矢量分析和場論2-4

1、2.4 矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度 ldAl環(huán)量. 1 . 4 . 2為封閉的有向曲線矢量場lMA),(.的環(huán)量叫做矢量場沿曲線lldFWFll所做的功運轉(zhuǎn)一周，場力如，當質(zhì)點沿封閉曲線ldvQllt正向流動的環(huán)流內(nèi)，沿閉路如，流速場中單位時間在直角坐標系中kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(kdzjdyidxkztdljytdlixtdlld),cos(),cos(),cos(的方向余弦，的切向矢量為lztytxt),cos(),cos(),cos(llRdzQdyPdxldA則 解：解： lldA為星形線例ljxiyA,. 133sin,cosRyRx.正向的環(huán)量求

2、矢量場沿llxdyydx203333)sin(cos)cos(sinRdRRdR20222cossin3dR2022022)4cos1 (832sin43dRdR.432R.0,)2(. 2222正向的環(huán)量為常數(shù)）沿求例zRyxckcjxiyA解：解： 由于在曲線l上z=0，所以dz=0。 dlAlxdyydx)()sin()cos2()cos2(sin2020RdRRdRdRRdRcos)cos2(sin202220dRRcos2)cos(sin22220dRR)cos2(22022 R（2）環(huán)量面密度）環(huán)量面密度設(shè)設(shè) 為矢量場為矢量場 中的一點，在中的一點，在 點處取定一個點處取定一個方向

3、方向 ，再過，再過 任作任作 一微小曲面一微小曲面 ，以，以 為為其在其在 點的法矢，以點的法矢，以 表曲面面積，其周界表曲面面積，其周界 之正向取作與之正向取作與 構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場沿沿 正向的環(huán)量正向的環(huán)量 與面積與面積 之比，當曲面之比，當曲面 在保持在保持 點于其上的條件下，沿著自身縮向點于其上的條件下，沿著自身縮向 點時，若點時，若 的極限存在，則稱其為矢量場的極限存在，則稱其為矢量場 在在 點處沿方向點處沿方向 的環(huán)量面密度，記做的環(huán)量面密度，記做 ，即即MMMMMMAnSlSnnASSlnnMS.limlimSldAScMSMSn式）環(huán)量面密度的

4、計算公（3cos)(cos)(cos)(limyxxzzyMSnPQRPQRS）處，（在求例12122. 3423MkyzjyzxixzAkjin326沿.的環(huán)量面密度.71873872376273) 04(72) 03 (76)22(224MMnxyzxzyxz73cos,72cos,76cos解：解： 2旋度旋度 （1）旋度的定義：）旋度的定義： 值點處環(huán)量面密度的最大模：度取最大值點處沿該方向環(huán)量面密方向：MMArot在直角坐標系中，有在直角坐標系中，有 kPQjRPiQRArotyxxzzy)()()(或或 RQPzyxkjirotA例例4求矢量場求矢量場kexyjzizxyAy222

5、2sin的旋度。的旋度。 解：解： kxyzjezyxiyzexkzxyyyzxjexxzxyziyzzexyexyzzxyzyxkjirotAyyyyy2222222222222222)(2)sin2()()sin()()()sin()(sinkxyjzxiyzxyzzxyyzxzyxkjiArot)()()()()()(解：.362) 1 , 0 , 1 ()()()(. 5環(huán)量面密度方向的處的旋度及沿在求例kjinMkxyzjzxyiyzxA在點M(1，0，1)處的旋度 kjiArotM2n方向的單位矢量 kjikjin737672)362(3621222在點M(1，0，1)處沿n方向的

6、環(huán)量面密度 7177327672nrotAM矢量場矢量場A的雅可比矩陣的雅可比矩陣 zRyRxRzQyQxQzPyPxPDA（2）旋度運算的基本公式）旋度運算的基本公式 為常數(shù)）ccrotAcArot( ,)(rotBrotABArot）（為數(shù)性函數(shù)），（）（uAgraduurotAuArotrotBArotABBAdiv ）（0）（gradurot0）（rotAdiv（1） （2）（3）（4）（5）（6）1、求矢量場、求矢量場kxyjzxiyzA222的散度和旋度。的散度和旋度。 2、求矢量場、求矢量場kzyjzyxiyxA)62()24()2(的旋度。的旋度。 2.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 cSldASdArot)( 因為旋度代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所