專題訓(xùn)練螞蟻爬行的最短路徑

1、螞蟻爬行的最短路徑1一只螞蟻從原點(diǎn) 0出發(fā)來(lái)回爬行，爬行的各段路程依次為：+5, -3 , +10,-8 , -9 , +12,-10 回答下列問(wèn)題：(1) 螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)0;(2) 在爬行過(guò)程中，如果每爬一個(gè)單位長(zhǎng)度獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故沒(méi)有回到 0;(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10|)X 2=114 粒2. 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是AB即為最短路線.第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短

2、”知，線段A呼.22 12 .一 5 3. (2006?茂名)如圖，點(diǎn) A B分別是棱長(zhǎng)為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn) B的最短路程是cm解：由題意得，從點(diǎn) A沿其表面爬到點(diǎn) B的最短路程是兩個(gè)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)，即2+2=4.4. 如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點(diǎn)處沿著表面爬行到點(diǎn)上面的B點(diǎn)處，它爬行的最短路線是（A.A?P?B BA?Q?BC.A?R?B D.A?S? B解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知選A.故選A.5. 如圖，點(diǎn) A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為2,螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn) B的最短路程是（）2 2 解：如圖，AB=1 2 12

3、 . 10 .故選C6. 正方體盒子的棱長(zhǎng)為 2,BC的中點(diǎn)為M 一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）解：展開正方體的點(diǎn) M所在的面，/ BC的中點(diǎn)為M1所以MC丄BC=1,2在直角三角形中 AM=.7. 如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是棱長(zhǎng)為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個(gè)中心，一只螞蟻在盒子表面由A處向B處爬行，所走最短路程是 cmt解：將盒子展開，如圖所示：111 1AB=CD=DF+FC=EF+ GF= x 20+ x 20=20cm2 2 2 2故選C.8. 正方體盒子的棱長(zhǎng)為2, BC的中點(diǎn)為 M, 只螞蟻從 A點(diǎn)爬行到 M點(diǎn)的最短距離為解：將正方體展開，連接 M D1,根據(jù)兩點(diǎn)之間線

4、段最短，MDMCCD=1+2=3,MD= . MD2 DD, . 32 2213 .9. 如圖所示一棱長(zhǎng)為 3cm的正方體，把所有的面均分成 3X3個(gè)小正方形.其邊長(zhǎng)都為1cm 假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm則它從下底面點(diǎn) A沿表面爬行至側(cè)面的 B點(diǎn)，最少要用 秒鐘.解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線.(1) 展開前面右面由勾股定理得 AB= = cm(2) 展開底面右面由勾股定理得 AB= =5 cm所以最短路徑長(zhǎng)為 5cm用時(shí)最少：5十2=秒.10. (2009?恩施州)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,一

5、只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是 。解：將長(zhǎng)方體展開，連接 A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB= =25 .11. 如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C處(三條棱長(zhǎng)如圖所示)，問(wèn)怎樣走路線最短最短路線長(zhǎng)為.解：正面和上面沿 AB展開如圖，連接 AG,A ABC是直角三角形,-Ag”AB2 BG2 押 1 22 J42 32512. 如圖所示：有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米，高為3米的長(zhǎng)方體紙盒，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。解：由題意得，路徑一：AB=；路徑二：AB= =5 ；路徑三：AB=; > 5,5

6、米為最短路徑.13. 如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4cm底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形.一只螞蟻從頂點(diǎn) A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn)B.求：(1 )螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程；(2 )螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長(zhǎng)路程.解：(1) AB的長(zhǎng)就為最短路線.然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過(guò)的路程為(cm>；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過(guò)的路程為(cm,或(cm所以螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是cm(2)5cn+4cn+5cn+4cn+3cn+4cm+5cm=30cm最長(zhǎng)路程是30cm.14. 如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為 50cm寬為40cm高為30cm的長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn) A處有一只螞蟻， 它要爬到頂點(diǎn)B處去

7、覓食，最短的路程是多少解：圖1中，cm圖2中，cm圖3中，cm采用圖3的爬法路程最短，為cm15. 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm 8cm 4cm 一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B.則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是 。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm則所走的最短線段是 =6 cm第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm，所以走的最短線段是 =cm；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm所以走的最短線段是 =2 cm三種

8、情況比較而言，第二種情況最短.16. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm 3cm 2cm A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)， 點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物， 則螞蟻沿著臺(tái)階 面爬行到點(diǎn)B的最短路程為 cm解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20cm,寬為(2+3)X3 cm,則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到 B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到 B點(diǎn)最短路程為xcm,2 2 2 2由勾股定理得：x =20 + ( 2+3)X 3 =25 ,解得x=25.故答案為25.5cm, 3cm 和 1cm A 和 B17如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬

9、和高分別等于是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物請(qǐng)你想一想,這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到 B點(diǎn)，最短線路是 cm>解：將臺(tái)階展開，如下圖，因?yàn)?AC=3X 3+1X 3=12, BC=5, 所以 AB=AC+BC=169,所以 AB=13 (cm),所以螞蟻爬行的最短線路為13 cm答：螞蟻爬行的最短線路為13cm18. ( 2011?荊州)如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q點(diǎn)，則螞奴爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm解：/ PA=2X( 4+2) =12, QA=5 PC=13.故答案為：1

