(精品word)第2.1講-相似形的綜合題-2018中考熱點(diǎn)難點(diǎn)突破(原卷版)

1、專題 01 相似形的綜合題考綱要求：1了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割。2知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方。3了解兩個(gè)三角形相似的概念；知道相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平 方；會(huì)利用兩個(gè)三角形相似的條件判定兩個(gè)三角形相似。4會(huì)利用圖形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題。5了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小。基礎(chǔ)知識(shí)回顧：知識(shí)點(diǎn)一：比例線段1比例線段在四條線段 a, b，c, d 中，如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比，即-=_2，那么這四條線段 b da，b，c，d

2、叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.2.比例的基 本性 質(zhì)ac（1）基本性質(zhì)：一=? ad = be;be; （b、d 工 0）b d合比性質(zhì)：=?=-； （b、d豐0）b dbd等比性質(zhì)：a=- = -=m= k（b + d+ + nz0?b d na+.+m= k k. （ b、d、 nz0）b+d+.+ n-3.平行線分線 段成比 例定理(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，XTA D13社111 mr AB DE/右丨3 14 15，則-亍14BC EFBECl5(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng) 線)，所得的A_ B對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，

3、若 AB /CD，則/OD OC&-D(3)平仃于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三A角形相似.DJ E如圖所示，若 DE / BC,則 ADEABC.V、4.黃金分割點(diǎn) C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC，如果 AC = M M:1P.618，那么線段 AB 被點(diǎn) CAB2黃金分割.其中點(diǎn) C 叫做線段 AB 的黃金分割點(diǎn)，AC 與 AB 的比叫做黃金111比/CB知識(shí)點(diǎn)二:相似三角形的性質(zhì)與判定(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(AAA).DB.”CE#F如圖，若/ A =ZD，/ B=Z丘，則厶 ABCDEF.5.相似(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等

4、的兩個(gè)三角形相似如圖， 若DAzA三角ACAB/ A =ZD,，則 ABSADEF.BCE F形的DFDE判定(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.如圖，若竺DEAC=DFBCEFDBXACEX FABCDEF.(1)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例6.相似(2)周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方三角形的(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比性質(zhì)1/7.相似三/ D角形的jrLfjrBC/fDEA&/CD1=2.2基本模 型KA,MBEDfl2JnLLC丄月（7= A匚CDIAB畑 ECACFD應(yīng)用舉例：招數(shù)一、函數(shù)與相似的綜合【例 1 1】定義：點(diǎn) P

5、 ABC 內(nèi)部或邊上的點(diǎn)， 若滿足 PAB, PBC, PAC 至少有一個(gè)三角形與ABC 相似(點(diǎn)P 不與 ABC 頂點(diǎn)重合)，則稱點(diǎn) P ABC 的自相似點(diǎn).4A/A/ 廚例如：如圖 1,點(diǎn) P 在厶 ABC 的內(nèi)部，/ PBC= / A，/ PCB= / ABC，則 BCPABC，故點(diǎn) P ABC 的自相似點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,（1 ）點(diǎn) A 坐標(biāo)為（2,2、3）, AB 丄 x 軸于 B 點(diǎn)，在 E（2 , 1）, F，這三個(gè)點(diǎn)2 2 2 2中，其中是 AOB 的自相似點(diǎn)的是 _（填字母）；k（2）若點(diǎn)M是曲線 C:y（k 0，x 0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N 為 x 軸正半軸上一個(gè)

6、動(dòng)點(diǎn)；x如圖 2，k =3-、3，M 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 3,且 NM = NO，若點(diǎn) P 是厶 MON 的自相似點(diǎn)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo);若k=1，點(diǎn) N 為（2，0），且厶 MON 的自相似點(diǎn)有 2 個(gè),則曲線 C 上滿足這樣條件的點(diǎn) M 共有_ 個(gè),請(qǐng)?jiān)趫D 3 中畫出這些點(diǎn)（保留必要的畫圖痕跡）.1圖界【例 2 2】（2017 湖北省武漢市，第 24 題，12 分）已知點(diǎn) A （- 1，1）、B （4，6）在拋物線 y=ax2+bx 上.（1）求拋物線的解析式；（2） 如圖 1，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（0，m）（ m2），直線 AF 交拋物線于另一點(diǎn) G，過(guò)點(diǎn) G 作 x 軸的垂線，垂 足為 H .設(shè)拋物

