高三數(shù)學一輪復習（原卷版）2021屆小題必練9 立體幾何與空間向量（理）-學生版

1、小題必練9：立體幾何與空間向量1掌握球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題2能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合）的直觀圖3能借助長方體，認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系4能從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關系5能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題6了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置7掌握用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂

2、直與平行關系8能用向量法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用1【2020年高考全國卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）ABCD2【2020年高考全國II卷理數(shù)】已知ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上若球O的表面積為，則O到平面ABC的距離為（ ）ABC1D一、選擇題1已知，分別是長方體的棱的中點，若，則四面體的外接球的表面積為（ ）ABCD2已

3、知一個幾何體的三視圖及有關數(shù)據(jù)如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD3在棱長為的正方體中，是正方形的中心，為的中點，過的平面與直線垂直，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）ABCD4設，是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若，則若，則若，則若，則其中正確命題的序號是（ ）A和B和C和D和5如圖，在單位正方體中，點P在線段上運動，給出以下四個命題：異面直線與間的距離為定值；三棱錐的體積為定值；異面直線與直線所成的角為定值；二面角的大小為定值其中真命題有（ ）A個B個C個D個6如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側棱底面，是側面內(nèi)的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（ ）

4、ABCD7在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，分別為和的中點，當和所成角的余弦值為時，與平面所成角的正弦值為（ ）ABCD8棱長為的正方體的頂點在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點到平面的距離的最大值（ ）ABCD9在我國古代數(shù)學名著九章算術中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑中，平面，且，為的中點，則二面角的正弦值為（ ）ABCD10已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，平面，是邊長為的等邊三角形，若球的體積為，則直線與平面所成角的正切值為（ ）ABCD11點，在球表面上，若球心到截面的距離為，則該球的體積為（ ）ABCD12已知四邊形為矩形，為的中點，將沿折起，

5、連接，得到四棱錐，為的中點，在翻折過程中，下列四個命題正確的序號是（ ）平面；三棱錐的體積最大值為；一定存在某個位置，使ABCD二、填空題13已知圓錐的側面積（單位：cm2）為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是_14如圖，四面體中，平面平面，則 15點在以為直徑的球的表面上，且，若球的表面積是，則異面直線和所成角的余弦值為 16已知在直角梯形中，將直角梯形沿折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積為_答案與解析1【答案】C【解析】如圖，設，則，由題意得，即，化簡得，解得（負值舍去）【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關計算，考查學生的數(shù)學計算能力2【答案】C【

6、解析】設球的半徑為，則，解得，設外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，解得，球心到平面的距離【點睛】本題考查球的相關問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應用；解題關鍵是明確球的性質，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面一、選擇題1【答案】A【解析】如圖所示，四面體的外接球就是直三棱柱的外接球，設棱柱的底面的外接圓圓心為，三棱柱的外接球為，的外接圓半徑，解得，外接球的半徑，四面體的外接球的表面積為2【答案】D【解析】由三視圖知：幾何體是四棱錐，其直觀圖如圖：四棱錐的一個側面與底面垂直，過作，垂足為，底面，底面為邊長為的正方形，幾何體的體積3【答案】B【解析】如

7、圖，在正方體中，記的中點為，連接，則平面即為平面證明如下：由正方體的性質可知，則，四點共面，記的中點為，連接，易證連接，則，平面，所以平面，又平面，則同理可證，則平面，所以平面即平面，四邊形即平面截正方體所得的截面因為正方體的棱長為，易知四邊形是菱形，其對角線，所以其面積4【答案】A【解析】對于，因為，所以經(jīng)過作平面，使，可得，又因為，所以，結合，得，由此可得是真命題；對于，因為且，所以，結合，可得，故是真命題；對于，設直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故不正確；對于，設平面、是位于正方體經(jīng)過同一個頂點的三個面，則有且，但是，

8、推不出，故不正確，綜上所述，其中正確命題的序號是和5【答案】D【解析】對于，異面直線與間的距離即為兩平行平面和平面間的距離，即為正方體的棱長，為定值故正確；對于，由于，而為定值，又，平面，所以點到該平面的距離即為正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值故正確；對于，由題意得在正方體中，平面，而平面，所以，故這兩條異面直線所成的角為故正確；對于，因為二面角的大小，即為平面與平面所成的二面角的大小，而這兩個平面位置固定不變，故二面角的大小為定值故正確，綜上正確6【答案】B【解析】以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，所以，的最大值為7【答案】B【解析】設，以為原點，過作的垂線為軸，為軸，為軸

9、，建立空間直角坐標系，則，因為和所成角的余弦值為，所以，解得，所以，平面的法向量，所以與平面所成角的正弦值為8【答案】B【解析】以為坐標原點，所在的直線分別為，軸建立空間直角坐標系，則平面的一個法向量為，設平面的法向量為，因為平面與平面成角，可得，設，到的距離，頂點到平面的距離的最大值是9【答案】C【解析】分別以直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，設為平面的一個法向量，由，得，取，則，取平面的一個法向量，設二面角為，則，10【答案】A【解析】設的中心為，為的中點，過作，則為的中點，是直線與平面所成角是邊長為的等邊三角形，11【答案】D【解析】由，及余弦定理得，所以，即是直角

10、，是底面圓的直徑，過球心作平面，即為的中點，所以，連接，即為半徑，由勾股定理得，所以球的體積為，12【答案】B【解析】，設是的中點，折疊過程中是的中點，連接，由于是的中點，所以是三角形的中位線，所以，由于是的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面，所以正確；，由于是的中點，所以在折疊過程中，三角形的面積為定值，當平面平面時，距離平面的距離最大過作，交于，連接，則當平面平面時，由于平面平面，所以平面，則，則，所以三棱錐體積的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為所以正確；，由知，所以正確；，由于，所以若，則平面，則，根據(jù)折疊前后圖象的對應關系可知，與矛盾，所以錯誤，綜上所述，正確的為二、填空題13【答案】【解析】設圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得，14【答案】13【解析】取的中點，連接因為，所以，所以因為，是的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面因為平面，所以在中，