物理奧賽輔導(dǎo)：第2講_運(yùn)動(dòng)和物體系的相關(guān)速度.

1、 第2講 運(yùn)動(dòng)和物體系的相關(guān)速度一、知識(shí)點(diǎn)擊1直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng) 勻變速直線運(yùn)動(dòng)：勻變速直線運(yùn)動(dòng)包括勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)兩種情況，它的特點(diǎn)是加速度a=恒量，并與速度在同一直線上勻變速運(yùn)動(dòng)的基本公式為： 勻變速曲線運(yùn)動(dòng)：勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是a=恒量，但與速度的方向不在同一直線上，如斜拋運(yùn)動(dòng)，研究斜拋運(yùn)動(dòng)可以有多種方法，既可以將它看成是水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的（上或下）拋運(yùn)動(dòng)的合成；也可以看做是拋出方向的勻速運(yùn)動(dòng)和一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)的合成勻速圓周運(yùn)動(dòng)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是a與的大小為恒量，但它們的方向無(wú)時(shí)無(wú)刻不在改變，它是一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng)，但卻是研究曲線運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)，一般曲線運(yùn)動(dòng)的

2、任何一個(gè)位置，都可以作為一個(gè)瞬時(shí)的圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)研究。 我們經(jīng)常將圓周運(yùn)動(dòng)分解成法向和切向兩個(gè)方向來(lái)研究，法向加速度，對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其切向的加速度為零，如果是變速圓周運(yùn)動(dòng)，那么它在切向上也有加速度此時(shí)它的合加速度是：。2相對(duì)運(yùn)動(dòng)： 在大多數(shù)情況下，我們都習(xí)慣于以地面作為參照物，但在某些場(chǎng)合，我們選擇其他一些相對(duì)地面有速度的物體作為參照物，這樣會(huì)給解決問(wèn)題帶來(lái)方便，所以相對(duì)運(yùn)動(dòng)就是研究物體對(duì)于不同參考系的運(yùn)動(dòng)以及它們之間的聯(lián)系，比如A物體相對(duì)于地面的速度為，如果取另一個(gè)相對(duì)地面有速度的B物體作參照物，那么A物體相對(duì)B物體的速度為： 或通常把物體相對(duì)“固定”參考系的速度稱(chēng)為絕對(duì)速度，把相對(duì)于“運(yùn)動(dòng)

3、”參考系的速度稱(chēng)為相對(duì)速度，而把運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)固定參考系的速度稱(chēng)為牽連速度，所以上式我們可以表述為“相對(duì)速度等于絕對(duì)速度和牽連速度之差”速度的合成必須用平行四邊形定則進(jìn)行計(jì)算3剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：剛體是指在任何條件下，形狀和大小不發(fā)生變化的物體。這樣的物體實(shí)質(zhì)上是不存在的，但固體在一般情形下可視為剛體平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任一直線段在各個(gè)時(shí)刻的位置始終保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平動(dòng)做平動(dòng)的物體可視為質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)，這一直線稱(chēng)為轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)，就稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度： 即單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（角位移），對(duì)于非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，上式只是求出剛體在t

4、時(shí)間內(nèi)的平均角速度，對(duì)于瞬時(shí)角速度，角加速度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)角速度的變化量。對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以類(lèi)比勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中、與線速度，切向加速度和法向加速度的關(guān)系為 4關(guān)聯(lián)速度 所謂關(guān)聯(lián)速度就是兩個(gè)通過(guò)某種方式聯(lián)系起來(lái)的速度比如一根桿上的兩個(gè)速度通過(guò)桿發(fā)生聯(lián)系，一根繩兩端的速度通過(guò)繩發(fā)生聯(lián)系常用的結(jié)論有： 桿（或張緊的繩）上各點(diǎn)沿桿（或張緊的繩）方向的速度分量相同； 如果桿（或張緊的繩）圍繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，那么桿（或張緊的繩）上各點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角速度相同· 二、方法演練類(lèi)型一、勻速直線運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題本來(lái)是物理學(xué)中最基本的知識(shí)，但往往當(dāng)基本模型隱藏得比較深的時(shí)候，就成為一種比較難解的