7、線與 x 軸的正半軸交于點(diǎn) E，連接 FH、AE，求證：FH / AE ;（3）如圖 2,直線 AB 分別交 x 軸、y 軸于 C、D 兩點(diǎn).點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿射線 CD 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒.2 個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn) Q 從原點(diǎn) O 出發(fā)，沿 x 軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度.點(diǎn)M 是直線 PQ 與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到 t 秒時(shí)，QM=2PM，直接寫出 t 的值./ BAM= / DAN，/ BCM= / DCN .招數(shù)三、動(dòng)點(diǎn)中的相似問(wèn)題OB=25 , OC=20 ,若點(diǎn) M 是邊 OC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn) O、C 不重合)，過(guò)點(diǎn) M 作 MN / OB 交

8、BC 于點(diǎn) N.(1)求點(diǎn) C 的坐標(biāo)；(2)當(dāng)厶 MCN 的周長(zhǎng)與四邊形 OMNB 的周長(zhǎng)相等時(shí)，求 CM 的長(zhǎng)；(3) 在 OB 上是否存在點(diǎn) Q,使得 MNQ 為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí) MN 的長(zhǎng)；若不存在,直求證：(1) M 為 BD 的中點(diǎn);CNAMCM【例 4 4】(201724 題，12 分)已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，/ C=9C ,招數(shù)二、圓與相似的綜合【例 3 3】如圖，已知圓內(nèi)接四邊形C招數(shù)四、相似中的分類討論4 4【例 5 5】(2017 江蘇省常州市，第 28 題，10 分)如圖，已知一次函數(shù)：.，二:-的圖象是直線 I，設(shè)直線3I 分別與

9、 y 軸、x 軸交于點(diǎn) A、B.(1) 求線段 AB 的長(zhǎng)度；(2) 設(shè)點(diǎn) M 在射線 AB 上，將點(diǎn) M 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90到點(diǎn) N ,以點(diǎn) N 為圓心，NA 的長(zhǎng)為半徑 作ON.1當(dāng)ON 與 x 軸相切時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；2在的條件下，設(shè)直線 AN 與 x 軸交于點(diǎn) C,與ON 的另一個(gè)交點(diǎn)為 D，連接 MD 交 x 軸于點(diǎn) E,直線 m 過(guò)點(diǎn) N 分別與 y 軸、直線 I 交于點(diǎn) P、0,當(dāng)厶 APQ 與厶 CDE 相似時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).F【例 6 6】如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90, AC = 6cm, BC = 8cm.動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn) B 出發(fā)，

10、在 BA 邊上以每秒 3cm 的速度向定點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) N 從點(diǎn) C 出發(fā)，在 CB 邊上以每秒 2cm 的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)(1)若厶 BMN 與厶 ABC 相似，求 t 的值;連接 AN , CM，若 AN 丄 CM，求 t 的值.招數(shù)五、相似在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例 7 7】如圖 1,西沙河屬馬刨泉河支流，發(fā)源于房山區(qū)城關(guān)街道迎風(fēng)坡村，流域面積11 平方公里，為估算西沙河某段的寬度，如圖 2,在河岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在對(duì)岸取點(diǎn) B,C,D。使得 AB 丄 BC,CD 丄 BC,點(diǎn) E 在 BC 上，并且點(diǎn) A,E,D 在同一條直線上，若測(cè)得 BE=2m,EC=1m,CD=3

11、m,則河的寬度 AB 等于_ m.A. 7 米 B. 8 米 C. 9 米 D. 10 米方法、規(guī)律歸納：1 1.列比例等式時(shí)，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂2 2 已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個(gè)參數(shù)的式子 表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中a=3k,b=5k,a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a 3 a b 8例：右，貝 U U. .b 5b 53 3 利用平行線所截線段成比例求線段長(zhǎng)或線段比時(shí)，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運(yùn)用比例基本性質(zhì) 求解. .4 4 判定三角形相似的思路：條件中若有平行線，可用

12、平行線找出相等的角而判定；條件中若有一對(duì)等 角，可再找一對(duì)等角或再找夾這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例；條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例可找夾角相等;條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例；條件中若有等腰關(guān)系， 可找頂角相等或找一對(duì)底角相等或找底、腰對(duì)應(yīng)成比例5.5.證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個(gè)三角形 的對(duì)應(yīng)邊. .然后，通過(guò)證明這兩個(gè)三角形相似，從而得出結(jié)果實(shí)戰(zhàn)演練：1.如圖，正L ABC內(nèi)接于LI O, P是劣弧 BC 上任意一點(diǎn)，PA 與 BC 交于點(diǎn) E，有如下結(jié)論:【例 8 8】如圖，甲、乙兩盞路燈桿相距20 米

