三角函數(shù)的最值

1、三角函數(shù)的最值(專題)知識要點(diǎn)1、配方法求最值主要是利用三角函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，如求函數(shù)y sin2 x sin x 1的最值，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù) y t2 t 1,t1,1上的最值問題。2、 化為一個(gè)角的三角函數(shù)(利用輔助角公式)，再利用有界性求最值：' 22basinx bcox a b sin(x )，其中 tan =.a3、y asin x b(或 y acosxb)型，解出 sinx (或 cosx)利用 |sinx|1 (或csi nx dccosxd| cos x | 1)去解；或用分離常數(shù)的方法去解決4、數(shù)形結(jié)合形如：y asin

2、x b (或y acosx b)型，可化歸為Sin(x ) g(y)去處理； ccosx dcsi nx d或用萬能公式換元后用判別式法去處理；當(dāng) a c時(shí)，還可以利用數(shù)形結(jié)合的方法去處理.sinxsin x常用到直線斜率的幾何意義，例如求函數(shù)y的最大值和最小值。函數(shù)ycox 2cox 2的幾何意義為兩點(diǎn) P( 2,0), Q(cosx,sin x)連線的斜率k，5、換元法求最值對于表達(dá)式中 同時(shí)含有sin x+cosx ，與sin xcosx 的函數(shù)，運(yùn)用 關(guān)系式2si nx cosx 1 2sin xcosx, 一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范

3、圍。*特別說明注意變換前后函數(shù)的等價(jià)性，正弦、余弦的有界性及函數(shù)定義域?qū)ψ钪荡_定的影響，含參數(shù)函數(shù)的最值，解題要注意參數(shù)的作用和影響。、題型剖析1化為一個(gè)角的三角函數(shù)，再利用有界性求最值。例1求函數(shù)y sin2x3sinxcosx 1的最值，并求取得最值時(shí)的x值。練習(xí)：1、已知函數(shù)。(I)求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；2已知函數(shù).(I)求函數(shù)的最大值;3.已知函數(shù) f (x) 4cos xsin(x )1。6(I)求f(x)的最小正周期；(n)求f (x)在區(qū)間孑4上的最大值和最小值。2、轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題。例2已知函數(shù)。(I)求的值；(n)求的最大值和最小值。練

4、習(xí):4上的最小值?1、求函數(shù) f (x) =cos2x+sinx 在區(qū)間 n ,42、函數(shù)y sin2x 3cosx 3的最小值為().1A.2 B . 0 C . D 643、求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值2534、是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y sin2 x acosx a 在閉區(qū)間0, 上的最大8 2 2值是1?若存在，求出對應(yīng)的 a值？若不存在，試說明理由。例題 3。y=sin x_ 的最大值是 ，最小值是 2 sin x練習(xí)：1函數(shù)y=1的最大值是，最小值是sin x 22、求函數(shù)y sinx (0 x )的值域 2 sin x2cosx 1 ，亠3、求函數(shù)y 的值域2cosx

5、1求函數(shù)y= 2 sinx的最大值和最小值2 cosx1、 y= cosx (0 v x Vn)的最小值是 .sin xsin x2、 求函數(shù)y (0 x)的最大值2 cosx3、換元法解決sin xcos x, sin xcosx同時(shí)出現(xiàn)的題型。例5.求函數(shù)y 4 3sinx 4 3cosx的最小值練習(xí)：1、求 y=1+sin x+cosx+sin xcosx 的值域.2、函數(shù) y (1 sin x)(1 cosx)的最大值為 最小值為 思維點(diǎn)撥：遇到sinx cosx與sinxcosx相關(guān)的問題，常采用換元法，但要注意的取 值范圍是-.2,、2，以保證函數(shù)間的等價(jià)轉(zhuǎn)化小結(jié)：求三角函數(shù)的最值

6、問題就是通過適當(dāng)?shù)娜亲儞Q或代數(shù)換元，化歸為基本類的三角函數(shù)或代數(shù)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性或常用的求函數(shù)最值的方法去處理基本類型(1) y a si n2 x bsi nx c (或 y a cos2 x bcosx c )型，可令 t si nx (或t cosx)，|t| 1，化歸為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題(2) y a si nx bcosx型，引入輔助角，化為y . a2 b2 si n(x )，利用函 數(shù)| sin(x ) | 1即可求解.(3) y asin x一b (或 yacosx一b)型，解出 sin x (或 cosx)利用 |sin x | 1csi nx dccos

7、x d(或| cosx | 1)去解；或用分離常數(shù)的方法去解決(4) y asinx b (或 y acosx b)型，可化歸為 Sin(x ) g(y)去處理；ccosx dcsi nx d或用萬能公式換元后用判別式法去處理；當(dāng) a c時(shí)，還可以利用數(shù)形結(jié)合的方法去處理.(5) 對于含有sin x cosx,sin x cosx的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令sin x cosx t,| t | 2,將sin xcosx轉(zhuǎn)化為t的關(guān)系式，從而化歸為二次函數(shù)的最值問題.(6) 在解含參數(shù)的三角函數(shù)最值問題中，需對參數(shù)進(jìn)行討論三、鞏固練習(xí):1 當(dāng)0 x 時(shí)，函數(shù) f(x)-COS2X一8sin

8、x的最小值為 ()2sin 2x(A) 2( B) 2、. 3(C) 4( D) 4 . 32、 已知kv 4，則函數(shù) y = cos2x + k(cos x- 1)的最小值是 ()(A) 1(B) 1(C) 2k + 1(D) 2k + 13、 設(shè)a 0 ,對于函數(shù)f x Sin x_a (0 x )，下列結(jié)論正確的是()sin xA .有最大值而無最小值B.有最小值而無最大值C.有最大值且有最小值D既無最大值又無最小值114、已知函數(shù) f (x) (sinx cos x) sinx cosx ,則 f (x)的值域是()22(A)1,1(B)2,1(C)1 二(D)1,-22225、函數(shù)1y= sin 2+4s in2 x,xR的值域是()2(A)-13小312 121121 . 2 1,(B)-,(C) L(D)2 2222 22222 2 26、設(shè)函數(shù)y a cosxb(a,b為常數(shù))的最大值為1,最小值為-7,那么yacosx bsi nx的最大值是.7、 設(shè)實(shí)數(shù) x,y,m,n 滿足吊+n2=a,x 2+y2=b(a,b是常數(shù)，且 a b)，那么 mx+ ny的最大值是._ 2 2