5、題，要解這類(lèi)題目時(shí)，一般都要進(jìn)行某種轉(zhuǎn)換把其本來(lái)的模型突顯出來(lái)才能找出簡(jiǎn)便的解題方法。例1在聽(tīng)磁帶錄音機(jī)的錄音磁帶時(shí)發(fā)覺(jué)，帶軸于帶卷的半徑經(jīng)過(guò)時(shí)間t1=20 min減小一半問(wèn)此后半徑又減小一半需要多少時(shí)間？分析和解：本題的關(guān)鍵在于要弄清錄音磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)是轉(zhuǎn)軸勻速，還是帶速恒定，這要聯(lián)系實(shí)際聽(tīng)樂(lè)音所需的效果就可以確定應(yīng)該是帶速恒定，然后再把磁帶卷過(guò)的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換到帶卷的面積來(lái)考慮問(wèn)題即可解題。設(shè)帶半徑的初半徑為4r，于是當(dāng)半徑減少一半，成為2r時(shí)，帶卷的面積減少了這等于所繞帶的長(zhǎng)度，與帶的厚度d之乘積在聽(tīng)錄音時(shí)帶運(yùn)行的速度恒定，所以，于是有 當(dāng)帶軸上半徑又減少一半（從2r到r）時(shí)，帶卷的面積減少了，即

6、 由得 類(lèi)型二、相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)學(xué)中一種比較難處理的類(lèi)型，一般來(lái)說(shuō)，選擇不同的參考系物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同，但采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法也可以改變物體的運(yùn)動(dòng)情況特別是可以把直覺(jué)看來(lái)是曲線運(yùn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動(dòng)的情況卻很少學(xué)生了解，解題時(shí)采用這樣的方法可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化很多。例2由于汽車(chē)在冰面上行駛時(shí)摩擦因數(shù)很小，所以其最大加速度不能超過(guò)a=0.5m/s2根據(jù)要求，駕駛員必須在最短時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，直線AB垂直于汽車(chē)的初始速度，如圖2一1所示如果A、B之間的距離AB=375 m，而初速度=10 m/s，那么這個(gè)最短時(shí)間為多少？其運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？分析和解：本題是一個(gè)典型的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，而且用常規(guī)的方法是很

7、難解出此題的，然而如果才坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換法解此題，其難度卻可以大大降低。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：汽車(chē)在A點(diǎn)不動(dòng)，而讓B點(diǎn)以恒速向汽車(chē)運(yùn)動(dòng)的相 反方向運(yùn)動(dòng)在此坐標(biāo)系內(nèi)汽車(chē)為了盡快與B點(diǎn)相遇，必須沿直線以恒加速度a向B點(diǎn)駛?cè)ゼ僭O(shè)它們?cè)贒點(diǎn)相遇，如圖22所示設(shè)AB=b，我們可以列出： 由式可得： 將數(shù)據(jù)代人式得t50s。在地球坐標(biāo)系內(nèi)，它的運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)不同方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，因而它的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線 類(lèi)型三、關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)的合成和分解的一個(gè)基本模型，關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的關(guān)聯(lián)，分析時(shí)既要考慮運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，又要考慮物體實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡，還要考慮連繩的長(zhǎng)度，建立好正確的幾何模型對(duì)解題至

8、關(guān)重要。 例3線軸置于斜面上，斜面與水平面的夾角為.線的自由端固定?。ㄈ鐖D23）線繩為垂直線時(shí)的瞬間線軸的旋轉(zhuǎn)角速度等于求在這瞬間的： 線軸軸心的速度；線軸與斜面相切點(diǎn)的速度 線軸的半徑為R.分析和解：本題中由于線繩不能伸長(zhǎng)，所以垂直線最下面的點(diǎn)和與其相接觸的線軸上的A點(diǎn)的速度相同，的方向是水平方向線軸的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成：平行于斜面的直線運(yùn)動(dòng)，其速度為；繞軸心的順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度等于。在題中情況下,A點(diǎn)的速度（圖2 4a)等于不難看出，且，由此可得 同理可以求出線軸與斜面相切C點(diǎn)的速度（圖2一4b) 其速度在斜面方向的投影為 將代人得例4AC、BD兩桿均以角速度繞A、B兩固定點(diǎn)在同一豎直平

9、面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖1一5所示，當(dāng)t=0時(shí)，a =600，試求t時(shí)刻交點(diǎn)M的速度和加速度分析和解：本題實(shí)質(zhì)上也是關(guān)聯(lián)速度的問(wèn)題，但其關(guān)聯(lián)的本質(zhì) 是兩桿的角速度相同，所以+=1200不變，推知M點(diǎn)的軌跡在正三角形M外接圓上運(yùn)動(dòng)由此可重點(diǎn)在幾何模型上去探求解法。在t=0時(shí)刻，ABM為正三角形，則AM=BM=，兩桿旋轉(zhuǎn) 過(guò)程中，因轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則角增加量等于角的減小量，+=1200不變，則頂角M大小始終不變，即M=600，則M點(diǎn)的軌跡在正三角形ABM外接圓上運(yùn)動(dòng)（如圖2一6所示）。則MOM' = 2 MB M' ，則M = 2M點(diǎn)作以半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)在任意t時(shí)刻速度

