高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.2空間向量基本定理學(xué)案(含

1、1.1.2 空間向量基本定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解空間向量基本定理( 重點(diǎn) ) 2 運(yùn)用空間向量基本定理解決一些幾何問題 ( 難點(diǎn) ) 3理解基底、 基向量及向量的線性組合的概念 ( 重點(diǎn) ) 1通過基底、基向量及向量的線性組合空間向量基本定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2 借助任一空間向量可用一組基向量線性表示，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)圖中的向量ab，ad，aa是不共面的三個(gè)向量，請(qǐng)問向量ac與它們是什么關(guān)系？由此可以得出什么結(jié)論？1共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線， 則向量a，b，c共面的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y) ，使cxayb思考 1：平面向量基本定理中對(duì)于向量a與b有什

2、么條件，在空間中能成立嗎？ 提示 平面向量基本定理中要求向量a與b不共線，在空間中仍然成立2空間向量基本定理如果空間中的三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z) ，使得pxaybzc特別地，當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，可知xaybzc0 時(shí)，xyz03相關(guān)概念(1) 線性組合：表達(dá)式xaybzc一般稱為向量a，b，c的線性組合或線性表達(dá)式(2) 基底：空間中不共面的三個(gè)向量a，b，c組成的集合 a，b，c，常稱為空間向量的一組基底(3) 基向量：基底 a，b，c中a，b，c都稱為基向量(4) 分解式：如果pxaybzc，則稱xaybzc為p在基底

3、a，b，c下的分解式思考2：平面向量的基底要求二個(gè)基向量不共線，那么構(gòu)成空間向量基底的三個(gè)向量有什么條件？ 提示 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底，基底選定后，空間任意向量均可由基底唯一表示思考 3：基向量和基底一樣嗎？0 能否作為基向量？ 提示 基底是指一個(gè)向量組，基向量是基底中的某一個(gè)向量，因?yàn)? 與其他任意兩個(gè)非零向量共面，所以0 不能作為基向量4拓展：設(shè)o，a，b，c是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)p，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z ，使opxoayobzoc，當(dāng)且僅當(dāng)xyz1 時(shí)，p，a，b，c四點(diǎn)共面1思考辨析 ( 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1) 若a，b，

4、c為空間一個(gè)基底，則a，b,2c也可構(gòu)成空間一個(gè)基底( ) (2) 若三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面( ) (3) 若a，b是兩個(gè)不共線的向量，且cab(，r 且0)，則 a，b，c 構(gòu)成空間的一個(gè)基底( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1) a，b，c 為空間一個(gè)基底，則a，b，c不共面，a、b、2c也不共面，故a，b,2c也構(gòu)成空間一個(gè)基底(2) 由共面定理知(2) 正確(3) 由cab知a，b，c共面，不能構(gòu)成基底2( 教材 p16練習(xí) a改編 ) 對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b,2a3b，它們一定是( ) a共面向量b共線向量c不共面向量d既不共

5、線也不共面的向量a 根據(jù)共面向量定理知a，b,2a3b一定共面 3在長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中，可以作為空間向量一個(gè)基底的是( ) aab，ac，adbab，aa1，ab1cd1a1，d1c1，d1ddac1，a1c，cc1c 由題意知d1a1，d1c1，d1d不共面，可以作為空間向量的一個(gè)基底 向量共線問題【例 1】如圖所示，在正方體abcd-a1b1c1d1中，e在a1d1上，且a1e2ed1，f在對(duì)角線a1c上，且a1f23fc求證：e，f，b三點(diǎn)共線 證明 設(shè)aba，adb，aa1ca1e2ed1，a1f23fc，a1e23a1d1，a1f25a1c，a1e23ad23b，a1

6、f25(acaa1) 25(abadaa1) 25a25b25cefa1fa1e25a415b25c25a23bc又ebea1a1aab23bcaa23bc，ef25ebe，f，b三點(diǎn)共線判斷向量共線就是利用已知條件找到實(shí)數(shù)x，使axb成立，同時(shí)要充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合圖形，化簡(jiǎn)得出axb，從而得出ab，即向量a與b共線，共線向量定理還可用于證明兩直線平行或證明三點(diǎn)共線. 跟進(jìn)訓(xùn)練 1如圖所示，四邊形abcd和abef都是平行四邊形，且不共面，m，n分別是ac，bf的中點(diǎn)，判斷ce與mn是否共線？ 解ce與mn共線，證明：m，n分別是ac、bf的中點(diǎn)，而四邊形abcd，abef都是平

7、行四邊形mnmaaffn12caaf12fb，又mnmcceebbn12caceaf12fb，12caaf12fb12caceaf12fb，ceca2affb2(maaffn) 2mn，cemn，即ce與mn共線共面定理及應(yīng)用【例 2】已知a，b，c三點(diǎn)不共線，平面abc外的一點(diǎn)m滿足om13oa13ob13oc(1) 判斷ma，mb，mc三個(gè)向量是否共面；(2) 判斷點(diǎn)m是否在平面abc內(nèi) 解(1) 易知oaoboc3om，oaom(omob) (omoc) ，mabmcmmbmc，向量ma，mb，mc共面(2) 由(1) 知向量ma，mb，mc共面，三個(gè)向量的基線又有公共點(diǎn)m，m，a，b，