10、3.19. 如圖，一塊長(zhǎng)方體磚寬 AN=5cm,長(zhǎng)ND=10cm CD上的點(diǎn)B距地面的高 BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到 B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少解：如圖1,在磚的側(cè)面展開圖 2上，連接AB則AB的長(zhǎng)即為A處到B處的最短路程.解：在 RtAABD中,因?yàn)?AD=AN+ND=5+10=15, BD=8,2 2 2 2 2 2所以 AB=AD+BD=15 +8 =289=17 .所以 AB=17cm故螞蟻爬行的最短路徑為17cm20. （2009?佛山）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙），有一只螞蟻從柜角 A處沿著木柜表面爬到柜角 C處.（1）請(qǐng)你畫出螞蟻

11、能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）當(dāng)AB=4, B（=4, CG=5時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)；（3）求點(diǎn)B到最短路徑的距離.解：（1）如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形ABC1D和ACCA.故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC 1和AC.（ 2分）（2） 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段AB到C,爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是 .（3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB到C,爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是 .（4分）l 1> 12,故最短路徑的長(zhǎng)是.（5分）（3）作BE丄AC于E,則？為所求.（8分）21有一圓柱體如圖，高 4cm底面半徑5cm A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離解：AC的長(zhǎng)就是螞

12、蟻爬行的最短距離.C, D分別是BE, AF的中點(diǎn).AF=2 n ? 5=10 n . AD=5 n .； 2 2AG= . AD CD - 16cm故答案為：16cm22. 有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m高為6m 一只老鼠從距底面 1m的 A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為第3題解：AB= .、5212213m23. 如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA的端點(diǎn)A到達(dá)A,若圓柱底面半徑為 -， 高為5,則螞蟻爬行的最短距離為解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2n X =12,高為5,所以將側(cè)面展開為一長(zhǎng)為12,寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長(zhǎng)為=13 .故螞蟻爬行的最短距離為13

13、.24. 如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm高AB為9cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為 24cm1則 AD=24X =12cm2又因?yàn)镃DAB=9cm所以 AC =15 cm故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm故答案為：15.25. （ 2006?荊州）有一圓柱體高為 10cm底面圓的半徑為 4cm AA, BB為相對(duì)的兩條母 線.在AA上有一個(gè)蜘蛛 Q QA3cm 在BB上有一只蒼蠅 P, PB=2cm蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬 到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是cm （結(jié)果用帶 n

14、和根號(hào)的式子表示）解：QA=3, PB=2,即可把PQ放到一個(gè)直角邊是 4n和5的直角三角形中,根據(jù)勾股定理得：Qf=26. 同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從 A處爬行到對(duì)面的中點(diǎn)B處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖.問(wèn)題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從 A處爬行到側(cè)棱 GF上的中點(diǎn)M點(diǎn)處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖.解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖示，則A、B分別位于如圖所示的位置，連接AB即是這條最短路線圖.如圖，將正方體中面 ABCD面CBFG開成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖示，則A、M分別位于如圖所示的位置，連接

15、AM即是這條最短路線圖.27如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm假若點(diǎn)B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點(diǎn) P處的食物，那么它爬行的最短路程是.解：圓錐的底面周長(zhǎng)是n 4180 n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180 在圓錐側(cè)面展開圖中 AF=2, AB=4,Z BAF=90°,在圓錐側(cè)面展開圖中BF= ,20 2.5 , 這只螞蟻爬行的最短距離是 2 5 cm.故答案是：25 cm28.如圖，圓錐的底面半徑R=3dm,母線l=5dm AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，/ COB150。，D為VB上一點(diǎn)，VD： 現(xiàn)有一只螞蟻，沿

16、圓錐表面從點(diǎn)C爬到D.則螞蟻爬行的最短路程是（）解：=,設(shè)弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n,=解得n=90,/ CVD90。， CD= =4 ,29已知圓錐的母線長(zhǎng)為 5cm,圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且/AOZ=120°, 一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn) A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A.則螞蟻爬行的最短路程長(zhǎng)為 。解：連接AA ,作OCL AA'于C,圓錐的母線長(zhǎng)為 5cm, / AOA=120°, AA =2AC=5 .3 .30. 如圖，底面半徑為1,母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是第4題解：由題意知，底面圓的

17、直徑為2,故底面周長(zhǎng)等于2n .設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°,根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得，2 4 °180解得n=90°,所以展開圖中圓心角為90°，根據(jù)勾股定理求得到點(diǎn) A的最短的路線長(zhǎng)是：. 16 16 , 32 4、2 .A點(diǎn)出發(fā),31. （ 2006?南充）如圖，底面半徑為1,母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從繞側(cè)面一周又回到 A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是 。解：由題意知底面圓的直徑 =2,故底面周長(zhǎng)等于2n .設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°,4n根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得2 n =-180解得n=90

18、6;,所以展開圖中的圓心角為90°,根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長(zhǎng)為4 . 2 .32. （2009?樂(lè)山）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長(zhǎng)為6, D為PB的中點(diǎn).一只解：由題意知，底面圓的直徑AB=4,故底面周長(zhǎng)等于4 n .2n 6360設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得解得 n=120°,所以展開圖中/ APt=120°- 2=60°, 根據(jù)勾股定理求得 AD= 3.3 , 所以螞蟻爬行的最短距離為 3. 3 .33. 如圖，圓錐底面半徑為 r,母線長(zhǎng)為3r,底面圓周上有一螞蟻位于 A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā) 沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑.解：把圓錐沿過(guò)點(diǎn) A的母線展成如圖所示扇形, 則螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為 AA (線段).由此知：OAOA =3r,的長(zhǎng)為2 nr.&