10、為：，向心加速度為：類(lèi)型四、物理學(xué)中特殊的曲線運(yùn)動(dòng)主要有兩類(lèi)，即圓周運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng)，其中拋體運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑是隨時(shí)變化的，所以在考慮拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果要計(jì)算向心加速度，則必須通過(guò)有關(guān)運(yùn)動(dòng)的計(jì)算得出曲率半徑才能求解。例5以速度、與水平方向成角拋出石塊，石塊沿某一軌道飛行如果蚊子以大小恒定的速率沿同一軌道飛行問(wèn)蚊子飛到最大高度一半處具有多大加速度？空氣阻力不計(jì)分析和解：蚊子的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是勻速率曲線運(yùn)動(dòng)它的加速度就是它運(yùn)動(dòng)到不同位置時(shí)的向心加速度關(guān)鍵在于求出最大高度一半處時(shí)的曲率半徑R我們可以根據(jù)軌道方程，求出曲率半徑R現(xiàn)在我們根據(jù)石塊的運(yùn)動(dòng)來(lái)求曲率半徑石塊的運(yùn)動(dòng)為斜上拋運(yùn)動(dòng)，它到達(dá)的最大高度為設(shè)在

11、處，速度與水平方向成角運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系為， 故有由以上四式得將加速度g分解為法向和切向方向得根據(jù)向心加速度公式，得蚊子以的恒定速率沿石塊的軌跡運(yùn)動(dòng)，蚊子在粵處曲率半徑仍為石塊運(yùn)動(dòng)到此的曲率半徑R，但切向加速度為0，法向加速度，蚊子的加速度等于該處的法向加速度即為蚊子飛到最大高度一半處具有的加速度類(lèi)型五、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的解題關(guān)鍵在于分析清楚物體間的內(nèi)部約束和外界約束，其約束條件往往就是解題的突破口。例6圖27細(xì)桿AB長(zhǎng),端點(diǎn)A、B分別被約束在和軸上運(yùn)動(dòng)，試求：(1）桿上與A相距()的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；(2)如果圖中角和為已知，那么P點(diǎn)的、方向分運(yùn)動(dòng)速率、是多少？分析和解：本題中的內(nèi)部約束就是桿長(zhǎng)

12、和P點(diǎn)在桿中的位置，而外部約束是A、B分別被約束在和軸上運(yùn)動(dòng)，這樣就確定了它們之間的幾何關(guān)系。(1)桿A端在軸上的位置用坐標(biāo)九表示，桿B端的位置用坐標(biāo)表示，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（），利用幾何關(guān)系，得出與的關(guān)系為即由以上兩式，得這是一個(gè)橢圓方程，故P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓 (2)設(shè)在t時(shí)間內(nèi)，P點(diǎn)坐標(biāo)的改變量為和，桿A、B兩端坐標(biāo)的相應(yīng)改變量為和，利用P點(diǎn)坐標(biāo)與A、B兩端坐標(biāo)在幾何上的關(guān)連有，根據(jù)速度分量的定義，當(dāng)t0時(shí)，式中和分別是A端和B端的速度由AB桿不可伸長(zhǎng)，有 最后得出P點(diǎn)的速度分量為 三、小試身手1線段AB長(zhǎng)S，分成n等分，一質(zhì)點(diǎn)由A靜止出發(fā)以加速度a向B作分段勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)每一等

13、分的末端時(shí)，它的加速度增加，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度。2質(zhì)點(diǎn)P1，以由A向B作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)P2以從B指向C作勻速運(yùn)動(dòng)，ABC=且為銳角，如圖28，試確定何時(shí)刻P1P2的間距d最短，為多少？3處于一平直軌道上的甲、乙兩物相距S，同時(shí)同向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)甲以初速、加速度a1向乙作勻加速運(yùn)動(dòng)，乙作初速為零、加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩車(chē)相互超前時(shí)各不影響，試討論兩車(chē)相遇的條件及對(duì)應(yīng)的相遇次數(shù)4在傾角為足夠長(zhǎng)的斜坡上，以初速度發(fā)射一炮彈，設(shè)與斜坡的夾角為，如圖29所示，求炮彈落地點(diǎn)離發(fā)射點(diǎn)的距離L5 兩直桿、，交角為，交點(diǎn)為A，若二桿各以垂直于自身的速度、沿著紙平面運(yùn)動(dòng)，如圖210所示求交點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

