輔助圓——重要的輔助線

1、輔助圓不太熟悉但很重要的輔助線添加輔助圓解平面幾何題，雖遠不如輔助（直）線那么為人們所熟知，但許多直線形問題，若輔助圓添加得合理，則能收到化難為易，事半功倍的效果一、根據(jù)圓的定義作輔助圓例 1 如圖，四邊形ABCD 中， AB CD ， AB AC AD p， BC q，求 BD 的長DCEAB解析： 以點 A 為圓心、 AB 為半徑作 A 因為 AB AC AD ，所以 B、 C、D三點在 A 上延長 BA 交 A 于點 E，連結(jié) DE因為 DC EB，所以弧ED弧 BC ，所以ED BC q在 Rt BDE 中，根據(jù)勾股定理，得BD 例 2 如圖， PAPB ， APB 2 ACB ，AC

2、 與 PB 交于點 D，且 PB 5， PD3，求 AD·DC 的值EPDCAB解析： 以點 P 為圓心、 P為半徑的作所以點、 B、 C 在 P 上此時 P 的直徑理，得 AD·DC DE·DB × 16P因為 PA PB， APB 2 ACB ， BE 10， DE 8， DB 2，由相交弦定二、作三角形的外接圓例 3 如圖， D、 E 為 ABC 邊 BC 上的兩點，且 BD=CE ， BAD= CAE ，求證： AB=AC 精選文庫AMONBDEC解析： 作 ADE 的外接圓，分別交 AB 、AC 于點 M、 N ，連結(jié) MD 、 NE 因為 B

3、AD CAE ，所以 BAD DAE CAE+ DAE ，即 NAD MAE 因為 BDM MAE ， CEN NAD ，所以 BDM CEN 又 BD CE， DM EN ，所以 BDM CEN ，所以 B C，即 AB AC 例 4 如圖， ABC中， BF 、 CE 交于點D， BD CD， BDE A ，求證：BE CF解析： 作 ABC 的外接 O，延長 CE 交 O 于 G，連接 BG 因為 G A ， BDE A ，所以 G BDE ，所以BG=BD 又 BD CD ，所以 BG CD.又因為 G CDF ， GBE DCF ，所以 GBE DCF 所以 BE CF例 5 如圖，

4、在 ABC中， AB AC ， BAC 100°， B的平分線交AC 于D，求證： BC BD AD ADBOCE解析： 作 ABD 的外接圓交BC 于 E，連結(jié) DE因為 BD 是 ABC 的平分線，所以弧AD 弧 DE，所以 AD DE -2精選文庫在 BDE 中， DBE 20°， BED 180° 100° 80°，所以 BDE 80°，所以 BEBD在 DEC 中， EDC 80° 40°40°，所以 EC DE所以 BC BE ECBD AD 三、結(jié)論類似于圓冪定理的形式時作輔助圓例 6 如圖

5、，在 ABC 中， AB AC 3 ， D 是邊 BC 上的一點，且A ，求 BD·DC 的值FABDCE解析： 以點 A 為圓心、 AB 為半徑作 A ，交直線 AD 于點 E、 F，則點 C 在 A上， DE 3 1，DF 3 1由相交弦定理，得BD·DC DE·DF ( 3 1)( 31) 2例 7 如圖，在 ABC 中， DAB C， B 的平分線 BN 交 AD 于 M 求證：（ 1） AM AN ；（ 2） AB 2 AN 2BM·BN FANEMBDC解析： （ 1）略；（ 2）由（ 1），得 AM AN 以點 A 為圓心、 AM 為半徑作

6、 A，交 AB 于 E，交 BA 的延長線于 F，則 N 在 A 上，且 AE AF AN 由割線定理，得BM·BN BE·BF (AB AE)(AB AF) (AB AN)(AB AN) AB 2 AN 2，即 AB 2 AN 2 BM·BN 四、探究動點對定線段所張的角時作輔助圓-3精選文庫例 8 如圖，在直角梯形ABCD 中， AB DC ， B 90°，設 AB a， DC b，AD c，當 a、 b、 c 之間滿足什么關系時，在直線BC 上存在點P，使 AP PD？解析： 以 AD 為直徑作 O，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當O 與直線 BC有

7、公共點（相切或相交）時，在直線BC 上存在點 P，使 AP PD因為 O 的半徑r ADc ，圓心 O 到直線 BC 的距離 d AB DCa b 所以，當 dr，即2222a bc時，在直線 BC 上存在點P，使 AP PD例 9 如圖，在平面直角坐標系xOy 中，給定 y 軸正半軸上的兩點A (0， 2)、B(0 ，8)，試在 x 軸正半軸上求一點C，使 ACB 取得最大值。解析： 經(jīng)過A 、 B 、 C 三點作M ，設 M的半徑為R ，由正弦定理，得AB6sin ACB2R2R由此可見，當R 取得最小值時， ACB 取得最大值而當點M 與 x 軸的相切于點 C 時， R 取得最小值根據(jù)切

8、割線定理，得OC2 OB·OA ，所以 OC 4故當點 C 的坐標為(4， 0)時， ACB 取得最大值例 10 已知 RtABC 中， AC 5， BC 12， ACB 90°， P 是邊 AB 上的動點， Q 是邊 BC 上的動點，且 CPQ 90°，求線段 CQ 的取值范圍-4精選文庫APCOQB解析： 以 CQ 為直徑作 O，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，若AB 邊上的動點P 在圓上， CPQ 就為直角當 O 與 AB 相切時，直徑CQ 最小由切線長定理，得APAC 5，所以 BP 135 8再根據(jù)切割線定理，得BP2 BQ·BC，所以BQ 16

9、， CQ 20 33當點 Q 與點 B 重合時，直徑CQ 最大，此時20綜上所述， CQ 12五、四點共圓判斷四點共圓的常用方法有（1）對角互補的四邊形的四個頂點共圓；（2）同底同側(cè)頂角相等的兩個三角形的四個頂點共圓判斷四點共圓后，就可以借助過這四點的輔助圓解題例 11 如圖， E 是正方形ABCD的邊 AB上的一點，過點E 作 DE 的垂線交 ABC 的外角平分線于點F，求證： FE DE DCFAEB解析： 連接 DB 、 DF 因為 CBF 45°， DBC 45°，所以 DBF 90°又 DEF 90°，所以D、 E、 B、F 四點共圓，所以DF

10、E DBE 45°，所以FE DE例 12 如圖等邊 PQR 內(nèi)接于正方形 ABCD ，其中點 P、 Q、 R 分別在邊 AD 、 AB 、DC 上， M 是 QR 的中點，求證：不論等邊 PQR 怎樣運動，點 M 為不動點-5精選文庫APDQRMBC解析： 連接 PM 、 AM 、 DM ，因為M 是 QR 的中點，所以 PMQ 90°又PAQ 90°，所以A 、 Q、 M 、 P 四點共圓，所以 MAP MQP 60°同理， MDP 60°所以 MAD 是等邊三角形，即點 M 為不動點例 13 如圖，正方形 ABCD 的中心為 O，面積為 1989，P 為正方形內(nèi)的一點，且 OPB 45°，PA PB 5 1