數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、向量在立體幾何中的應(yīng)用i摘 要iiii!作為現(xiàn)代數(shù)學的重要標志z的向量已進入了屮學數(shù)學教學，為用代數(shù)方法|研究幾何問題提供了強有力的工具，促進了高屮幾何的代數(shù)化而在高屮數(shù)學體i系屮，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較復雜，!運用向量作行與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則使過程得到大大的簡化向量法應(yīng)用于平面幾何屮|時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學i屮數(shù)與形的完美結(jié)合立體幾何常常涉及到的兩大問題：證明與計算，用空間向!量解決立體幾何屮的這些問題，其獨到z處，在于用向量來處理空間問題，淡化'了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化.裝

2、關(guān)鍵詞：向量；立體幾何；證明；計算；運用訂abstractas one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. and in the high school mathemati

3、cs system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. vector method was used the plane geometry, it will be when the plane

4、geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of numbers and forms. three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its un

5、ique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are hformn to hformu reasoning process, causes the problem-solving become programmed.keywords： vector; solid geometry; proof; calculation; use目錄摘 要iabstract i1向量方法在研究幾何問題中的作用12向量方法解決度量問題的直接應(yīng)用22. 1兩點間的距離22. 2點與直線距離2

6、2. 3點到面的距離32. 4求兩異面直線的距離32. 5求面積42. 6求體積53向量在立體幾何中應(yīng)用的反思63. 1對比綜合法與向量法的利弊73. 2向量法解決立體幾何問題的步驟73. 3向量法能解決所有立體幾何問題嗎7參考文獻81向量方法在研究幾何問題中的作用向量是高中數(shù)學新增加的內(nèi)容，在作用上它取代了以往復數(shù)在高中數(shù)學教材 中的地位，但從目前的使用情況來看，向量的作用要遠遠大于復數(shù)一個復數(shù)所 對應(yīng)的點只能在平面上，而向量卻有平面向量和空間向量之分，這一點在與幾何 （尤其是立體幾何）的聯(lián)系上表現(xiàn)得更加突出向量知識、向量觀點在數(shù)學、物 理等學科的很多分支上都有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和

7、幾何形式的“雙重 身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學數(shù)學教學內(nèi)容中的許多主干知識相結(jié)合，形 成知識交匯點.向量進入高中數(shù)學教材，為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強有 力的工具，促進了高中幾何的代數(shù)化.著名教育家布魯納說過'學習的最好刺激 是對所學材料的興趣，簡單的重復將會引起學生大腦疲勞，學習興趣衰退.”這 充分揭示了方法求變的重要性.向量方法在解決幾何問題吋充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強的 工具性作用，向量方法不僅可以用來解決不等式、三角、復數(shù)、物理、測量等某 些問題，還可以簡捷明快地解決平面幾何許多常見證明（平行、垂直、共線、相 切、角相等）與求值（距離、角、比值等）問題.不

8、難看出向量法應(yīng)用于平面幾 何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了 數(shù)學中數(shù)與形的完美結(jié)合.向量法是將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問題立體幾何的證明與 計算常常涉及到兩大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成的角， 面面所成角等.用空間向量解決立體幾何中的這些問題，其獨到之處，在于用向量來處理空 間問題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化. 那么解立體幾何題時就可以用向量方法，對某些傳統(tǒng)性較大，隨機性較強的立體 幾何問題，引入向量工具之后，可

9、提供一些通法.2向量方法解決度量問題的直接應(yīng)用2. 1兩點間的距離兩點間距離重在“轉(zhuǎn)化”，即將空間兩點間距離轉(zhuǎn)化為向量的長度問題利用 向量的模，可以推導出空間兩點的距離公式，即空間兩點片（刃，兒可）£（吃,旳4），則 =|耳可| =丿（兀2一西）2+（）'2一）1+匕2一召）2 例1在三棱錐s-abc中，面sac丄面abc 9 sa丄ac, bc丄acsa = 6, ac = q,bc = 8,求 sb的長.分析 如圖，本題可以用幾何法求出sb,但需要證明若用向量法，注意到場，ac, bc 之間的關(guān)系建立以a點為原點的空間直角坐標則無須證明就有如下巧解.解如圖，建立以力為原點

10、的空間直角坐標系，則a(0,0,0),b(8,q,0),s(0,0,6),所以 sb = sb = j(0-8)2 +(0-vi1)2 +(6-0)2 =11.本題用向量法巧妙地把與sb有關(guān)元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量是麗的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造向量的空間距離模型，然后通過數(shù)值計算將問題加以解決.如圖求得向量麗在向量麗的射影長為d,2. 2點與直線距離則點p到直線ab的距離等于加匸d7.例2設(shè)"為矩形力弘刀所在平面外的一點，直線必垂直平面外的一點, 直線/為垂直平面力弘 ab-3, bb4,必二1求點"到直線必的距離.解 |bp-bd| = |（ba+ap）-（bc+ba）| =

11、|ab|_ =9 |bd|=5所以麗在麗上的射影長為2,又bp = vio,5所以點"到直線劭的距離135-2 、 丿9 - 5 zruko- dp2. 3點到面的距罔任取一點qea得p0,萬是平面q的法向量，則有：點p到平面。的距離（向量甩在法向量萬的投影的長度）.方法思路：求出平面的任一法向量萬（方程組可求），在平面內(nèi)任取一點q與 點p得一向量轉(zhuǎn)化為甩在法向量的投影長度，套公式.2. 4求兩異面直線的距離知a,b是兩異面直線，a,be a,c,de b ,找一向量與兩異面直線都垂直的向量加，則兩異面直線的距離d二ac - mm例3如圖，三棱柱中，已知a bcd是邊長為1的正方形，