14、速度的大小6 一塊小木塊P放在很粗糙的水平面上，被一根繩拉著滑動(dòng)，繩的另一端Q以速度在軌道中運(yùn)動(dòng)，繩長(zhǎng)，繩與軌道的夾角是（圖211）求此時(shí)P的速度和加速度7 一個(gè)足夠大的房間高為H，一盞燈掛在離地面高h(yuǎn)處，燈泡破裂，碎片以同樣大小的速度向四面八方飛去，如果碎片與天花板的碰撞是彈性的，與地板的碰撞是完全非彈性的，那么碎片灑落在地板上的半徑多大？若H二5m，=10 m/s，求：h為多大時(shí)，R有最大值，并求出該最大值。8在豎直平面內(nèi)，支在原點(diǎn)O的一根彎桿，其形狀可以用函數(shù)來(lái)描寫(xiě)，為有長(zhǎng)度量綱的非零正常數(shù)在桿上穿一滑塊，桿與滑塊間的靜摩擦因數(shù)為（圖212） （1）不考慮摩擦，求滑塊的高度為z時(shí)，它在沿

15、桿方向的加速度的大小下列5種答案中有一個(gè)是正確的，試作出判斷并說(shuō)明理由:0、g、。 （2）考慮摩擦，但桿不動(dòng)，在什么情況下滑塊可以在桿上靜止？（用z、g、k表示） （3）現(xiàn)在設(shè)桿以角速度繞z軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且有關(guān)系，這時(shí)滑塊可以在何處相對(duì)于桿靜止？ （4）若=0.5，則滑塊不滑動(dòng)的條件又如何？9 圖213所示為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。AB和CD桿可分別繞過(guò)A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A、D兩點(diǎn)位于同一水平線上。BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動(dòng)（類(lèi)似鉸鏈）。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時(shí)，AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水

16、平方向成45°角，已知AB桿的長(zhǎng)度為，BC桿和CD桿的長(zhǎng)度由圖給定。求此時(shí)C點(diǎn)加速度的大小和方向（用與CD桿之間的夾角表示）參考解答1 解：質(zhì)點(diǎn)由A靜止出發(fā)以加速度a作勻加速度直線運(yùn)動(dòng)的位移為，質(zhì)點(diǎn)的速度由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得，同理第二個(gè)的初速度為，加速度為，則，依次類(lèi)推，則，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度為2解：設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t相距為d，則此時(shí)質(zhì)量點(diǎn)P1前進(jìn)的距離為，P2前進(jìn)的距離為，由余弦定理可得，即，對(duì)根號(hào)里面配方可得，3 提示：當(dāng)能相遇，其中時(shí)相遇一次，時(shí)，能相遇二次。4 解：將正交分解為，設(shè)經(jīng)過(guò)t的時(shí)間落到斜面上則，又由和可解得：5 解：根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，設(shè)二桿運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間的位移為，的

17、位移為，如圖211所示，A的位移為，的大小就是A點(diǎn)速度的大小6解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿繩的方向，那么P的速度現(xiàn)取Q為參考系，因?yàn)镼無(wú)加速度，所以P在Q系中的加速度等于P在地面系中的加速度。在Q系中，P有一個(gè)垂直于PQ的速度。 因?yàn)楹苄?，所以，因此因?解：（1）假設(shè)碎片不會(huì)碰頂，應(yīng)有 即配方得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)以上假設(shè)要求：，即（2）若h不滿足上述要求，則以角飛出的碎片將撞擊天花板，飛行軌跡發(fā)生變化。此時(shí)拋得最遠(yuǎn)的碎片應(yīng)該是未撞擊天花板而最高點(diǎn)恰好和天花板相切的碎片，這時(shí)有由以上三式可解得：（3）因?yàn)?，所以在不碰頂時(shí)，h越大R越大。H可取的最大值是

18、，此時(shí)下面再考慮碎片碰頂?shù)那闆r，求極值，可得當(dāng)時(shí)，R有最大值8（1）在不考慮摩擦?xí)r，滑塊在桿上運(yùn)動(dòng)的加速度即為重力加速度的切向分量 其中為滑塊所在點(diǎn)桿的法線與重力方向的夾角。一般不為零，且一定不超過(guò)g，當(dāng)時(shí)，桿近于豎直，趨近于g，于是可判斷，由此算得， (2)考慮摩擦而桿不動(dòng)，則滑塊靜止為靜力平衡，滑塊受重力影響有下滑趨勢(shì)，摩擦力向 上，支持力和摩擦力大小分別為，平衡條件要求，或設(shè)時(shí)，則滑塊靜止的條件為。（3）當(dāng)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則在滑塊相對(duì)于桿不動(dòng)時(shí)，支持力和摩擦力在豎直方向的分力之和與重力平衡，在水平方向的分力之和使滑塊產(chǎn)生水平的向心加速度，由此可得，（不妨設(shè)摩擦力沿桿向上）由以上二式可得：，當(dāng)時(shí)，有。即無(wú)摩擦力，向心加速度完全由重力和支持力的合力提供，這個(gè)關(guān)系對(duì)任何都能滿足，即此時(shí)滑塊在任何位置都相對(duì)于