2010年高三數(shù)學(xué)試題精編82雙曲線(精)

1、用心愛心專心 1 第八章圓錐曲線方程 雙曲線 【考點(diǎn)闡述】 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 【考試要求】 （2） 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 【考題分類】 （一）選擇題（共 2 2 2 =a b求出 c 即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)但因方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，很多學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為b 2 小 b 2，從而得出錯(cuò)誤結(jié)論. 為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則OP FP的取值范圍為（） 【答案】 【解析】 因?yàn)?F（-2,0） 是已知雙曲線的左焦點(diǎn)，所以 2 小 a 3，所以雙曲線方 2 X 2 , y 1 3 , 占 八、 、 P (x0,y0),則 2 有八1(X0-3) 為 FP=(Xo

2、2,y。) OP = (X0,y) O P FPP 0 x2 2 )x=X0(x。yo 3 2Xo -1 ，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物 1.（安徽卷理 雙曲線方程為 x2 -2y2 =1 ，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 A 【答案】C B、 .3,0 a2 =1,b2 【解析】雙曲線的 ， 【誤區(qū)警示】 本題考查雙曲線的交點(diǎn), 、6 c , 2 ，所以右焦點(diǎn)為 把雙曲線方程先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用 c2 臥0 10 題) 2 X 2.（福建卷理 7）若點(diǎn) O 和點(diǎn)F（-2,0）分別是雙曲線a2 7 = 的中心和左焦點(diǎn) ，點(diǎn) P A. 3-2 73,址)B. 3+2屈址)C. -+=c) 4,) D. -+=

3、c) 4，) 用心愛心專心 2 用心 愛心 專心 3 Xo 線的對(duì)稱軸為 3 _ _ _ sum. a* 4 ,因?yàn)閄o八3 ,所以當(dāng)Xo 3時(shí)，OPFP取得最小值 4 3 3 23 一仁 3 2、.3 , 故OP FP的取值范圍是3 2. 3, ：)，選 B。 【命題意圖】 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程， 考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、 函數(shù)的單調(diào)性與最值等， 考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、 算能力。 二次 運(yùn) 4.(全國(guó)I卷理 9)已知Fl、F2 為雙曲線 2 C：X 2 _y 二1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) p 在 C 上，/ FipF2=60 0 ， 貝 y P 到

4、 X 軸的距離為 (A) 2 (B) 2 (C) (D) .6 【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，考查轉(zhuǎn) 【答案B 化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力 不妨設(shè)點(diǎn) p(x0,y0)在雙曲線的右支，由雙曲線的第二定義得 |PF卜 玄2 e(X()豐 a e x r 1 c 玄2 02PF2 ex0 ) = ex。-a 2x0-1 c .由余 弦定理得 |PF1|2 |PF2|2 -廳汗2|2 2|PF1|PF2| (1 .2x0)2 ( 2X0 -1)2 -(2、2)2 ,即 cos 60 2(1 . 2x)(、2X0-1) 2 一 5

5、解得 2,所以 y。2 弋 -1 | y。卜弓 2，故 P 到 x軸的距離為 2 5.(全國(guó)I卷文 8)已知F1、F2為雙曲線 c：X? y =1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，/ FI p F2 =600，則 |PFi|gPF2 |= (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【答案】B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、 學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力 【解析 1 .由余弦定理得 幾何性質(zhì)、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù) | PF 1 |2 + | PF 2 |2 - | F1F2 |2 COS Z F1 PF2 = 2 | PF i | PF 2 | -込60

6、=伯耳卡引2丹滬闖一尸2 2|PF|PF2 1_22+2PF|P第 -(2( 2 一 2|PF|PFJ 用心 愛心 專心 4 6.（全國(guó)I新卷理 12）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，P（3,）是E的焦點(diǎn)，過 F 的直線l與 【答案】 【答案】D |PFi HPF2 1 = 4 【解析 2】 角 形 面積 公 式 得 2 日 2 60 SF1PF2 二b cot =1 cot _ 1 = JE=_|PF|PF2 sin60 P刖PF2呼円|呼|=4 E相交于 A, B 兩點(diǎn), 且 AB 的中點(diǎn)為 N（_12, -15）,則 E 的方程式為 X2 (A) 3 (B) 2 2 (C) 6 3 (D) 由

