實變函數(shù)直播課程學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1實變函數(shù)直播實變函數(shù)直播(zhb)課程課程第一頁，共74頁。第1頁/共73頁第二頁，共74頁。第2頁/共73頁第三頁，共74頁。第3頁/共73頁第四頁，共74頁。第4頁/共73頁第五頁，共74頁。 第5頁/共73頁第六頁，共74頁。第6頁/共73頁第七頁，共74頁。第7頁/共73頁第八頁，共74頁。第8頁/共73頁第九頁，共74頁。比如比如(br)(br)，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有具有(jyu)(jyu)什么性什么性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變呢？如果改變(gibin)(gibin)積分的定義，可積分條積分的定義，可積分條件又是什么樣的

2、？連續(xù)函數(shù)不一定件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，那么可導(dǎo)的充分必要條件又是可導(dǎo)，那么可導(dǎo)的充分必要條件又是什么樣的？什么樣的？ 第9頁/共73頁第十頁，共74頁。第10頁/共73頁第十一頁，共74頁。第11頁/共73頁第十二頁，共74頁。第12頁/共73頁第十三頁，共74頁。第13頁/共73頁第十四頁，共74頁。什么什么(shn me)(shn me)是是測度測度(c du)(c du)呢？簡單地說，呢？簡單地說，線線段的長度段的長度(chngd)(chngd), ,平面平面圖形圖形的的面積面積, ,空間空間立立體體的的體積體積就是它的測度。就是它的測度。測度的概念測度的概念對于實變函數(shù)論

3、十分重要。集合的測對于實變函數(shù)論十分重要。集合的測度這個概念是由法國度這個概念是由法國 數(shù)學(xué)家勒貝格數(shù)學(xué)家勒貝格提出來的。提出來的。 第14頁/共73頁第十五頁，共74頁。第15頁/共73頁第十六頁，共74頁。第16頁/共73頁第十七頁，共74頁。第17頁/共73頁第十八頁，共74頁。第18頁/共73頁第十九頁，共74頁。第19頁/共73頁第二十頁，共74頁。數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(sh xu fn x)中最重要的概念之中最重要的概念之一是黎曼積分。從黎曼積分的記號一是黎曼積分。從黎曼積分的記號 dxxfba可以看出，它含有可以看出，它含有(hn yu)兩個要素及一個運算兩個要素及一個運算 （1）積

4、分）積分(jfn)區(qū)間區(qū)間 （2）被積函數(shù)被積函數(shù) （3）積分運算積分運算 xfba,第20頁/共73頁第二十一頁，共74頁。第21頁/共73頁第二十二頁，共74頁。本課程本課程(kchng)(kchng)的中心內(nèi)容：的中心內(nèi)容： 推廣黎曼積分為勒貝格積分推廣黎曼積分為勒貝格積分記號記號(j ho)(j ho)： dxxfE注意注意 這里這里E E是歐幾里德是歐幾里德(Euclid)(Euclid)空間的空間的點集，點集， 不必是區(qū)間，不必是區(qū)間， 是可測函數(shù)，而積是可測函數(shù)，而積分運分運 算依賴所考慮算依賴所考慮(kol)(kol)的測度。的測度。 xf第22頁/共73頁第二十三頁，共74頁

5、。第23頁/共73頁第二十四頁，共74頁。第一章第一章 集集 合合 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 集合及其運算集合及其運算 集的對等及其基數(shù)集的對等及其基數(shù)第24頁/共73頁第二十五頁，共74頁。 基本基本(jbn)要求要求 1 理解理解(lji)集的概念，分清集的元與集的歸屬關(guān)系，集的概念，分清集的元與集的歸屬關(guān)系，集與集之間的包含集與集之間的包含(bohn)關(guān)系的區(qū)別。關(guān)系的區(qū)別。2 掌握掌握集之間的并、交、差、余運算。集之間的并、交、差、余運算。3 掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。4 理解集列的收斂、單調(diào)集列的概念。理解集列的收斂、單調(diào)集列的概念。5

6、掌握掌握映射，兩集合對等及集合基數(shù)等概念。映射，兩集合對等及集合基數(shù)等概念。6 理解伯恩斯坦定理（不要求掌握證明），能利用理解伯恩斯坦定理（不要求掌握證明），能利用定義及伯恩斯坦定理證明兩集合對等。定義及伯恩斯坦定理證明兩集合對等。7 理解可數(shù)集，不可數(shù)集的意義，理解可數(shù)集，不可數(shù)集的意義，掌握掌握可數(shù)集、可數(shù)集、基數(shù)為基數(shù)為C的集合的性質(zhì)，理解不存在最大基數(shù)的定理的集合的性質(zhì)，理解不存在最大基數(shù)的定理的意義。的意義。 第25頁/共73頁第二十六頁，共74頁?？蓴?shù)集的性質(zhì)可數(shù)集的性質(zhì)(xngzh)(xngzh)任何無限集必含有任何無限集必含有(hn yu)(hn yu)可數(shù)子集可數(shù)子集可數(shù)集的

