)41 (4)(2sssWB為了使 ，令 由可求得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為 %5% 707. 04 ,4122nn457. 0412707. 02412n414. 1414kK比例-微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但增大了系 統(tǒng)的阻尼比。適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分時間常數(shù)，既可減小系統(tǒng) 斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)具有滿意的階 躍 響應(yīng)性能。四、零極點對二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響四、零極點對二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響具有零點的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為)2()()()(22

13、2nnnrcsszzssXsX結(jié)論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼，減小階躍響應(yīng) 的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用， 在輸入端噪聲較強時，不用比例-微分控制。3.4 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為如下普通形式將分子和分母分解成因式，上式可寫成式中 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點； 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點 nnnnmmmmBrcasasasabsbsbsbsWsXsX11101110)()()()()()()()()()(2121nmBrcpspspszszszsKsWsXsXmzzz,21np

14、pp,21單位階躍響應(yīng)為 從分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達式還可以得出如下結(jié)論。（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點的實部在s平面左側(cè)離虛軸越遠(yuǎn)，則相應(yīng)的分量衰減越快。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點的實部越小，即在s平面左側(cè)離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減越慢。 rknkktnkkknkkkqjrknkktktpjcteBCteBeAAtxnkknkkj12211201sin11cos)(（2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點在s平面 中的位置有關(guān)，并且與零點的位置有關(guān)。（3）如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點，其實部小于 其它極點的實部的1/5，并且附近不存在零點，可以 認(rèn)為系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)主要由這一極點決定。這些對

15、 暫態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點，叫作主導(dǎo)極點， 是所有閉環(huán)極點中最重要的極點。 在設(shè)計一個高階控制系統(tǒng)時，我們常常利用主導(dǎo)極 點這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對共軛復(fù) 數(shù)主導(dǎo)極點，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng) 的指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)。 3.5 自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件一、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點）全部負(fù)實數(shù)或具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根分布在s復(fù)平面虛軸的左側(cè)。 本節(jié)敘述的代數(shù)判據(jù)（勞斯判椐和胡爾維茨判椐）就是不用直接

16、求解代數(shù)方程，就可判斷一個代數(shù)多項式有幾個零點位于復(fù)平面的右半面的方法。 二、勞斯判據(jù)二、勞斯判據(jù)首先將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，將系統(tǒng)特征方程式中的s各次項系數(shù)排列成如下的勞斯表（Routh Array）。 01110nnnnasasasa10112124321343212753116420gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn勞斯表共n+1行；最下面的兩行各有1列，其上兩行各有2列，再上面兩行各有3列，依次類推。最高一行應(yīng)有(n+1)/2列（若n為奇數(shù)）或(n+2)/2列（若n為偶數(shù)）。表中的有關(guān)系數(shù)為3120111aaaaab514012

17、1aaaaab7160131aaaaab2131111bbaabc3151121bbaabc4171131bbaabc這一計算過程，一直進行到行，計算到每行其余的系數(shù)全部等于零為止。為簡化數(shù)值運算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項，這時并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。 Routh判據(jù)判據(jù)：特征方程的全部根都在方程的全部根都在s左半平面的充分左半平面的充分 必要條件是勞斯表的第必要條件是勞斯表的第1列系數(shù)全部是正數(shù)列系數(shù)全部是正數(shù)。 勞斯判據(jù)還可以指出方程的右半平面根的個數(shù)。它等 于勞斯表中第1列各元改變符號的次數(shù)。例例3-4 系統(tǒng)的特征方程為計算勞斯表中各元的值，并排列成下表由于表中的第1列出現(xiàn)了負(fù)

