高中數(shù)學(xué)四大數(shù)學(xué)思想(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高中數(shù)學(xué)四大思想方法高中數(shù)學(xué)四大思想方法高考試題一是著眼于知識點(diǎn)新穎巧妙的組合；二是著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號來記錄與描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識，重在領(lǐng)會、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、 分類討論思想、 轉(zhuǎn)化與化歸思想 這些在一輪復(fù)習(xí)中都有所涉及，建議二輪復(fù)習(xí)前應(yīng)先學(xué)習(xí)此部分帶著方法去復(fù)習(xí)，這樣可以使理論指導(dǎo)實(shí)踐，“一法一練”“一練一過”，既節(jié)省了復(fù)習(xí)時(shí)間又能起到事半功倍的效果，而市面上有些資料把方法集中放于最后，

2、起不到”依法訓(xùn)練”的作用，也因時(shí)間緊造成學(xué)而不透、學(xué)而不深，在真正的高考中不能從容應(yīng)對不過也可根據(jù)自身情況選擇學(xué)完后再復(fù)習(xí)此部分思想 1函數(shù)與方程思想函數(shù)的思想，就是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想方程的思想， 就是建立方程或方程組， 或者構(gòu)造方程， 通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想(1)設(shè)函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，對任意 xR 都有 f(x)f(x)成立，則()A3f(ln 2)2f(ln 3)B3f(ln 2)2f(ln 3)C3f(ln 2)2f(ln 3)D3f(

3、ln 2)與 2f(ln 3)的大小不確定(2)(名師押題)直線 ykx2 和橢圓x24y231 在 y 軸左側(cè)部分交于 A，B 兩點(diǎn)，直線 l 過點(diǎn) P(0，2)和線段 AB 的中點(diǎn) M，則 l 在 x 軸上的截距 a 的取值范圍為_(1)C(2)63，0(1)令 F(x)fxex，則 F(x)fxfxex.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)因?yàn)閷R 都有 f(x)f(x)，所以 F(x)0，即 F(x)在 R 上單調(diào)遞減又 ln 2ln 3，所以 F(ln 2)F(ln 3)，即fln 2eln 2fln 3eln 3，所以fln 22fln 33，即 3f(ln 2)2f(ln

4、 3)，故選 C.(2)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 N(a,0)由ykx2，x24y231，得(34k2)x216kx40.因?yàn)橹本€ ykx2 和橢圓x24y231 在 y 軸左側(cè)部分交于 A，B 兩點(diǎn)，所以16k24434k20，x1x216k34k20，x1x2434k20，解得 k12.又 M 為線段 AB 的中點(diǎn)，所以x0 x1x228k34k2，y0y1y22634k2.由 P(0，2)，M(x0，y0)，N(a,0)三點(diǎn)共線，所以634k228k34k202a0，所以4a2k3k.又因?yàn)?k12， 所以 2k3k2 6，

5、當(dāng)且僅當(dāng) k62時(shí)等號成立， 所以4a2 6，則63a0.函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用1 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化， 對函數(shù) yf(x)， 當(dāng) y0 時(shí)， 就化為不等式 f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式2數(shù)列的通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)數(shù)列問題十分重要3解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)有關(guān)理論4立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決變式訓(xùn)練1將函數(shù)ysin4x3 的圖象向左平移m

6、(m0)個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則 m 的最小值為_.524把 ysin4x3 的圖象上所有的點(diǎn)向左平移 m 個(gè)單位長度后，得到 ysin4xm3 sin4x4m3 的圖象，而此圖象關(guān)于 y 軸對稱，則 4m3k2(kZ)，解得 m14k524(kZ)又 m0，所以 m 的最小值為524.思想 2數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想其應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面：(1)“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)(2)“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精

7、確，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)(2016山東高考)已知函數(shù) f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在實(shí)數(shù) b，使得關(guān)于 x 的方程 f(x)b 有三個(gè)不同的根，則 m 的取值范圍是_(3，)作出 f(x)的圖象如圖所示當(dāng) xm 時(shí)，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三個(gè)不同的根，則 4mm20.又 m0，解得 m3.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用1構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍或解不等式2構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的范圍3構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍4構(gòu)建函數(shù)模型并

