高中數學四大數學思想(共10頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高中數學四大思想方法高中數學四大思想方法高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合；二是著眼于對數學思想方法、數學能力的考查如果說數學知識是數學內容，可用文字和符號來記錄與描述，那么數學思想方法則是數學意識，重在領會、運用，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決高考中常用到的數學思想主要有函數與方程思想、數形結合思想、 分類討論思想、 轉化與化歸思想 這些在一輪復習中都有所涉及，建議二輪復習前應先學習此部分帶著方法去復習，這樣可以使理論指導實踐，“一法一練”“一練一過”，既節(jié)省了復習時間又能起到事半功倍的效果，而市面上有些資料把方法集中放于最后，

2、起不到”依法訓練”的作用，也因時間緊造成學而不透、學而不深，在真正的高考中不能從容應對不過也可根據自身情況選擇學完后再復習此部分思想 1函數與方程思想函數的思想，就是通過建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決的數學思想方程的思想， 就是建立方程或方程組， 或者構造方程， 通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的數學思想(1)設函數 f(x)的導函數為 f(x)，對任意 xR 都有 f(x)f(x)成立，則()A3f(ln 2)2f(ln 3)B3f(ln 2)2f(ln 3)C3f(ln 2)2f(ln 3)D3f(

3、ln 2)與 2f(ln 3)的大小不確定(2)(名師押題)直線 ykx2 和橢圓x24y231 在 y 軸左側部分交于 A，B 兩點，直線 l 過點 P(0，2)和線段 AB 的中點 M，則 l 在 x 軸上的截距 a 的取值范圍為_(1)C(2)63，0(1)令 F(x)fxex，則 F(x)fxfxex.精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)因為對xR 都有 f(x)f(x)，所以 F(x)0，即 F(x)在 R 上單調遞減又 ln 2ln 3，所以 F(ln 2)F(ln 3)，即fln 2eln 2fln 3eln 3，所以fln 22fln 33，即 3f(ln 2)2f(ln

4、 3)，故選 C.(2)設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直線 l 與 x 軸的交點為 N(a,0)由ykx2，x24y231，得(34k2)x216kx40.因為直線 ykx2 和橢圓x24y231 在 y 軸左側部分交于 A，B 兩點，所以16k24434k20，x1x216k34k20，x1x2434k20，解得 k12.又 M 為線段 AB 的中點，所以x0 x1x228k34k2，y0y1y22634k2.由 P(0，2)，M(x0，y0)，N(a,0)三點共線，所以634k228k34k202a0，所以4a2k3k.又因為 k12， 所以 2k3k2 6，

5、當且僅當 k62時等號成立， 所以4a2 6，則63a0.函數與方程思想在解題中的應用1 函數與不等式的相互轉化， 對函數 yf(x)， 當 y0 時， 就化為不等式 f(x)0，借助于函數的圖象和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式2數列的通項與前 n 項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)數列問題十分重要3解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數有關理論4立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決變式訓練1將函數ysin4x3 的圖象向左平移m

6、(m0)個單位長度后，所得到的圖象關于 y 軸對稱，則 m 的最小值為_.524把 ysin4x3 的圖象上所有的點向左平移 m 個單位長度后，得到 ysin4xm3 sin4x4m3 的圖象，而此圖象關于 y 軸對稱，則 4m3k2(kZ)，解得 m14k524(kZ)又 m0，所以 m 的最小值為524.思想 2數形結合思想數形結合思想，就是通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想其應用包括以下兩個方面：(1)“以形助數”，把某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質，如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質(2)“以數定形”，把直觀圖形數量化，使形更加精

7、確，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(2016山東高考)已知函數 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在實數 b，使得關于 x 的方程 f(x)b 有三個不同的根，則 m 的取值范圍是_(3，)作出 f(x)的圖象如圖所示當 xm 時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三個不同的根，則 4mm20.又 m0，解得 m3.精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)數形結合思想在解題中的應用1構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍或解不等式2構建函數模型并結合其圖象研究方程根或函數的零點的范圍3構建解析幾何模型求最值或范圍4構建函數模型并