13、，一天晚上，當(dāng)小明從燈甲底部向燈乙底部直行自己的身影頂部正好接觸到路燈乙的底部已知小明的身高為1.6米，那么路燈甲的高為（）16 米時(shí)，發(fā)現(xiàn)的一個(gè)表示出其他的字母，再代入求解. .如下題可設(shè)a=3/5ba=3/5b 代入求解. .團(tuán)1圖2甲小明乙1 1 1PA二PB PC;.BPC =12 ;PA PB PC其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）2如圖，A , B 兩地被池塘隔開，小明通過(guò)下列方法測(cè)出了A,B 間的距離：先在 AB 外選一點(diǎn) C,然后測(cè)出AC,BC 的中點(diǎn) M,N，并測(cè)量出 MN 的長(zhǎng)為 12m，由此他就知道了 A,B 間的距離有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是（）1A.SCMNSABCB.

14、 CM : CA=1 : 2 C. MN/AB D. AB=24cm23如圖，在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 中，動(dòng)點(diǎn) F, E 分別以相同的速度從 D, C 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向 C 和 B 運(yùn)動(dòng)（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），過(guò)點(diǎn)P 作 PM / CD 交 BC 于 M 點(diǎn)，PN / BC 交 CD 于 N 點(diǎn)，連接 MN，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則下列結(jié)論： ABE S BCF :AE=BF :AE 丄 BF;CF2=PE?BF;線段 MN 的最小值為，5一一1其中正確的結(jié)論有（）2A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè) 4如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 AD 是/ BAC 的角平

15、分線。PA PE二PB PC; 圖中共有 6 對(duì)相似三角形.D. 2 個(gè)C. 3 個(gè)C(1)以 AB 上一點(diǎn) 0 為圓心，AD 為弦作OO;求證：BC 為OO 的切線；3如果 AC=3,tanB=,求OO 的半徑。45中國(guó)高鐵近年來(lái)用震驚世界的速度不斷發(fā)展，已成為當(dāng)代中國(guó)一張耀眼的國(guó)家名片”。修建高鐵時(shí)常常要逢山開道、遇水搭橋。如圖，某高鐵在修建時(shí)需打通一直線隧道MN(M、N 為山的兩側(cè))，工程人員為了計(jì)算 MN 兩點(diǎn)之間的直線距離，選擇了在測(cè)量點(diǎn) A、B、C 進(jìn)行測(cè)量，點(diǎn) B、C 分別在 AM、AN 上，現(xiàn)測(cè)得AM=1200 米，AN=2000 米，AB=30 米，BC=45 米，AC=18

16、 米，求直線隧道 MN 的長(zhǎng)。連接 AF 并延長(zhǎng)交OO 于點(diǎn) E,連接 AD、DE，若 CF=2 , AF=3 .(1)求證： ADFAED ;(2 )求 FG 的長(zhǎng)；AB 是OO 的直徑，弦 CD 丄 AB 于點(diǎn) G,點(diǎn) F 是 CD 上一點(diǎn)，且滿足CFDF(3)求證:tan/ E=(46.(2014?黔南州)如圖,7如圖，在三角形 ABC 中， ACB =90：, AC =6, BC = 8，點(diǎn) D 為邊 BC 的中點(diǎn)，射線DE BC交 AB 于點(diǎn)E.點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿射線 DE 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)以 PD 為斜邊，在射線 DE 的右側(cè)作等腰直角|_|DPQ.設(shè)點(diǎn) P

17、 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.圖 1量用圖1用含 t 的代數(shù)式表示線段 EP 的長(zhǎng).2求點(diǎn) Q 落在邊 AC 上時(shí) t 的值.3當(dāng)點(diǎn) Q 在L ABC內(nèi)部時(shí)，設(shè)LIPDQ和L ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），求 S 與 t 之間的函 數(shù)關(guān)系式.8如圖，在ABC中，AB =8cm,BC =16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以 2cm/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn) 4cm/s 的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘PBQ與ABC相似？試說(shuō)明理由.9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，L C的圓心坐標(biāo)為.-2, -2，半徑為2.函數(shù) y = -X 2的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A，與 y 軸交于點(diǎn) B，點(diǎn) P 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn).1連接 CO,求證：CO _ AB;2若LPOA是等腰三角形，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；3當(dāng)直線 PO 與L C相切時(shí)，求POA的度數(shù)；當(dāng)直線 PO 與L C相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為 E、F,點(diǎn) M 為線段EF 的中點(diǎn)，令P0二t,M0二s，求 s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出 t 的取值范圍. 210.如圖，矩形 OABC 的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(10,