高考數(shù)學(xué)(理)二輪專題練習(xí)【專題5】(1)空間幾何體(含答案)_第1頁
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文檔簡介

1、第1講空間幾何體考情解讀1.以三視圖為載體,考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系2空間幾何體的三視圖(1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形(2)三視圖排列規(guī)則:俯視圖放在正視圖的下面,長度與正視圖一樣;側(cè)視圖放在正視圖的右面,高度和正視圖一樣,寬度與俯視圖一樣(3)畫三視圖的基本要求:正俯一樣長,俯側(cè)一樣寬,正側(cè)一樣高看不到的線畫虛線3直觀圖的斜二測畫法空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫

2、,其規(guī)則:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x軸、y軸的夾角為45°(或135°),z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標軸的線段,直觀圖中仍分別平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式:S柱側(cè)ch(c為底面周長,h為高);S錐側(cè)ch(c為底面周長,h為斜高);S臺側(cè)(cc)h(c,c分別為上,下底面的周長,h為斜高);S球表4R2(R為球的半徑)(2)柱體、錐體和球的體積公式:V柱體Sh(S為底面面積,h為高);V錐體S

3、h(S為底面面積,h為高);V臺(SS)h(不要求記憶);V球R3.熱點一三視圖與直觀圖例1某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B8C. D16(2)(2013·四川)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是()思維啟迪(1)根據(jù)三視圖確定幾何體的直觀圖;(2)分析幾何體的特征,從俯視圖突破答案(1)B(2)D解析(1)由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱,如圖:則該幾何體的體積V×2×2×48.(2)由俯視圖易知答案為D.思維升華空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三

4、個平面投影圖,因此在分析空間幾何體的三視圖問題時,先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面,然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置,再確定幾何體的形狀,即可得到結(jié)果(1)(2013·課標全國)一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為()(2)將長方體截去一個四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為()答案(1)A(2)D解析(1)根據(jù)已知條件作出圖形:四面體C1A1DB,標出各個點的坐標如圖

5、(1)所示,可以看出正視圖為正方形,如圖(2)所示故選A.(2)如圖所示,點D1的投影為C1,點D的投影為C,點A的投影為B,故選D.熱點二幾何體的表面積與體積例2(1)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B2C. D.(2)如圖,在棱長為6的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上,且C1E4,C1F3,連接EF,F(xiàn)B,DE,則幾何體EFC1DBC的體積為()A66 B68C70 D72思維啟迪(1)由三視圖確定幾何體形狀;(2)對幾何體進行分割答案(1)D(2)A解析(1)由三視圖知,原幾何體是兩個相同的圓錐的組合,V(××1

6、2)×2.(2)如圖,連接DF,DC1,那么幾何體EFC1DBC被分割成三棱錐DEFC1及四棱錐DCBFC1,那么幾何體EFC1DBC的體積為V××3×4×6××(36)×6×6125466.故所求幾何體EFC1DBC的體積為66.思維升華(1)利用三視圖求解幾何體的表面積、體積,關(guān)鍵是確定幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù),掌握應(yīng)用三視圖的“長對正、高平齊、寬相等”;(2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用“割補”的思想多面體MNABCD的底面ABCD為矩形,其正視圖和側(cè)視圖如圖,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,則該多

7、面體的體積是()A. B.C. D.答案D解析過M,N分別作兩個垂直于底面的截面,將多面體分割成一個三棱柱和兩個四棱錐,由正視圖知三棱柱底面是等腰直角三角形,面積為S1×2×22,高為2,所以體積為V14,兩個四棱錐為全等四棱錐,棱錐的體積為V12××2×1×2,所以多面體的體積為V4,選D.熱點三多面體與球例3如圖所示,平面四邊形ABCD中,ABADCD1,BD,BDCD,將其沿對角線BD折成四面體ABCD,使平面ABD平面BCD,若四面體ABCD的頂點在同一個球面上,則該球的體積為()A. B3 C. D2思維啟迪要求出球的體積就

