(精品word)第2.1講-相似形的綜合題-2018中考熱點難點突破(原卷版)

1、專題 01 相似形的綜合題考綱要求：1了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割。2知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平方。3了解兩個三角形相似的概念；知道相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平 方；會利用兩個三角形相似的條件判定兩個三角形相似。4會利用圖形的相似解決一些實際問題。5了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。基礎(chǔ)知識回顧：知識點一：比例線段1比例線段在四條線段 a, b，c, d 中，如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比，即-=_2，那么這四條線段 b da，b，c，d

2、叫做成比例線段，簡稱比例線段.2.比例的基 本性 質(zhì)ac（1）基本性質(zhì)：一=? ad = be;be; （b、d 工 0）b d合比性質(zhì)：=?=-； （b、d豐0）b dbd等比性質(zhì)：a=- = -=m= k（b + d+ + nz0?b d na+.+m= k k. （ b、d、 nz0）b+d+.+ n-3.平行線分線 段成比 例定理(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.即如圖所示，XTA D13社111 mr AB DE/右丨3 14 15，則-亍14BC EFBECl5(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長 線)，所得的A_ B對應線段成比例.即如圖所示，

3、若 AB /CD，則/OD OC&-D(3)平仃于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三A角形相似.DJ E如圖所示，若 DE / BC,則 ADEABC.V、4.黃金分割點 C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC，如果 AC = M M:1P.618，那么線段 AB 被點 CAB2黃金分割.其中點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點，AC 與 AB 的比叫做黃金111比/CB知識點二:相似三角形的性質(zhì)與判定(1)兩角對應相等的兩個三角形相似(AAA).DB.”CE#F如圖，若/ A =ZD，/ B=Z丘，則厶 ABCDEF.5.相似(2)兩邊對應成比例，且夾角相等

4、的兩個三角形相似如圖， 若DAzA三角ACAB/ A =ZD,，則 ABSADEF.BCE F形的DFDE判定(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似.如圖，若竺DEAC=DFBCEFDBXACEX FABCDEF.(1)對應角相等，對應邊成比例6.相似(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方三角形的(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比性質(zhì)1/7.相似三/ D角形的jrLfjrBC/fDEA&/CD1=2.2基本模 型KA,MBEDfl2JnLLC丄月（7= A匚CDIAB畑 ECACFD應用舉例：招數(shù)一、函數(shù)與相似的綜合【例 1 1】定義：點 P

5、 ABC 內(nèi)部或邊上的點， 若滿足 PAB, PBC, PAC 至少有一個三角形與ABC 相似(點P 不與 ABC 頂點重合)，則稱點 P ABC 的自相似點.4A/A/ 廚例如：如圖 1,點 P 在厶 ABC 的內(nèi)部，/ PBC= / A，/ PCB= / ABC，則 BCPABC，故點 P ABC 的自相似點.在平面直角坐標系 xOy 中,（1 ）點 A 坐標為（2,2、3）, AB 丄 x 軸于 B 點，在 E（2 , 1）, F，這三個點2 2 2 2中，其中是 AOB 的自相似點的是 _（填字母）；k（2）若點M是曲線 C:y（k 0，x 0）上的一個動點，N 為 x 軸正半軸上一個

6、動點；x如圖 2，k =3-、3，M 點橫坐標為 3,且 NM = NO，若點 P 是厶 MON 的自相似點，求點 P 的坐標;若k=1，點 N 為（2，0），且厶 MON 的自相似點有 2 個,則曲線 C 上滿足這樣條件的點 M 共有_ 個,請在圖 3 中畫出這些點（保留必要的畫圖痕跡）.1圖界【例 2 2】（2017 湖北省武漢市，第 24 題，12 分）已知點 A （- 1，1）、B （4，6）在拋物線 y=ax2+bx 上.（1）求拋物線的解析式；（2） 如圖 1，點 F 的坐標為（0，m）（ m2），直線 AF 交拋物線于另一點 G，過點 G 作 x 軸的垂線，垂 足為 H .設(shè)拋物

