函數(shù)及其表示知識(shí)點(diǎn)練習(xí)題答案名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、函數(shù)及其表示考綱知識(shí)梳理一、函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合設(shè) A、 B 是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè) A、 B 是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)f : A B系 f ，使對(duì)于集合A 中的任系 f ，使對(duì)于集合A 中的任意一個(gè)數(shù)x ，在集合 B 中都意一個(gè)元素x ，在集合 B 中有唯一確定的數(shù)f (x) 和它都有唯一確定的元素y 與之對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)。名稱稱 f : AB 為從集合 A到稱 f : AB為從集合 A到集合 B 的一個(gè)函數(shù)集合 B 的一個(gè)映射記法y f (x) ， x A對(duì)應(yīng) f : AB 是一個(gè)映射注：函數(shù)與映射的區(qū)別： 函數(shù)是特殊的映射， 二者區(qū)別在于映射定

2、義中的兩個(gè)集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個(gè)集合必須是非空數(shù)集。二、函數(shù)的其他有關(guān)概念（ 1）函數(shù)的定義域、值域在函數(shù) yf ( x) ， xA中，x 叫做自變量，x 的取值范圍A 叫做函數(shù)的定義域；與x 的值相對(duì)應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值 f (x) | xA的集合叫做函數(shù)的值域（ 2）一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則（ 3）相等函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)。注：若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，是否為相等函數(shù)？（不一定。如果函數(shù)y=x 和y=x+1, 其定義域與值域完全相同，但不是相等函數(shù)；再如 y=sinx與 y=cosx ，

3、其定義域?yàn)镽，值域都為 -1 ， 1 ，顯然不是相等函數(shù)。因此湊數(shù)兩個(gè)函數(shù)是否相等，關(guān)鍵是看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系）（ 4）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法和列表法。（ 5）分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)法則不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是個(gè)函數(shù)。函數(shù)及其表示測(cè)試題1、設(shè)函數(shù) f (x)x 24x6, x 0f (1) 的解集是（ A）x6, x則不等式 f ( x)0A. (3,1)(3,)B. (3,1)( 2,)C. (1,1

4、)(3,)D. (, 3)(1,3)解析由已知，函數(shù)先增后減再增當(dāng) x0 ， f (x)2f (1)3令 f (x)3,解得x1, x3。當(dāng) x0， x63, x3故 f (x) f (1) 3 ，解得 3 x 1或 x 32、試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（ 1） f （ x） =x2，g（ x） =3 x 3；| x |1x0,1x0;（ 2） f （ x） =x， g（x） =（ 3） f （ x） = 2n 1 x2 n 1 ， g（ x） =（ 2n 1 x ） 2n1（ n N* ）；（ 4） f （ x） =xx1 ，g（ x） = x 2 x ；（ 5） f （ x） =

5、x22x 1，g（ t ） =t 2 2t 1。解：（ 1）由于 f （ x）= x 2=|x| ，g（ x） =3 x 3=x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；| x|1x0,1x0;（ 2）由于函數(shù) f （ x）= x的定義域?yàn)?（， 0）（ 0，+），而 g（ x）=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)；（ 3）由于當(dāng) n N* 時(shí)， 2n± 1 為奇數(shù)， f （ x） = 2n 1 x2 n 1 =x， g（ x） =（ 2 n 1 x ） 2n 1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；（ 4）由于函數(shù) f （x） = x x 1

6、的定義域?yàn)?x|x 0 ，而 g（ x）= x2x 的定義域?yàn)閤|x 1 或 x 0 ，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（ 5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)注：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f （x）和 y=g（ x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)， y=f （ x）和y=g（ x）才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。3、求下列函數(shù)的值域：（1） y3x2x 2 ；（ 2） yx26x 5 ；（ 3） y3x1x2 ；（4） yx 4 1 x ；（ 5） yx 1 x2；（ 6） y | x 1| x 4 |；y2x2x 2

7、y2x2x 1 (x1 )（7）x2x 1 ；（ 8）2x 12 ；y 3x2x 2 3( x1)2 23 23解：（ 1）（配方法）61212 ， y3x2x2 23,)的值域?yàn)?2（ 2）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)x26x5 （0），則原函數(shù)可化為y又x26x 5( x 3)24 4 ， 04 ，故0,2 ， yx26x5 的值域?yàn)?0, 2（ 3）（法一）反函數(shù)法：y3x1y2x1x2 的反函數(shù)為x3 ，其定義域?yàn)?xR | x3 ，y3x1x2 的值域?yàn)?yR | y3原函數(shù)y3x13( x2)77x2x 23（法二）分離變量法：x 2 ，70373 x2x，2，y3x1x2 的值域?yàn)?yR

8、 | y3函數(shù)（ 4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)t1x0 ，則 x1 t2，原函數(shù)可化為y1t 24t(t2) 25(t0) ， y5 ，原函數(shù)值域?yàn)?(,5注：總結(jié) yaxbcxd 型值域，變形： yax2bcx2d 或 yax2bcxd（ 5）三角換元法： 1x201x1，設(shè) xcos,0, ，ycossin2 sin()則40, ，4, 5 sin()2 ,144，42，2 sin() 1,24，原函數(shù)的值域?yàn)?,22x3(x4)y | x 1| | x 4 |5( 4x 1)（ 6）數(shù)形結(jié)合法：2x3( x1)， y5，函數(shù)值域?yàn)?5,)（ 7）判別式法：x2x10 恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)镽由 y2x2x2x2x 1 得： ( y 2) x2( y 1)x y 2 0當(dāng) y20 即 y2 時(shí)，即 3x0 0 ， x0R當(dāng) y20 即 y2 時(shí)， x R 時(shí)方程 ( y2) x2( y1)x