7、子集可數(shù)集的子集(z j)(z j)至多是可數(shù)的。至多是可數(shù)的。即或為有限即或為有限集或為可數(shù)集。集或為可數(shù)集。可數(shù)個可數(shù)集的并可數(shù)個可數(shù)集的并集是可數(shù)集。集是可數(shù)集。第26頁/共73頁第二十七頁，共74頁。 A=nxxxa,21LL,( )( )()nkxxxkkk., 2, 1;,21LL=則則 A A 為可數(shù)集。為可數(shù)集。第27頁/共73頁第二十八頁，共74頁。11|0|nnxxxx例例1：證明：證明(zhngmng)第28頁/共73頁第二十九頁，共74頁。 ./1,/1, 1/1, 01|0|1nxxnxnxnxxxxn 從而從而則則令令：顯然。顯然。：第29頁/共73頁第三十頁，共7

8、4頁。？真真子子集集之之間間的的一一一一對對應(yīng)應(yīng)一一個個怎怎樣樣建建立立無無限限集集與與它它的的例例2第30頁/共73頁第三十一頁，共74頁。 是一一映射。是一一映射。則則時。時。當(dāng)當(dāng)）時，）時，（當(dāng)當(dāng)，作映射作映射。令令是互不相同的元素。是互不相同的元素。取取是一個無限集，是一個無限集，設(shè)設(shè)fXXxxnxxxxfxXXfxxxXXxxxXnnnn 01121021, 3 , 2 , 1,)(:,LLLLL第31頁/共73頁第三十二頁，共74頁。例例3：證明：證明(zhngmng)成之集是至多可數(shù)集。成之集是至多可數(shù)集。間所間所直線上互不相交的開區(qū)直線上互不相交的開區(qū)第32頁/共73頁第三十三

9、頁，共74頁。的。的。是至多可數(shù)是至多可數(shù)從而從而的一一映射，的一一映射，的子集的子集到到是從是從則則建立映射建立映射）（數(shù)數(shù)取有理取有理）（所成之集。所成之集。區(qū)間區(qū)間是直線上互不相交的開是直線上互不相交的開設(shè)設(shè)OQOfybaQOfbayObaO,),(,:, 第33頁/共73頁第三十四頁，共74頁。直播直播(zhb)課程二課程二第34頁/共73頁第三十五頁，共74頁。例例4：為為可可數(shù)數(shù)集集。則則成成的的集集合合。以以有有理理數(shù)數(shù)為為半半徑徑的的圓圓組組心心，為為平平面面上上以以有有理理點點為為中中設(shè)設(shè)AA第35頁/共73頁第三十六頁，共74頁。 。其其中中QrbarbyaxRyxrbaO

10、OAO ,)()( |),(),(,2222第36頁/共73頁第三十七頁，共74頁。第二章第二章點點 集集 主要主要(zhyo)(zhyo)內(nèi)容內(nèi)容 度量度量(dling)(dling)空間、空間、n n維歐氏空間維歐氏空間(kngjin)(kngjin)簡介簡介聚點、內(nèi)點、界點等概念聚點、內(nèi)點、界點等概念開集、閉集、完備集。開集、閉集、完備集。直線上的開集、閉集及完備集的構(gòu)造。直線上的開集、閉集及完備集的構(gòu)造。第37頁/共73頁第三十八頁，共74頁。1 明確明確(mngqu)n維歐氏空間中極限維歐氏空間中極限(jxin)概念主要依概念主要依賴于距離這個概念，從而賴于距離這個概念，從而(cng

11、 r)了解鄰域概念在極了解鄰域概念在極限理論中的作用。限理論中的作用。2 理解聚點，孤立點、內(nèi)點、外點、界理解聚點，孤立點、內(nèi)點、外點、界點的意義，掌握有關(guān)性質(zhì)。點的意義，掌握有關(guān)性質(zhì)。3 理解開集、閉集、完備集的意義，掌理解開集、閉集、完備集的意義，掌握其性質(zhì)。握其性質(zhì)。4 理解直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)理解直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造。造。5 理解康托集的構(gòu)造、特性。理解康托集的構(gòu)造、特性?；疽蠡疽蟮?8頁/共73頁第三十九頁，共74頁。例例1沒沒有有極極限限點點。則則界界是是正正的的，相相異異兩兩點點的的距距離離的的下下確確，其其所所有有已已知知某某一一平平面面點點集集EE第

