單位圓中的三角函數(shù)線

1、AMrxOy問題提出問題提出1.1.設(shè)設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)圓交于點(diǎn)P P（x x，y y），角），角的三角函數(shù)的三角函數(shù)是怎樣定義的？是怎樣定義的？2.2.三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號分別三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號分別如何？如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .sin=y cos=xtanyx 3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其數(shù)學(xué)意義如何？其數(shù)學(xué)意義如何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tanktan(2)tankkZ4.4.角是一個幾何概念，同時角的大小也角是一個幾何概念，同

2、時角的大小也具有數(shù)量特征具有數(shù)量特征. .我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一統(tǒng)一. . 終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等. .知識探究（一）：知識探究（一）：正弦線和余弦線正弦線和余弦線 思考思考1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是正數(shù)，你能分都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角別用一條線段表示角的正弦值和余弦的正

3、弦值和余弦值嗎？值嗎？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|MP|=y=sin|OM|=x=cos思考思考2 2：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是負(fù)數(shù)，此時都是負(fù)數(shù)，此時角角的正弦值和余弦值分別用哪條線的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？段表示？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM M-|MP|=y=sin-|OM|=x=cos思考思考3 3：為了簡化上述表示，我們設(shè)想為了簡化上述表示，我們設(shè)想將線段的兩個端點(diǎn)規(guī)定一個為始點(diǎn)，另將線段的兩個端點(diǎn)規(guī)定一個為始

4、點(diǎn)，另一個為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶一個為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號有正負(fù)值符號. .根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向時為正方向，反向時為負(fù)方向時為正方向，反向時為負(fù)方向. . 思考思考4 4：規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線段，叫做段，叫做有向線段有向線段. .由上分析可知，當(dāng)角由上分析可知，當(dāng)角為第一、三象限角時，為第一、三象限角時，sinsin、coscos可分可分別用有向線段別用有向線段MPMP、OMOM表示，即表

5、示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么當(dāng)角，那么當(dāng)角為第二、四象限角為第二、四象限角時，你能檢驗這個表示正確嗎？時，你能檢驗這個表示正確嗎？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考5 5：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn)為為P P，過點(diǎn)，過點(diǎn)P P作作x x軸的垂線，垂足為軸的垂線，垂足為M M，稱，稱有向線段有向線段MPMP，OMOM分別為角分別為角的的正弦線正弦線和和余弦線余弦線. .當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時，的終邊在坐標(biāo)軸上時，角角的正弦線和余弦線的含義如何？的正弦線和余弦線的

6、含義如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考思考6 6：設(shè)設(shè)為銳角，你能根據(jù)正弦線和為銳角，你能根據(jù)正弦線和余弦線說明余弦線說明sinsincoscos1 1嗎？嗎？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1知識探究（二）：知識探究（二）：正切線正切線 A AT T思考思考1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，用哪條有向線段表示是正數(shù)，用哪條有向線段表示角角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATx思

7、考思考2 2：若角若角為第四象限角，其終邊為第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MAT TtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角若角為第二象限角，其終邊為第二象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxtanyATxtan

8、yx思考思考4 4：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，此時用哪條有向線段表示角是正數(shù)，此時用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx思考思考5 5：根據(jù)上述分析，你能描述正切線根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？的幾何特征嗎？過點(diǎn)過點(diǎn)A A（1 1，0 0）作單位圓的切線，與角）作單位圓的切線，與角的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T T，則，則AT=tan.AT=tan.A AT TO Ox xy

9、yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時，角的終邊在坐標(biāo)軸上時，角的正切線的含義如何？的正切線的含義如何？O Ox xy yP PP P當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在x x軸上時，角軸上時，角的正切線的正切線是一個點(diǎn)；當(dāng)角是一個點(diǎn)；當(dāng)角的終邊在的終邊在y y軸上時，角軸上時，角的正切線不存在的正切線不存在. .(1) 作出角的終邊，畫單位圓作出角的終邊，畫單位圓;作作三角函數(shù)線三角函數(shù)線的步驟的步驟:(2) 設(shè)設(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，作，作PMx軸于軸于M，則有向線段，則有向線段MP是正弦線是正弦線,有向線段有向線段OM是余弦線是余

10、弦線;(3) 設(shè)單位圓與設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)軸的正半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)過點(diǎn)A作作x軸的垂線與角軸的垂線與角的終邊的終邊(或其反向延長線或其反向延長線)交于點(diǎn)交于點(diǎn)T，則有向線段則有向線段AT是正切線是正切線.yOxyOxyOxyOxP終邊終邊 MATPMAT正弦線正弦線余弦線余弦線正切線正切線PPMATPMAT例例1:作出下列各角的正弦作出下列各角的正弦, ,余弦余弦, ,正切線正切線. . （1 1） （2 2） 56 76y yx xo oP PMMMPMP是正弦線是正弦線OMOM是余弦線是余弦線A AT T ATAT是正切線是正切線 51sin()62 53cos()62 53ta

11、n()63 71sin()62 73cos()62 73tan()63角定象限角定象限,象限定符號象限定符號例例 2在單位圓中作出符合下列條件的角的終邊在單位圓中作出符合下列條件的角的終邊:;21sinxOy-1-11121y角的終邊PM例題1(2)sin;2 21cos2 1tan3-1xy11-1OTA例例:在單位圓中作出符合條件的角的終邊在單位圓中作出符合條件的角的終邊: 1tan3Zkkk)2,4434變式：變式： 寫出滿足條件寫出滿足條件 cos 的角的角的集合的集合.2123xOy-1-1116611323462 |k，或322k342kZkk，6112Zkkkkk)6112 ,342322 ,62 (利用單位圓中的三角函數(shù)線，證明利用單位圓中的三角函數(shù)線，證明課堂課堂 練習(xí)練習(xí)0,sintan2當(dāng)OxyPMAT證明：證明：0,2當(dāng)時，AOPAOTAOPSSS扇形即即12OA MP12OA AP12OA ATsintan1.1.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一步研究三角函數(shù)圖象的有效工具步研究三角函數(shù)圖象的有效工具. .2.2.正弦線的始點(diǎn)隨角的終