8、結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系變式訓(xùn)練 2(1)若方程 x2(1a)x1ab0 的兩根分別為橢圓、 雙曲線的離心率，則ba的取值范圍是()A(2，1)B(，2)(1，)C.2，12D.(，2)12，(2)(2015吉林模擬)若不等式 4x2logax0 對任意 x0，14 恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為()A.1256，1B.1256，1C.0，1256D.0，1256(1)C(2)B(1)由題意可知，方程的一個(gè)根位于(0,1)之間，另一根大于 1.設(shè) f(x)x2(1a)x1ab，則f00，f10，即1ab0，2ab30.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)作出可行域如圖陰影部分所

9、示ba可以看作可行域內(nèi)的點(diǎn)(a，b)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，由圖可知 kOA12，2ba12.(2)由已知 4x21 時(shí)，不成立，當(dāng) a1 時(shí)，如圖，只需 loga144142a1414a1256，又 a1，故 a1256，1.故選 B.思想 3分類討論思想分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)， 就需要對研究的對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(1)(2015山東高考)設(shè)函數(shù) f(x)3x1，x1，2x，x1.則滿足

10、 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范圍是()A.23，1B.0,1C.23，D.1，)(2)設(shè) F1，F(xiàn)2為橢圓x29y241 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P 為橢圓上一點(diǎn)已知 P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|PF2|，則|PF1|PF2|的值為_(1)C(2)2 或72(1)由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.當(dāng) a1 時(shí)，有 3a11，a23，23a1，都有 f(xt)3ex，則 m 的最大值為_解題指導(dǎo)(1)利用拋物線的定義把|PF|PA|的最值問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成直線 PA 的斜率問題(2)f(xt)3exxt0extex兩邊取對數(shù)t1lnx精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專

11、注-專業(yè)x令 hx1ln xxh(x)min1.(1)B(2)3(1)如圖，作 PHl 于 H，由拋物線的定義可知，|PH|PF|，從而|PF|PA|的最小值等價(jià)于|PH|PA|的最小值，等價(jià)于PAH 最小，等價(jià)于PAF 最大，即直線 PA 的斜率最大此時(shí)直線 PA 與拋物線 y24x 相切，由直線與拋物線的關(guān)系可知PAF45，所以|PF|PA|PH|PA|sin 4522.(2)因?yàn)楫?dāng) t1，)且 x1，m時(shí)，xt0，所以 f(xt)3exextext1ln xx.所以原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù) t1，)，使得不等式 t1ln xx 對任意 x1，m恒成立令 h(x)1ln xx(x1)因?yàn)?/p>

12、 h(x)1x10，所以函數(shù) h(x)在1，)上為減函數(shù)又 x1，m，所以 h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得對 x1，m，t 值恒存在，只需 1ln mm1.因?yàn)?h(3)ln 32ln1e3e ln1e1，h(4)ln 43ln1e4e2ln1e1，且函數(shù) h(x)在1，)上為減函數(shù)，所以滿足條件的最大整數(shù) m 的值為 3.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用1在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的

13、轉(zhuǎn)化等2換元法：是將一個(gè)復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法3在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時(shí)，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化4在解決數(shù)列問題時(shí)，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解5在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù) f(x)構(gòu)成的方程變式訓(xùn)練 4(1)(2016杭州二模)在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E 是 AA1的中點(diǎn)，則異面直線 BE 與 B1D1所成角的余弦值等于_，若正方體的邊長為 1，則四面體 BEB1D1的體積為_(2)若對于任意 t1,2， 函數(shù) g(x)x3m22x22x 在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_(1)10516(2)373，5(1)連接 BD， DE， 因?yàn)?BDB1D1， 所以EBD就是異面直線 BE 與 B1D1所成的角，設(shè) A1A1，則 DEBE52，BD 2，cosEBD54254252 2105，由 V 三棱錐 BEB1D1V 三棱錐 D1BEB1得 V 三棱錐 BEB1D11312116.(2)g(x)3x2(m4)x2，若 g