18、數(shù)，根并非都在左半平面。因此，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 07146435223456ssssss711515897181151171875257144576320123456sssssss在應(yīng)用勞斯判據(jù)時，可能遇到如下的特殊情況： 1勞斯表中第勞斯表中第1列出現(xiàn)零列出現(xiàn)零 如果勞斯表第1列中出現(xiàn)0，那么可以用一個小的正數(shù)代替它，而繼續(xù)計算其余各元。例如，方程0122234ssss122102211101234sssss現(xiàn)在觀察勞斯表第1列的各元。當(dāng)趨近于零時，的值是一個很大的負(fù)值，因此可以認(rèn)為第1列中的各元的符號改變了兩次。由此得出結(jié)論，該系統(tǒng)特征方程式有兩個根具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果上面一

19、行的首列和下面一行的首列符號相同，這表明有一對純虛根存在。例如對下列方程式的勞斯表為02223sss222110123ssss可以看出，第1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號不變，故有一對虛根。將特征方程式分解，有解得根為0212ss2,132, 1pjp2勞斯表的某一行中，所有元都等于零 如果在勞斯表的某一行中，所有元都等于0，則表明方程有一些大小相等且對稱于原點的根。在這種情況下，可利用全0行的上一行各元構(gòu)造一個輔助多項式（稱為輔助方程），式中均為偶次。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表中的這個全0行，然后繼續(xù)計算下去。這些大小相等而關(guān)于原點對稱的根也可以通過求解這個輔助方程得出。例例3-5

20、系統(tǒng)特征方程式為勞斯表中得 各元為由上表可以看出，行的各項全部為零。為了求 出各項，將 行的各元構(gòu)成輔助方程式它的導(dǎo)函數(shù)為0161620128223456ssssss36 ss0008610161221620813456ssss03 ss4s ssdssdp1243用導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)4和12代替 行相應(yīng)的元繼續(xù)算下去，得勞斯表為可以看出，在新得到的勞斯表的第1列沒有變號，因此可以確定在右半平面沒有特征根。另外，由于 行的各元均為零，這表示有共軛虛根。這些根可由輔助方程式求出。本例的輔助方程式是834831248610161221620810123456sssssss3s3s86)(24sssp由之

21、求得特征方程式的大小相等符號相反的虛根為 應(yīng)用Routh判據(jù)分別研究一階、二階和三階微分方程 21,2,26 , 54 , 32 , 1jpjpjp000322130212010asasasaasasaasa 容易得到以下的簡單結(jié)論：（1）一階和二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 特征方程所有系數(shù)均為正。（2）三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方 程所有系數(shù)均為正， 且。 3021aaaa三、胡爾維茨判據(jù)三、胡爾維茨判據(jù)設(shè)所研究的代數(shù)方程仍為構(gòu)造胡爾維茨行列式D： 01110nnnnasasasannnaaaaaaaaaaaaaD212031420531000000000000胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：胡

22、爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程式的全部根特征方程式的全部根都在左半復(fù)平面的充分必要條件是上述行都在左半復(fù)平面的充分必要條件是上述行列式的各階主子式均大于列式的各階主子式均大于0，即，即. 0 , 0, 0 , 0 , 03142053132031211DDaaaaaaaaDaaaaDaDn四、參數(shù)對穩(wěn)定性的影響四、參數(shù)對穩(wěn)定性的影響 應(yīng)用代數(shù)穩(wěn)定判椐可以用來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以方便地用于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。例如系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判椐，穩(wěn)定的充要條件得 kkBKsTsTsTKsW1113210132123231213321k

23、KsTTTsTTTTTTsTTT20312312133221TTTTTTTTTTTTKk3.6 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差在穩(wěn)態(tài)條件下輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間存在的誤差，稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)。影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多，如系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的參數(shù)以及輸入量的形式等。必須指出的是，這里所說的穩(wěn)態(tài)誤差并不考慮由于元件的不靈敏區(qū)、零點漂移、老化等原因所造成的永久性的誤差。 本節(jié)將討論計算和減少穩(wěn)態(tài)誤差的方法。一、擾動穩(wěn)態(tài)誤差一、擾動穩(wěn)態(tài)誤差如圖所示為有給定作用和擾動作用的系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 擾動誤差的傳遞函數(shù)為根據(jù)拉氏變換的終值定理，求得擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為由上