7、已知條件易 得直線 的斜率為k= kFN =1 設(shè)雙曲線方程為 -1(a 0,b 0) A(xi, yJ,B(X2,y2) ，則有 2 yi 2 以=1 a b 2 2 y2 二 X2 b2 _1，兩式相減并結(jié)合 N X2 = -24y2 = -30得，X1-X2 % - y?邏 5,從而 5a2 ,即 4b2 = 5a2，又 a2 b 9 , 4b=1 2 1 解得a =4，b二5，故選 B. 7.（全國(guó)I新卷文 5）中心在原點(diǎn), 則它的離心率為 焦點(diǎn)在 x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（ 4,2 ）, (A) 6 (B) -5 (C) (D) 2 解析：易知一條漸近線的斜率為 -2 4 1

8、 2，故 2 X 2 8. （天津卷理 5）已知雙曲線a b 2 y 2 =1 a 0,b 0 的一條漸近線方程是 y =3x，它 的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y = 24X的準(zhǔn)線上, 則雙曲線的方程為 2 2 X y 1 (A) 36 108 2 2 X y 1 (B) 9 27 用心 愛心 專心 5 2 2 F F x2_y2=i（a o,b 0） 9. （浙江卷理 8）設(shè)Fl、卜2分別為雙曲線 a b 的左、右焦點(diǎn).若在雙曲 線右支上存在點(diǎn)P，滿足PF2 = FF2，且F2到直線PF,的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則 該雙曲線的漸近線方程為 （A） 3x _4y =0 （B） 3x_5y=0 （ 4x

9、_3y=0 （ ）5x_4y=0 解析：利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出 a 與 b 之間的等量關(guān)系, 可知答案選 C,本題主要考察三角與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知 識(shí)能力的考察，屬中檔題 2 2 10. （浙江卷文 10）設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,月是雙曲線a2 b2 （ a 0, b 0）的焦點(diǎn), 若在雙曲線上存在點(diǎn) P,滿足/丘卩冃=60,| OPI =、7a,則該雙曲線的漸近線方程為 2 2 (C) 108 36 【答案】B x2 (D) 27 =1 2 2 x y 2 牙=1ja 0, b 0 【解析】因?yàn)殡p曲線a b 的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 y

10、2 =24x的準(zhǔn)線上，所 以 F （-6 , 0）是雙曲線的左焦點(diǎn)， 即a2 b2 =36 ,又雙曲線的一條漸近線方程是 y -3x , 所以 a* 解得 a2 =9，b2 =27， 所以雙2 2 9 27 ，故選 B。 (A) 3 y=0 (B) 3x y=0 (C) x 土 2y =0 (D) x 2x y=0 用心 愛心 專心 6 解析：選 D,本題將解析幾何與三角知識(shí)相結(jié)合，主要考察了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，幾 何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題 （二）填空題（共 8 題） 1.（北京卷理 13 文 13）已知雙曲線 2 2 x 丄y =1 1 的離心率為 2,

11、焦點(diǎn)與橢圓25 9 的 焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 答案】（4,0 ） y = K3x ;漸近線方程為 解析：雙曲線焦點(diǎn)即為橢圓焦點(diǎn), 不難算出為 一4,0 ,又雙曲線離心率為 -=2 cN 2,即 a 用心 愛心 專心 7 于 【答案】1 【命題意圖】本小題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法，屬基礎(chǔ)題。 則 M 到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 _ 【答案】4 2 2 4. （江西卷理 15 文 15） 點(diǎn)A（x0，yo）在雙曲線4 32 的右支上，若點(diǎn) A 到右焦點(diǎn)的距 離等于2x0，則 = 【答案】2 【解析】考查圓錐曲線的基本概念和第二定義的轉(zhuǎn)化，讀取 2 a 2xo =3(x ) ： x