12、四邊形aa'b'b是矩形，平面人4空2丄平面abcd。若a" = 1 ,求直線ab到面dac的距離.d4'=（l,l,d）, dc = （0,1,0） >設(shè)面da'c的法向量為斤=（兀1），貝'jdcn. =0得兀=（0,0,1）,直線ab到面dac的距離d就等于點a到面dac的距離,也等于向量ad在面d4'c的法向量上的投影的絕對二adnv|2方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的向量方,距禺d =然后分別在兩異面直線上任取一點a,c ,則距離d就是忑在向量懇上的投影長度,2. 5求面積由于平行四邊形力救面積

13、s“bcd = |麗x方可,所以三角形的面積是平行四邊形的面積的一半.abc=abxac特別地當外、b、c三點均在面上，且坐標為人（兩,兒0）, 3（兀2,兒,0）,必1>2 1兒1（£二1或t,保證面積取正值）.例4已知空間三點a （1, 2, 3） b （2, 角形的面積，2）求三角形的力邊上的高.解'sbc=-abxac麗=1,3,2 ac = 2,0,-8marik1 j kabxac= 1 -32 =24/ + 12 + 62 0-8abxac =a/242 +1224-62 =6>/21,所以三角形的面積是3何.因為三角形外比的外邊上的高。/即是平行形

14、四邊形的外邊上的高,所以chabxac乂因為 |麗| = jl2+(-3)2+22 = v14 ,_ i - abxac 6x/tr-所以 ch = = -f=- = 36 11 abv14例5已矢ab = a + b ad = a-b,其中a =2 b =1方與乙的夾角為蘭, 3求平行四邊形/!仞的面積.解:一 2- 2 一 jia + b +2 a b cos 71同理網(wǎng)| =的,設(shè)喬與而的夾角為&,_ 麗麗 _ (方+可(方一可_ 產(chǎn) _ 休-甘 _ _3_ cos |ib|-|ad| - |ab|-|ad| |ib|-|ad| |ab|-|ad| - v21所以 sin &am

15、p; 二 a/1-cos2 = 12-,7所以sahci) = ab - adsin = 2v3.2. 6求體積三個不共面向量a,b.c的混合積的絕對值等于以a.kc為棱的平行六面體的 體積，即%=|（方,萬0|四面體的體積等于以a.b.c為棱的平行六面體體積的六分之一，即例6已知空間四點的坐標a (0, 0, 0), b (0, 1, 0), c(0, 1, 1),d (1, 1, 1)求四而體的體積及到沏平而的距離.解由初等幾何知識，四面體昇磁的體積v等于以血?，aq弭為棱的平行 六面體的體積的丄，另外設(shè)/到妙所確定平面的距離為d , d =|(4b,ac,ap|bcxbd|則 v4=-b

16、cxbd6d = .注：求點a到平面龍的距離時，取龍上三個點5 g d(1)(2)(4)求出ab.ac.ad為棱的平行六面體的體積|(ab,ac,a)|； 求出 就，麗為鄰邊的平行四邊形的面積bcxbd； ab.ac.ad求岀點到平面的距離，吩曲岡3向量在立體幾何中應(yīng)用的反思3. 1對比綜合法與向量法的利弊綜合方法一不使用其他工具，對幾何元素及其關(guān)系直接進行討論其優(yōu)點是 注垂培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想缺點是 有吋解決問題時的技巧性過強，而ii沒有一般規(guī)律可循，常常讓我們感覺“高不 可攀”，從而“望而卻步”.向量方法一以向量和向量的運算為工具，對幾何元素及其關(guān)系進

17、行討論其 優(yōu)點是注重培養(yǎng)學牛的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想以及代數(shù)計算能力的同時 也使立體幾何問題的解決過程變得數(shù)量化、程序化，易于我們學習缺點是計算 量相對較大，對于計算能力較弱的同學，很容易算錯.如果在解決立體幾何問題時，能夠具體情況具體分析，將綜合方法與向量方 法這兩種方法綜合運用，那樣將會使得立體幾何問題得到更完美的解決.3. 2向量法解決立體幾何問題的步驟用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種：一是直接用向量的代數(shù)式運算， 二是用向量的坐標運算一般來說，向量的坐標運算，思維量更少，運算技巧更 低，更容易掌握，因此這也是我們常用的向量方法若所給圖形不容易建立空間 直角坐標系，我們也可以用

18、向量的代數(shù)式運算來解決問題，但其技巧性相對較高, 對邏輯推理能力的要求也提高了.用向量坐標運算解題步驟：(1) 建立空間直角坐標系.注意盡可能用已經(jīng)存在的過同一個點的兩兩垂直 的三線，如果沒有三線，也盡量找兩線垂直，然后作出第三線和兩線垂直，按右 手系建立坐標系注意所寫點的坐標要與所建立的坐標系相一致.(2) 寫出需要用到的點的坐標注意要仔細再仔細，此步若錯，全題皆錯.(3) 寫出所要用到的向量坐標注意必須終點坐標減始點坐標.(4) 通過計算解決具體問題注意公式要記對，運算要仔細.3. 3向量法能解決所有立體幾何問題嗎這個問題的答案顯然是“不” 世上不可能有一種“萬能”方法能解決 所有的問題我們能做的就是在眾多的方法中選擇適合的方法，“擇優(yōu)錄用” 我們可以把解決立體兒何問題的思考過程分三步走第一步，若此題用綜合法很 簡單，那就不必用向量法第二步，用綜合法解決有困難，而圖形又適合建立空 間直角坐標系，可以通過向量的坐標運算解決問題.第三步，用綜合法解決有困難，而圖形又不容易建立空間直角坐標系，那也 可以考慮用向量的代