12、39頁/共73頁第四十頁，共74頁。 矛盾。矛盾。與與且且。這樣。這樣性質(zhì)，存在性質(zhì)，存在，根據(jù)聚點的，根據(jù)聚點的，則存在，則存在有聚點有聚點若若。設(shè)設(shè)rxxdrxxdxxdxxdxxdxxxExxdxBxxErxBxxEEyxyxyxdr ),(,43),(23),(),(),()2/ ),(;()2/;(0,| ),(inf210120012112001020010第40頁/共73頁第四十一頁，共74頁。例例2的一點。的一點。中中收斂于收斂于中任何一個收斂點列必中任何一個收斂點列必為閉集的充要條件是：為閉集的充要條件是：點集點集AAA第41頁/共73頁第四十二頁，共74頁。是是閉閉集集。故

13、故因因此此，從從而而則則存存在在：設(shè)設(shè)。則則是是閉閉集集，若若設(shè)設(shè)的的一一點點。中中收收斂斂于于中中任任何何一一個個收收斂斂點點列列必必為為閉閉集集的的充充要要條條件件是是：點點集集AAAAxxxnAxAxAAAAxxxnAxAAAAnnnn, 3, 2 , 1, , 3, 2 , 1,: LL第42頁/共73頁第四十三頁，共74頁。 主要主要(zhyo)內(nèi)容內(nèi)容 外測度外測度(c du)及其性質(zhì)。及其性質(zhì)。 Lebesgue可測集及其性質(zhì)可測集及其性質(zhì)(xngzh)。 基本要求基本要求 理解測度的意義。理解測度的意義。 理解外測度的意義，理解外測度的意義，掌握掌握其有關(guān)性質(zhì)。其有關(guān)性質(zhì)。 理

14、解可測集的定義，理解可測集的定義，掌握掌握可測集的性質(zhì)可測集的性質(zhì)。了解并掌握不可測集的存在性這一結(jié)論。了解并掌握不可測集的存在性這一結(jié)論。第43頁/共73頁第四十四頁，共74頁。測。測。零測集及其任何子集可零測集及其任何子集可例例1 1例例2 2零測集。零測集。單調(diào)函數(shù)的間斷點集是單調(diào)函數(shù)的間斷點集是第44頁/共73頁第四十五頁，共74頁。的間斷點集是零測集。的間斷點集是零測集。單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)而可數(shù)集是零測集，故而可數(shù)集是零測集，故可數(shù)集，可數(shù)集，單調(diào)函數(shù)的間斷點集是單調(diào)函數(shù)的間斷點集是第45頁/共73頁第四十六頁，共74頁。?00 EmmE能否推出能否推出例例3第46頁/共73頁第四十七

15、頁，共74頁。但但例如：例如：否。否。0, 0 QmmQ第47頁/共73頁第四十八頁，共74頁。的真子集，且的真子集，且為為設(shè)設(shè)0*1 EmRE中是否必含有區(qū)間？中是否必含有區(qū)間？E例例4 4第48頁/共73頁第四十九頁，共74頁。不含區(qū)間。不含區(qū)間。但但例如：例如：否。否。EmECQE, 0, 第49頁/共73頁第五十頁，共74頁。的真子集，的真子集，是開集是開集若開集若開集21GG?21mGmG 是否一定有是否一定有例例5 5第50頁/共73頁第五十一頁，共74頁。)1 , 1(),1 , 0()0 , 1(21 GG第51頁/共73頁第五十二頁，共74頁。EmRE*1有界，則必有有界，則

16、必有若若 ， 其逆不真。其逆不真。例例6 6第52頁/共73頁第五十三頁，共74頁。無界。無界。但是，但是，反之，不成立。例如：反之，不成立。例如：。從而從而使得使得則存在實數(shù)則存在實數(shù)有界，有界，若若QQmabEmbaEbaE, 0*),(, 第53頁/共73頁第五十四頁，共74頁。無界可測，是否必有無界可測，是否必有若若1RE 呢？呢？或或0 mEmE例例7 7第54頁/共73頁第五十五頁，共74頁。無界，但是無界，但是否。例如：否。例如：0 mQQ第55頁/共73頁第五十六頁，共74頁。 mGG，是是否否有有對對任任一一開開集集?Gm例例8 8第56頁/共73頁第五十七頁，共74頁。第四

