幾何知識(shí)在高中物理中的運(yùn)用——圓的妙用

1、幾何知識(shí)在高中物理中的運(yùn)用圓的妙用方程與函數(shù)知識(shí)在高中物理中有非常廣泛的應(yīng)用，與之相比，幾何知識(shí)的應(yīng)用范圍就狹窄得多，但有些物 理問題能夠巧妙運(yùn)用幾何知識(shí)便捷地解決。在高中物理課程中與幾何知識(shí)結(jié)合最緊密的應(yīng)該是圖像問題， 關(guān)于物理圖像與數(shù)學(xué)圖像的聯(lián)系與區(qū)別，以后我們會(huì)專門討論，接下來以“圓”為角度總結(jié)下高中物理相 關(guān)知識(shí)。高中物理知識(shí)中需用到的“圓”按其作用與功能可分為“矢量圓”“等時(shí)圓” “等勢(shì)圓”“等圓系”“諧振圓” 等。本文試通過幾例來闡述輔助圓在解題中的妙用。一、矢量圓 矢量即有大小，又有方向，且運(yùn)算時(shí)滿足平行四邊行法則。在矢量的合成與分解中若能借助“矢量圓” 就能有效地化繁為簡，并能

2、加深對(duì)矢量概念的理解。在力度分解與運(yùn)動(dòng)的合成與分解處常會(huì)用到。例1 一條寬為l的河流，水流速度為u，船在靜水中劃行的速度為v,且v<u.要使船到達(dá)對(duì)岸的位移最短,船的航向如何？解析：水流速度、船在靜水中的速度與船的合速度b構(gòu)成 一矢量三角形，且船在靜水中的速度"大小不變，方向不定， 構(gòu)建如圖1所示的矢量圓。顯然，當(dāng)ad與矢量圓相切時(shí)， 船航行的位移最短。由圖可得船的航向與河岸的夾角0 - arccos.二、等時(shí)圓等時(shí)圓模型如圖所示，豎直放置的圓環(huán)，若物體從最高點(diǎn)沿各光 滑弦下滑至軌道與圓弧的交點(diǎn)，或圓弧上任意一點(diǎn)沿 各光滑弦下滑至最低點(diǎn)，其下滑的時(shí)間相等這樣的圓 環(huán)稱之為“等時(shí)

3、圓”。在解決有關(guān)動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建等時(shí)圓不但能化解難點(diǎn)，而且能激發(fā)學(xué)生的解題思維。圖a圖以例2兩光滑斜面的高度都為h, oc、od兩斜面的總長度都為/,只是od斜面由兩部分組成，如圖3所 示，將甲、乙兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端同時(shí)由靜止釋放，不計(jì)拐角處的能量損失，問哪一個(gè)球先到達(dá) 斜面低端？解析：（解法1）本題往往采用v-f圖像求解，作出物體分別沿oc、od斜面運(yùn)動(dòng)的”-f圖像（如圖所示4）, 由圖像可得乙球先到達(dá)斜面低端。（解法2）構(gòu)建如圖5所示的等時(shí)圓，交oc于a點(diǎn)，交od于b點(diǎn)。由“等時(shí)圓”可知，t0a = tob.由機(jī)械能守恒定律可知： >除，比=勺，所以o由因?yàn)閮尚泵娴目?/p>

4、長度相等，所以sbd < sac , 根據(jù)公式v =-得，tbd < tac ,所以有f >t ,即乙球先到達(dá)斜面低端。例3如圖6,在斜坡上有一根旗桿長為l,現(xiàn)有一個(gè)小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲ab滑至斜坡底部, 又知ob二l.求小環(huán)從a滑到b的時(shí)間。解析：可以以o為圓心，以l為半徑畫一個(gè)圓。根據(jù)“等時(shí)圓” 的規(guī)律可知，從a滑到b的時(shí)間等于a點(diǎn)沿直徑到底端d的時(shí)間, 所以有:圖6例4如圖7所示,在傾角為q的傳送帶的正上方，有一發(fā)貨口 a。為了使貨物從靜止開始，由a點(diǎn)沿光滑斜槽以最短的時(shí)間到達(dá)傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角0應(yīng)為多少?解析：如圖8所示，首先以發(fā)貨口 a點(diǎn)為最高點(diǎn)

5、作一個(gè)圓o與傳送帶相切，切點(diǎn)為b,然后過圓心o畫 一條豎直線ab，,而連接a、b的直線，就是既過發(fā)貨口 a,又過切點(diǎn)b的惟一的弦。根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律，貨物沿ab弦到達(dá)傳送帶的時(shí)間最短。因此，斜槽沿ab方向安裝。ab所對(duì)的 圓周角0為圓心角的一半，而圓心角又等于q,所以0 =例5如圖9所示，直角三角形的斜邊傾角為30° ,底邊bc長為2l,處在水平位置，斜邊ac是光滑絕 緣的，在底邊中點(diǎn)o處放置一正電荷q, 個(gè)質(zhì)量為in,電量為q的帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)從斜面頂端a沿斜邊 滑下，滑到斜邊上的垂足d時(shí)速度為v。貝ij：該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到非常挨近斜邊低端c點(diǎn)時(shí)速度比為多少？沿 斜面向下的加速度為多少？解