8、要求出球的半徑,需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)和空間位置關(guān)系確定球心的位置,由于BCD是直角三角形,根據(jù)直角三角形的性質(zhì):斜邊的中點到三角形各個頂點的距離相等,只要再證明這個點到點A的距離等于這個點到B,C,D的距離即可確定球心,進而求出球的半徑,根據(jù)體積公式求解即可答案A解析如圖,取BD的中點E,BC的中點O,連接AE,OD,EO,AO.由題意,知ABAD,所以AEBD.由于平面ABD平面BCD,AEBD,所以AE平面BCD.因為ABADCD1,BD,所以AE,EO.所以O(shè)A.在RtBDC中,OBOCODBC,所以四面體ABCD的外接球的球心為O,半徑為.所以該球的體積V()3.故選A.思維升華多面體與球

9、接、切問題求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時,一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解(2)若球面上四點P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PAa,PBb,PCc,一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體,則4R2a2b2c2求解(1)(2014·湖南)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于()A1

10、 B2C3 D4(2)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形,則該幾何體的體積是_;若該幾何體的所有頂點在同一球面上,則球的表面積是_答案(1)B(2)3解析(1)由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱,如圖所示由題意知,當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時,該球的半徑最大,故其半徑r×(6810)2.因此選B.(2)由三視圖可知,該幾何體是四棱錐PABCD(如圖),其中底面ABCD是邊長為1的正方形,PA底面ABCD,且PA1,該四棱錐的體積為V×1×1×1.又PC為其外接球的直徑,2RPC

11、,則球的表面積為S4R23.1空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分,表面積就是全面積,是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積,在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”多面體的表面積就是其所有面的面積之和,旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外,都是其側(cè)面積和底面面積之和2在體積計算中都離不開空間幾何體的“高”這個幾何量(球除外),因此體積計算中的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個量在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面3一些不規(guī)則的幾何體,求其體積多采用分割或補形的方法,從而轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體,而補形又分為對稱補形(即某些不規(guī)則的幾何體,若存在對稱性,則可考慮用對稱的方法進行補形)、還原補形

12、(即還臺為錐)和聯(lián)系補形(某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體,不過幾何量不易求解,可根據(jù)其所具有的特征,聯(lián)系其他常見幾何體,作為這個規(guī)則幾何體的一部分來求解)4長方體的外接球(1)長、寬、高分別為a、b、c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑,即2R;(2)棱長為a的正方體的體對角線長等于外接球的直徑,即a2R.真題感悟1(2014·北京)在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,)若S1,S2,S3分別是三棱錐DABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3

13、S2 DS3S2且S3S1答案D解析如圖所示,ABC為三棱錐在坐標平面xOy上的正投影,所以S1×2×22.三棱錐在坐標平面yOz上的正投影與DEF(E,F(xiàn)分別為OA,BC的中點)全等,所以S2×2×.三棱錐在坐標平面xOz上的正投影與DGH(G,H分別為AB,OC的中點)全等,所以S3×2×.所以S2S3且S1S3.故選D.2(2014·江蘇)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2.若它們的側(cè)面積相等,且,則的值是_答案解析設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1,r2和h1,h2,由,得,則.由圓柱的側(cè)

14、面積相等,得2r1h12r2h2,即r1h1r2h2,則,所以.押題精練1把邊長為的正方形ABCD沿對角線BD折起,連接AC,得到三棱錐CABD,其正視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形(如圖所示),則其側(cè)視圖的面積為()A. B.C1 D.答案B解析在三棱錐CABD中,C在平面ABD上的投影為BD的中點O,正方形邊長為,AOOC1,側(cè)視圖的面積為SAOC×1×1.2在三棱錐ABCD中,側(cè)棱AB,AC,AD兩兩垂直,ABC,ACD,ABD的面積分別為,則三棱錐ABCD的外接球體積為()A. B2 C3 D4答案A解析如圖,以AB,AC,AD為棱把該三棱錐擴充成長方體,則該長