7、線與 x 軸的正半軸交于點 E，連接 FH、AE，求證：FH / AE ;（3）如圖 2,直線 AB 分別交 x 軸、y 軸于 C、D 兩點.點 P 從點 C 出發(fā)，沿射線 CD 方向勻速運動，速度為每秒.2 個單位長度；同時點 Q 從原點 O 出發(fā)，沿 x 軸正方向勻速運動，速度為每秒1 個單位長度.點M 是直線 PQ 與拋物線的一個交點，當運動到 t 秒時，QM=2PM，直接寫出 t 的值./ BAM= / DAN，/ BCM= / DCN .招數(shù)三、動點中的相似問題OB=25 , OC=20 ,若點 M 是邊 OC 上的一個動點(與點 O、C 不重合)，過點 M 作 MN / OB 交

8、BC 于點 N.(1)求點 C 的坐標；(2)當厶 MCN 的周長與四邊形 OMNB 的周長相等時，求 CM 的長；(3) 在 OB 上是否存在點 Q,使得 MNQ 為等腰直角三角形？若存在，請求出此時 MN 的長；若不存在,直求證：(1) M 為 BD 的中點;CNAMCM【例 4 4】(201724 題，12 分)已知：如圖所示，在平面直角坐標系xOy 中，/ C=9C ,招數(shù)二、圓與相似的綜合【例 3 3】如圖，已知圓內(nèi)接四邊形C招數(shù)四、相似中的分類討論4 4【例 5 5】(2017 江蘇省常州市，第 28 題，10 分)如圖，已知一次函數(shù)：.，二:-的圖象是直線 I，設(shè)直線3I 分別與

9、 y 軸、x 軸交于點 A、B.(1) 求線段 AB 的長度；(2) 設(shè)點 M 在射線 AB 上，將點 M 繞點 A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90到點 N ,以點 N 為圓心，NA 的長為半徑 作ON.1當ON 與 x 軸相切時，求點 M 的坐標；2在的條件下，設(shè)直線 AN 與 x 軸交于點 C,與ON 的另一個交點為 D，連接 MD 交 x 軸于點 E,直線 m 過點 N 分別與 y 軸、直線 I 交于點 P、0,當厶 APQ 與厶 CDE 相似時，求點 P 的坐標.F【例 6 6】如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90, AC = 6cm, BC = 8cm.動點 M 從點 B 出發(fā)，

10、在 BA 邊上以每秒 3cm 的速度向定點 A 運動，同時動點 N 從點 C 出發(fā)，在 CB 邊上以每秒 2cm 的速度向點 B 運動，運動(1)若厶 BMN 與厶 ABC 相似，求 t 的值;連接 AN , CM，若 AN 丄 CM，求 t 的值.招數(shù)五、相似在實際問題中的應用【例 7 7】如圖 1,西沙河屬馬刨泉河支流，發(fā)源于房山區(qū)城關(guān)街道迎風坡村，流域面積11 平方公里，為估算西沙河某段的寬度，如圖 2,在河岸邊選定一個目標點A，在對岸取點 B,C,D。使得 AB 丄 BC,CD 丄 BC,點 E 在 BC 上，并且點 A,E,D 在同一條直線上，若測得 BE=2m,EC=1m,CD=3

11、m,則河的寬度 AB 等于_ m.A. 7 米 B. 8 米 C. 9 米 D. 10 米方法、規(guī)律歸納：1 1.列比例等式時，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂2 2 已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個參數(shù)的式子 表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中a=3k,b=5k,a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a 3 a b 8例：右，貝 U U. .b 5b 53 3 利用平行線所截線段成比例求線段長或線段比時，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運用比例基本性質(zhì) 求解. .4 4 判定三角形相似的思路：條件中若有平行線，可用

12、平行線找出相等的角而判定；條件中若有一對等 角，可再找一對等角或再找夾這對等角的兩組邊對應成比例；條件中若有兩邊對應成比例可找夾角相等;條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明直角邊和斜邊對應成比例；條件中若有等腰關(guān)系， 可找頂角相等或找一對底角相等或找底、腰對應成比例5.5.證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個三角形 的對應邊. .然后，通過證明這兩個三角形相似，從而得出結(jié)果實戰(zhàn)演練：1.如圖，正L ABC內(nèi)接于LI O, P是劣弧 BC 上任意一點，PA 與 BC 交于點 E，有如下結(jié)論:【例 8 8】如圖，甲、乙兩盞路燈桿相距20 米