24、式知，系統(tǒng)擾動誤差決定于系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)和擾動量。對于恒值系統(tǒng)，典型的擾動量為單位階躍函數(shù)， ，則擾動穩(wěn)態(tài)誤差為)()()(1)()()()(212sWsWsWsWsNsXsWfce)()()(1)()(lim)()(lim)(lim)(21200sWsWsWsNssWsNssWtxfsesctssN1)()()()(1)(lim)(lim)(2120sWsWsWsWtxfsct二、給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù)二、給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù) 圖（a）所示為控制系統(tǒng)的典型動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。圖中 為主反饋檢測元件的傳遞函數(shù)，不包括為改善被控制對象性能的局部反饋環(huán)節(jié)在內(nèi)。系統(tǒng)的期望值是給定信號誤差定義為這個誤差是

25、可以量測的，但是這個誤差并不一定反映輸出量的實際值與期望值之間的偏差。 另一種定義誤差的方法是取系統(tǒng)輸出量的實際值與期望值的差，但這一誤差在實際系統(tǒng)中有時無法量測。 )(sWf)(sXr)()()()()()(sXsWsXsXsXsEcfrfr誤差傳遞函數(shù)為由此得誤差的拉氏變換為給定穩(wěn)態(tài)誤差為)(11)()(11)()(1)()()(sWsWsWsXsXsXSEsWKfgrfre)(1)()(sWsXsEKr)(1)(lim)(lim)(0sWssXteKrst根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)，可將系統(tǒng)分為幾種不同類型。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為 NnjjNmiikKsTssTK

26、sW11) 1() 1()(1典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差分析 （1）單位階躍函數(shù)輸入 令 ， 稱為位置誤差系數(shù)，則)(11lim)(lim)(00sWssEKss)(lim0sWkKsppkpk11)(（2）單位斜坡函數(shù)輸入 令 ， 稱為速度誤差系數(shù)。 則 )(1lim)(1 1lim)(00ssWsWsKsKs)(lim0ssWkKsvvkvk1)(（3）拋物線函數(shù)輸入 令 ， 稱為加速度誤差系數(shù)。 則 )(1lim1)(1lim)(2030sWsssWsKsKs)(lim20sWskKsaakaK1)(2動態(tài)誤差系數(shù) 上面所介紹的計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，只能根據(jù)終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差值，而

27、不能了解進入穩(wěn)態(tài)后誤差的變化規(guī)律。下面介紹另一計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，根據(jù)這一方法不但可以求出穩(wěn)態(tài)值，而且不必通過解微分方程，可以簡便地了解到進入穩(wěn)態(tài)后，誤差隨時間變化的規(guī)律。 單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為miikNnjjNNnjjNKrsTKsTssTssWsXsE111) 1() 1() 1()(11)()(如果將分子和分母中的冪次相同的各項合并，則可寫成用分母多項式除分子多項式，可把上式寫為如下的s的升冪級數(shù)由此可得誤差的拉氏變換為nnnnrsssssssXsE22102210)()(2210111)()(skskksXsEr)(1)(1)(1)(2210sXskssXksXksErrr可以求得穩(wěn)態(tài)誤差值。 將k0，k1，k2分別定義為： k0動態(tài)位置誤差系數(shù)； k1動態(tài)速度誤差系數(shù)； k2動態(tài)加速度誤差系數(shù)。)()(lim)(lim)(2312000sXksksksssErss設(shè)初始條件為零，并忽略時系統(tǒng)的脈沖值，則進入穩(wěn)態(tài)時的系統(tǒng)誤差為 如果已知各動態(tài)系數(shù)和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)，即可求出 時誤差的變化規(guī)律。 )(1)(1)(1)(1lim)(lim 3 210tXktXktXktXkterrrrttt三、減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法三、減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法 為了進一步減小給定和擾動誤差，可以采用補償?shù)姆椒?。所謂補償是指作用于控制對象的控制信號