17、章第四章可可 測測 函函 數(shù)數(shù) 主要主要(zhyo)內(nèi)容內(nèi)容可測函數(shù)可測函數(shù)(hnsh)及其性質(zhì)。及其性質(zhì)。葉果洛夫葉果洛夫(lu f)定理。定理。 可測函數(shù)的構(gòu)造?？蓽y函數(shù)的構(gòu)造。依測度收斂。依測度收斂。第57頁/共73頁第五十八頁，共74頁。 基本基本(jbn)(jbn)要求要求 1 1 掌握可測函數(shù)掌握可測函數(shù)(hnsh)(hnsh)的定義及等價定義。的定義及等價定義。2 2 掌握掌握(zhngw)(zhngw)可測函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)?？蓽y函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。3 3 理解簡單函數(shù)的定義，理解簡單函數(shù)的定義，掌握掌握可測函數(shù)可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系。與簡單函數(shù)的關(guān)系。4 4 掌握掌握可測函數(shù)列的收

18、斂點集和發(fā)散點可測函數(shù)列的收斂點集和發(fā)散點集的表示集的表示方法。方法。 5 5 掌握掌握葉果洛夫定理，魯津定理。葉果洛夫定理，魯津定理。6 6 理解依測度收斂的意義，理解依測度收斂的意義，掌握掌握依測度收依測度收斂與斂與a ae e 收斂的聯(lián)系與區(qū)別。收斂的聯(lián)系與區(qū)別。第58頁/共73頁第五十九頁，共74頁。第59頁/共73頁第六十頁，共74頁。測測嗎嗎？上上的的常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)均均可可任任何何點點集集 E例例1 1第60頁/共73頁第六十一頁，共74頁。數(shù)就不可測。數(shù)就不可測。的常值函的常值函否。例如：不可測集上否。例如：不可測集上第61頁/共73頁第六十二頁，共74頁。可可測測，其其可可測

19、測，則則若若afEf 逆不真。逆不真。例例2 2第62頁/共73頁第六十三頁，共74頁。不可測。不可測。測，但測，但單點集或空集，當(dāng)然可單點集或空集，當(dāng)然可為為。則。則是不可測集。令是不可測集。令否。例如：設(shè)否。例如：設(shè)fafEExxxfE,)( 第63頁/共73頁第六十四頁，共74頁。可測能否推可測能否推或或從從| )(|)(2xfxf可測呢？可測呢？出出)(xf例例3 3第64頁/共73頁第六十五頁，共74頁。不可測。不可測。均可測，但均可測，但和和則則是不可測集。令是不可測集。令否。例如：設(shè)否。例如：設(shè)fxfxfCExExxfE1| )(|1)(, 1, 1)(2 第65頁/共73頁第六

20、十六頁，共74頁。第五章第五章積積 分分 論論 主要主要(zhyo)內(nèi)容內(nèi)容 黎曼積分的簡單黎曼積分的簡單(jindn)回顧?；仡?。 勒貝格積分的建立勒貝格積分的建立(jinl)和性質(zhì)。和性質(zhì)。 積分的極限定理。積分的極限定理。 有界變差函數(shù)。有界變差函數(shù)。 不定積分與絕對連續(xù)函數(shù)。不定積分與絕對連續(xù)函數(shù)。第66頁/共73頁第六十七頁，共74頁。 基本基本(jbn)要求要求 1 1 了解黎曼可積的充要條件是被積函數(shù)了解黎曼可積的充要條件是被積函數(shù)(hnsh)(hnsh)幾乎處處幾乎處處連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)（不要求掌握證明）。（不要求掌握證明）。 2 2 理解勒貝格積分的定義及其建立

21、過程。理解勒貝格積分的定義及其建立過程。 3 3 理解理解R R積分與積分與L L積分的關(guān)系。積分的關(guān)系。 4 4 理解理解L L積分的性質(zhì)，特別是掌握積分的性質(zhì)，特別是掌握L L積分的絕對積分的絕對可積性和絕對連續(xù)性。可積性和絕對連續(xù)性。 5 5 掌握掌握勒貝格控制收斂定理、列維定理、逐項積勒貝格控制收斂定理、列維定理、逐項積分定理、積分的可數(shù)可加性定理，法都引理。分定理、積分的可數(shù)可加性定理，法都引理。 6 6 理解有界變差函數(shù)及全變差的定義，掌握其性理解有界變差函數(shù)及全變差的定義，掌握其性質(zhì)。質(zhì)。 7 7 理解有界變差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)。理解有界變差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)。 8 8理解不定積分與絕對連續(xù)函數(shù)的意義。理解不定積分與絕對連續(xù)函數(shù)的意義。 第67頁/共73頁第六十八頁，共74頁。例例 1、 設(shè)設(shè) ( )=的有理數(shù)的有理數(shù)，是是的無理數(shù)的無理數(shù)，是是10102xxxxxf問問( )10，在在xf上上 是是 否否 黎曼黎曼可可 積積 ？ 是是 否否 勒貝格可勒貝格可積積 ？若可積，則計算其？若可積，則計算其積積 分值。分值。 第6