8、c共面，即點(diǎn)m在平面abc內(nèi)判斷三個(gè) ( 或三個(gè)以上 ) 向量共面的方法(1) 應(yīng)用空間向量共面定理，即其中一個(gè)向量能用另兩個(gè)向量線性表示，通常應(yīng)結(jié)合圖形，選擇其中某兩個(gè)向量作為基向量，其他向量都用這兩個(gè)基向量線性表示(2) 選擇目標(biāo)向量以外的一組基底，通過待定系數(shù)法， 建立這三個(gè)向量的一個(gè)線性關(guān)系式 跟進(jìn)訓(xùn)練 2如圖所示，p是平行四邊形abcd所在平面外一點(diǎn)，連接pa，pb，pc，pd，點(diǎn)e，f，g，h分別是pab，pbc，pcd，pda的重心，分別延長(zhǎng)pe，pf，pg，ph，交對(duì)邊于m，n，q，r，并順次連接mn，nq，qr，rm應(yīng)用向量共面定理證明：e，f，g，h四點(diǎn)共面 證明 e，f，

9、g，h分別是所在三角形的重心，m，n，q，r為所在邊的中點(diǎn)，順次連接m，n，q，r，所得四邊形為平行四邊形，且有pe23pm，pf23pn，pg23pq，ph23pr四邊形mnqr為平行四邊形，egpgpe23pq23pm23mq23(mnmr) 23(pnpm) 23(prpm) 2332pf32pe2332ph32peefeh，由共面向量定理得eg，ef，eh共面，所以e，f，g，h四點(diǎn)共面基底的判斷及應(yīng)用 探究問題 1構(gòu)成空間向量的基底唯一嗎？是否共面？ 提示 不唯一，不共面2空間向量的基底選定后，空間任一向量怎樣用基底表示？ 提示 基底選定后，可以結(jié)合圖形，利用三角形法則和平行四邊形法

10、則，尋求向量和基向量的關(guān)系，利用向量的線性運(yùn)算將向量用基底表示出來(lái)3用基底表示向量應(yīng)注意哪些問題？ 提示 (1) 明確目標(biāo)，向量表示過程中可能出現(xiàn)新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示； (2) 結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，利用向量的線性運(yùn)算；(3) 只要基底選定，空間任一向量用基底表達(dá)的形式是唯一的【例3】(1) 若a，b，c是空間的一個(gè)基底，試判斷ab，bc，ca能否作為該空間的一個(gè)基底(2) 如圖，在三棱柱abc-abc中，已知aaa，abb，acc， 點(diǎn)m，n分別是bc，bc的中點(diǎn)，試用基底a，b，c 表示向量am，an 思路探究 (1) 判斷ab，bc，ca是否共面，若不共面，則可作為一個(gè)基底

11、，否則，不能作為一個(gè)基底(2) 借助圖形尋找待求向量與a，b，c的關(guān)系，利用向量運(yùn)算進(jìn)行分析，直至向量用a，b，c表示出來(lái) 解(1) 假設(shè)ab，bc，ca共面則存在實(shí)數(shù)、使得ab(bc) (ca) ，abba()ca，b，c為基底，a，b，c不共面1，1，0.此方程組無(wú)解，ab，bc，ca不共面ab，bc，ca 可以作為空間的一個(gè)基底(2)amabbmab12bcab12(bbbc) ab12bb12(acab) b12a12(cb) b12a12c12b12a12b12canaaabbnaaab12bcab12(acab) ab12(cb) a12b12c1( 變條件 ) 若把本例3(2)

12、中的aaa改為aca，其他條件不變， 則結(jié)果又是什么？ 解amabbmab12bcab12(acab) b12(ab) 12a12banaccnac12cbac12bcac12(acab) a12(cb) a12b12c2( 變換條件、改變問法) 如圖所示，本例3(2) 中增加條件“p在線段aa上，且ap2pa”，試用基底a，b，c 表示向量mp 解mpmccaap12bcac13aa12(bbbc) ac13aa12aa(acab) ac13aa12(acb) c13a16a12b12c用基底表示向量的步驟(1) 定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底(2) 找目標(biāo)：

13、用確定的基底 ( 或已知基底 ) 表示目標(biāo)向量， 需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果(3) 下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底a，b，c可以表示出空間所有向量表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量提醒： 基底中不能有零向量，因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個(gè)非零向量都為共線向量1空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；基底選定后，任一向量可由基底唯一表示，空間中的基底是不唯一的2在用基底表示向量時(shí)，要結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，充分利用向量的線性運(yùn)算，逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示1o，a，b，c為空間四點(diǎn)，且向量o

14、a，ob，oc不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則( ) aoa，ob，oc共線boa，ob共線cob，oc共線do，a，b，c四點(diǎn)共面d 由oa，ob，oc不能構(gòu)成基底知oa，ob，oc三向量共面，所以o，a，b，c四點(diǎn)共面 2給出下列命題：若 a，b，c 可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d0，則 a，b，d也可作為空間的基底；已知向量ab，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；a，b，m，n是空間四點(diǎn)，若ba，bm，bn不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么a，b，m，n共面；已知向量組a，b，c 是空間的一個(gè)基底，若mac，則 a，b，m 也是空間的一個(gè)基底其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ( ) a1 b2

15、 c3 d4 d 根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，顯然正確中由ba、bm、bn共面且過相同點(diǎn)b，故a，b，m，n共面下面證明正確 假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)，使dab，d與c共線，c0，存在實(shí)數(shù)k，使dkc，d0，k0，從而ckakb，c與a，b共面與條件矛盾d與a，b不共面同理可證也是正確的 3從空間一點(diǎn)p引出三條射線pa，pb，pc，在pa，pb，pc上分別取pqa，prb，psc，點(diǎn)g在pq上，且pg2gq，h為rs的中點(diǎn)，則gh_( 用a，b，c表示 ) 23a12b12cghphpg12(bc) 23a 4設(shè)oabc是四面體，g1是abc的重心，g是og1上的一點(diǎn)，且og3gg1，若ogxoayobzoc，則 2x4y 2z_2 如圖，由已知og34og134(oa