8、結合其圖象研究量與量之間的大小關系變式訓練 2(1)若方程 x2(1a)x1ab0 的兩根分別為橢圓、 雙曲線的離心率，則ba的取值范圍是()A(2，1)B(，2)(1，)C.2，12D.(，2)12，(2)(2015吉林模擬)若不等式 4x2logax0 對任意 x0，14 恒成立，則實數a 的取值范圍為()A.1256，1B.1256，1C.0，1256D.0，1256(1)C(2)B(1)由題意可知，方程的一個根位于(0,1)之間，另一根大于 1.設 f(x)x2(1a)x1ab，則f00，f10，即1ab0，2ab30.精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)作出可行域如圖陰影部分所

9、示ba可以看作可行域內的點(a，b)與原點(0,0)連線的斜率，由圖可知 kOA12，2ba12.(2)由已知 4x21 時，不成立，當 a1 時，如圖，只需 loga144142a1414a1256，又 a1，故 a1256，1.故選 B.思想 3分類討論思想分類討論思想是當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時， 就需要對研究的對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結論，最終綜合各類結果得到整個問題的解答實質上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數學思想精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(1)(2015山東高考)設函數 f(x)3x1，x1，2x，x1.則滿足

10、 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范圍是()A.23，1B.0,1C.23，D.1，)(2)設 F1，F2為橢圓x29y241 的兩個焦點，P 為橢圓上一點已知 P，F1，F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|PF2|，則|PF1|PF2|的值為_(1)C(2)2 或72(1)由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.當 a1 時，有 3a11，a23，23a1，都有 f(xt)3ex，則 m 的最大值為_解題指導(1)利用拋物線的定義把|PF|PA|的最值問題等價轉化成直線 PA 的斜率問題(2)f(xt)3exxt0extex兩邊取對數t1lnx精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專

11、注-專業(yè)x令 hx1ln xxh(x)min1.(1)B(2)3(1)如圖，作 PHl 于 H，由拋物線的定義可知，|PH|PF|，從而|PF|PA|的最小值等價于|PH|PA|的最小值，等價于PAH 最小，等價于PAF 最大，即直線 PA 的斜率最大此時直線 PA 與拋物線 y24x 相切，由直線與拋物線的關系可知PAF45，所以|PF|PA|PH|PA|sin 4522.(2)因為當 t1，)且 x1，m時，xt0，所以 f(xt)3exextext1ln xx.所以原命題等價轉化為：存在實數 t1，)，使得不等式 t1ln xx 對任意 x1，m恒成立令 h(x)1ln xx(x1)因為

12、 h(x)1x10，所以函數 h(x)在1，)上為減函數又 x1，m，所以 h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得對 x1，m，t 值恒存在，只需 1ln mm1.因為 h(3)ln 32ln1e3e ln1e1，h(4)ln 43ln1e4e2ln1e1，且函數 h(x)在1，)上為減函數，所以滿足條件的最大整數 m 的值為 3.轉化與化歸思想在解題中的應用1在三角函數中，涉及到三角式的變形，一般通過轉化與化歸將復雜的三精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)角問題轉化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉化、函數的

13、轉化等2換元法：是將一個復雜的或陌生的函數、方程、不等式轉化為簡單的或熟悉的函數、方程、不等式的一種重要的方法3在解決平面向量與三角函數、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數、平面幾何、解析幾何語言進行轉化4在解決數列問題時，常將一般數列轉化為等差數列或等比數列求解5在利用導數研究函數問題時，常將函數的單調性、極值(最值)、切線問題，轉化為其導函數 f(x)構成的方程變式訓練 4(1)(2016杭州二模)在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E 是 AA1的中點，則異面直線 BE 與 B1D1所成角的余弦值等于_，若正方體的邊長為 1，則四面體 BEB1D1的體積為_(2)若對于任意 t1,2， 函數 g(x)x3m22x22x 在區(qū)間(t,3)上總不為單調函數，則實數 m 的取值范圍是_(1)10516(2)373，5(1)連接 BD， DE， 因為 BDB1D1， 所以EBD就是異面直線 BE 與 B1D1所成的角，設 A1A1，則 DEBE52，BD 2，cosEBD54254252 2105，由 V 三棱錐 BEB1D1V 三棱錐 D1BEB1得 V 三棱錐 BEB1D11312116.(2)g(x)3x2(m4)x2，若 g