15、方體的外接球恰為三棱錐的外接球,三棱錐的外接球的直徑是長方體的體對角線長據(jù)題意解得長方體的體對角線長為,三棱錐外接球的半徑為.三棱錐外接球的體積為V·()3.(推薦時間:50分鐘)一、選擇題1已知正三棱錐VABC的正視圖和俯視圖如圖所示,則該三棱錐的側(cè)視圖的面積為()A2 B4C6 D8答案C解析如圖,作出正三棱錐VABC的直觀圖,取BC邊的中點D,連接VD,AD,作VOAD于O.結(jié)合題意,可知正視圖實際上就是VAD,于是三棱錐的棱長VA4,從俯視圖中可以得到底面邊長為2,側(cè)視圖是一個等腰三角形,此三角形的底邊長為2,高為棱錐的高VO.由于VO 2.于是側(cè)視圖的面積為×2&

16、#215;26,故選C.2右圖是棱長為2的正方體的表面展開圖,則多面體ABCDE的體積為()A2 B.C. D.答案D解析多面體ABCDE為四棱錐,利用割補法可得其體積V4,選D.3如圖,某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形,側(cè)視圖是平行四邊形,則該幾何體的體積為()A153 B9C306 D18答案B解析由三視圖知幾何體是一個底面為3的正方形,高為的斜四棱柱,所以VSh3×3×9.4已知正四棱錐的底面邊長為2a,其側(cè)(左)視圖如圖所示當(dāng)正(主)視圖的面積最大時,該正四棱錐的表面積為()A8 B88C8 D48答案B解析由題意可知該正四棱錐的直觀圖如圖所示,其主視圖與左視圖相同

17、,設(shè)棱錐的高為h,則a2h24.故其主視圖的面積為S·2a·hah2,即當(dāng)ah時,S最大,此時該正四棱錐的表面積S表(2a)24××2a×288,故選B.5某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是腰長為2的等腰三角形,側(cè)視圖是半徑為1的半圓,該幾何體的體積為()A. B. C. D.答案A解析三視圖復(fù)原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分,然后把截面放在平面上,底面相對接的圖形,圓錐的底面半徑為1,母線長為2,故圓錐的高為h.易知該幾何體的體積就是整個圓錐的體積,即V圓錐r2h×12×.故選A.6(2014·大綱全國)正

18、四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()A. B16 C9 D.答案A解析如圖,設(shè)球心為O,半徑為r,則RtAOF中,(4r)2()2r2,解得r,該球的表面積為4r24×()2.二、填空題7有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示),ABC45°,ABAD1,DCBC,則這塊菜地的面積為_答案2解析如圖,在直觀圖中,過點A作AEBC,垂足為E,則在RtABE中,AB1,ABE45°,BE.而四邊形AECD為矩形,AD1,ECAD1,BCBEEC1.由此可還原原圖形如圖在原圖形中,AD1,

19、AB2,BC1,且ADBC,ABBC,這塊菜地的面積為S(ADBC)·AB×(11)×22.8如圖,側(cè)棱長為2的正三棱錐VABC中,AVBBVCCVA40°,過A作截面AEF,則截面AEF的周長的最小值為_答案6解析沿著側(cè)棱VA把正三棱錐VABC展開在一個平面內(nèi),如圖則AA即為截面AEF周長的最小值,且AVA3×40°120°.在VAA中,由余弦定理可得AA6,故答案為6.9如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E,F(xiàn)分別為線段AA1,B1C上的點,則三棱錐D1EDF的體積為_答案解析××1×1×1.10已知矩形ABCD的面積為8,當(dāng)矩形周長最小時,沿對角線AC把ACD折起,則三棱錐DABC的外接球的表面積等于_答案16解析設(shè)矩形的兩鄰邊長度分別為a,b,則ab8,此時2a2b48,當(dāng)且僅當(dāng)ab2時等號成立,此時四邊形ABCD為正方形,其中心到四個頂點的距離相等,均為2,無論怎樣折疊,其四個頂點都在一個半徑為2的球面上,這個球的表面積是4×2216.三、解答題11已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,側(cè)視圖是一個底邊

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