6、析：點(diǎn)電荷沿斜面ac下滑時(shí)，電場(chǎng)力在不斷變化， 無法利用動(dòng)能定理及能量守恒關(guān)系直接列式求解， 從而使解題陷入困境。由幾何關(guān)系可引入圖10所示的 等勢(shì)圓，由于d、c二點(diǎn)位于同一等勢(shì)圓上，電荷從 d運(yùn)動(dòng)到c電場(chǎng)力做功為零，只有重力做功，所以電荷在d點(diǎn)的機(jī)械能與c點(diǎn)的機(jī)械能相等，即：= mvl +加g cd sin 30" => vc =+品gl2 2對(duì)電荷在c點(diǎn)受力（如圖8所示），由牛頓第二定律得：加g sin 3（r-k譽(yù)cos 30"=加解得:心十-¥器三、等圓系帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若帶電粒子的速度大小、方向不定，則粒子在磁場(chǎng)中作一系列圓心、半徑在時(shí)刻 變

7、化的“等圓系”，構(gòu)建等圓系能化俗為奇。例6半徑為r=10cm的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域邊界與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度b=0.332t,方向垂 直紙面向里。在原點(diǎn)o處有一放射源s,可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為v = 3.2xl06m/5的q粒子，已知q粒子的質(zhì)量為加= 6.64x10-27心，電fi = 3.2xw19c,試確定q粒子通過磁場(chǎng)的最大偏向角。解析：q粒子在磁場(chǎng)中作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可得：mv 6.64 xl0_27x 3.2 xlo6 “r = =m = memqb 3.2x io'19 x 0.332從而可構(gòu)建一系列半徑為20cm并交于o點(diǎn)的等圓系（如圖11所示）

8、, 有等圓系不難得到要使。粒子的偏向角最大，必然q粒子在磁場(chǎng)區(qū)域 內(nèi)的弦最長。所以q粒子的最大偏向角ra = 2 arcsin = 60"例7核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高度運(yùn)動(dòng)的粒子約束在小范圍內(nèi)（否則不可 能發(fā)生核反應(yīng)），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖12所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域， 中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿岀磁場(chǎng)外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)圖12半徑為ri=0.5m,外半徑r2=1.0m,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度b=1.0t,若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為 4x0c/kg,m中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算（

9、1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。解析:（1）粒子沿環(huán)狀半徑方向射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)區(qū)域中作圓周運(yùn)動(dòng)，由于粒子的速度大小不定，構(gòu)建如圖13所示的半徑不同的圓系，要使粒子不能穿越磁場(chǎng)，圓系中不難得到粒子的臨界組圓心必須與外圓相切。由圖中知卅+ &2 =（鳥一斤）2，解得斤=0 375m由 bqv,得嶺=如=1.5乂1（）7加/$斤m所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為嶺=1.5xlos/s（2）所有粒子在磁場(chǎng)中作半徑不定，圓心也不定的系列圓，在所有圓中粒子以的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場(chǎng)且動(dòng)態(tài)圓與外圓相切時(shí)，

10、則以嶺速度沿各方向射入磁場(chǎng)區(qū)的粒子都不能穿出磁場(chǎng)邊界（如圖 13所示）。由圖中知匚二忌一尺二o.25加，算出對(duì)應(yīng)的速度隊(duì)二如 = 1.0xl0s/£,這一速度即為所有2m粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。四、諧振圓當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，這個(gè)圓通常稱為“諧振圓”。 換個(gè)說法，勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)相互正交的簡諧運(yùn)動(dòng)。利用諧振圓，可以把振動(dòng)這部分知識(shí)融為 一體，而且它利用學(xué)生相對(duì)熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)為起點(diǎn)，降低了學(xué)生的認(rèn)知難度。利用諧振圓，能使問題直觀 明了，在求解振動(dòng)的時(shí)間問題時(shí)尤顯優(yōu)勢(shì)。例8如圖14所示，一只橢球形的雞蛋長軸是6cm,短軸是4cm,雞蛋在x軸上做簡諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中 橢球的焦點(diǎn)在x軸上，雞蛋的端點(diǎn)正好不碰到a、b兩點(diǎn)，即在a、b之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)有一支固定在支 架上，以垂直于x軸的方向射出子彈正好瞄準(zhǔn)x=12cni處，子彈可看成質(zhì)點(diǎn)，子彈的速度比雞蛋的速度大 得多，現(xiàn)有一個(gè)瞎子扣動(dòng)扳機(jī)，那么他擊中雞蛋的概率是多大？<a vbmo111>-24°1224 xcm圖14解析：雞