13、，一天晚上，當小明從燈甲底部向燈乙底部直行自己的身影頂部正好接觸到路燈乙的底部已知小明的身高為1.6米，那么路燈甲的高為（）16 米時，發(fā)現(xiàn)的一個表示出其他的字母，再代入求解. .如下題可設(shè)a=3/5ba=3/5b 代入求解. .團1圖2甲小明乙1 1 1PA二PB PC;.BPC =12 ;PA PB PC其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）2如圖，A , B 兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A,B 間的距離：先在 AB 外選一點 C,然后測出AC,BC 的中點 M,N，并測量出 MN 的長為 12m，由此他就知道了 A,B 間的距離有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是（）1A.SCMNSABCB.

14、 CM : CA=1 : 2 C. MN/AB D. AB=24cm23如圖，在邊長為 1 的正方形 ABCD 中，動點 F, E 分別以相同的速度從 D, C 兩點同時出發(fā)向 C 和 B 運動（任何一個點到達即停止），過點P 作 PM / CD 交 BC 于 M 點，PN / BC 交 CD 于 N 點，連接 MN，在運動過程中，則下列結(jié)論： ABE S BCF :AE=BF :AE 丄 BF;CF2=PE?BF;線段 MN 的最小值為，5一一1其中正確的結(jié)論有（）2A. 2 個 B. 3 個 C. 4 個 D. 5 個 4如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 AD 是/ BAC 的角平

15、分線。PA PE二PB PC; 圖中共有 6 對相似三角形.D. 2 個C. 3 個C(1)以 AB 上一點 0 為圓心，AD 為弦作OO;求證：BC 為OO 的切線；3如果 AC=3,tanB=,求OO 的半徑。45中國高鐵近年來用震驚世界的速度不斷發(fā)展，已成為當代中國一張耀眼的國家名片”。修建高鐵時常常要逢山開道、遇水搭橋。如圖，某高鐵在修建時需打通一直線隧道MN(M、N 為山的兩側(cè))，工程人員為了計算 MN 兩點之間的直線距離，選擇了在測量點 A、B、C 進行測量，點 B、C 分別在 AM、AN 上，現(xiàn)測得AM=1200 米，AN=2000 米，AB=30 米，BC=45 米，AC=18

16、 米，求直線隧道 MN 的長。連接 AF 并延長交OO 于點 E,連接 AD、DE，若 CF=2 , AF=3 .(1)求證： ADFAED ;(2 )求 FG 的長；AB 是OO 的直徑，弦 CD 丄 AB 于點 G,點 F 是 CD 上一點，且滿足CFDF(3)求證:tan/ E=(46.(2014?黔南州)如圖,7如圖，在三角形 ABC 中， ACB =90：, AC =6, BC = 8，點 D 為邊 BC 的中點，射線DE BC交 AB 于點E.點 P 從點 D 出發(fā)，沿射線 DE 以每秒 1 個單位長度的速度運動以 PD 為斜邊，在射線 DE 的右側(cè)作等腰直角|_|DPQ.設(shè)點 P

17、 的運動時間為t（秒）.圖 1量用圖1用含 t 的代數(shù)式表示線段 EP 的長.2求點 Q 落在邊 AC 上時 t 的值.3當點 Q 在L ABC內(nèi)部時，設(shè)LIPDQ和L ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），求 S 與 t 之間的函 數(shù)關(guān)系式.8如圖，在ABC中，AB =8cm,BC =16cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以 2cm/s 的速度移動，點Q從點B開始沿邊BC向點 4cm/s 的速度移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘PBQ與ABC相似？試說明理由.9如圖，在平面直角坐標系中，0 為坐標原點，L C的圓心坐標為.-2, -2，半徑為2.函數(shù) y = -X 2的圖象與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 B，點 P 為線段 AB 上一動點.1連接 CO,求證：CO _ AB;2若LPOA是等腰三角形，求點 P 的坐標；3當直線 PO 與L C相切時，求POA的度數(shù)；當直線 PO 與L C相交時，設(shè)交點為 E、F,點 M 為線段EF 的中點，令P0二t,M0二s，求 s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出 t 的取值范圍. 210.如圖，矩形 OABC 的兩邊在坐標軸上，點A 的坐標為(10,