12、=2 c .2 2 r: - y = 1 5. （上海卷理 13）如圖所示，直線 x=2 與雙曲線 4 MB 的漸近線交于巳，E2兩點(diǎn)，記巳- e,E2 - ,任取雙曲 線上的點(diǎn) p,若 OP =aq, be2（a、b R）, 則 a、b 滿足 的一個(gè)等式是 【答案】4ab=1 解析：E1(2,1), E2(2,T) 故a =2,b =2.3，漸近線為 y-bx 二 a 2.（福建卷文 13) 若雙 曲線 2 y_ 2 4 - b =1（b0）的漸近線方程式為 x2 1 x y= 2 ，b 【解析】由題意知 2 解得 b=1。 3.（江蘇卷 6）在平面直角坐標(biāo)系 2 x xOy 中，雙曲線4

13、2 1 12 上一點(diǎn) M 點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)是 3, 解析 考查雙曲線的定義。 MF d 2 d為占 丿八、 M 到右準(zhǔn)線x二1的距離, d =2, MF=4 r e一 a=2.c=6, d = r = 3d , 用心 愛心 專心 8 OP =殆辰=（2a 2b,a -b），點(diǎn) P 在雙曲線上用心 愛心 專心 9 (2a 2b)2_(a_b)2=1 ，化簡(jiǎn)得 4ab=1 6. （上海卷文 13）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線 -的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2 2 x y d 1 【答案】4 12 【解析】由題意知，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（ 4，0），即a2 b16，又因?yàn)橐阎p曲線 2 _-1 2

14、 2 I a =4，b =12，故雙曲線的方程為4 12 。 【命題意圖】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求雙曲線方程, 考查運(yùn)算能力以及對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握程度。 I 8.（上海春卷 7）已知雙曲線 C 經(jīng)過點(diǎn)（1，1），它的一條漸近線方程為 y =、3x。則雙曲 2 x 2 a 2 y 2 -1(a 0,b 0) b2 的一條漸近線方程是 V 3x，所以有a 方，即b二3a，可 (亦,0)曰=(2,1)、e2 二（2, -1）分別是兩條漸近線的方向向量。 任取雙-上的點(diǎn)P , 若 OP be2（ a、 【答案】4ab=1 b R），貝y a、b滿足的一個(gè)等式是 解析：

15、因?yàn)閑1二1）、e2 二（2, 一1）是漸進(jìn)線方向向量，所以雙曲線漸近線方程為 又 c=.5,. a=2,b=1 雙曲線方程為 2 2 - 4 y _ 1 OP =ae1）的兩條直線 11 和 12 與軌跡 E 都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，2 求 h的值。 輅 由為戲曲娃的左、右頂點(diǎn)知，姑卜忑0/展龐，） 壬右工-血）.兩式相乘得 打_寸2 _v3 2 i 而點(diǎn)尸（和”）在機(jī)曲線上 所以互葉=1.即匕 H 2 2 2 2 y2 _ - (x2 _2) - y2 = 1 故 2 ，即2 2 X + y2 = 1 將h：kx h代入2 得 即(1 2k2)x2 4khx 2h2 _2 = 0 由 1 與

16、E 只有一個(gè)交點(diǎn)知，=16k2h2 -4(2k2)(2h2 -2)即 1 2k2 二 h2。 1 2 2 = h2 2 2 = k2 2 同理，由2與 E 只有一個(gè)交點(diǎn)知， k ，消去h得k ，即k才，從而 h2 =1+2k2 =3，即 h=73。 2 2 解析: 設(shè)雙曲線的方程為 y2 - 3x2 =（ = 0），將點(diǎn)（匕1）代入可得，=_2。故答案為 3x2 1.（廣東卷理 20） 條雙曲線 2 X 2 yy （2 ）設(shè)h： y h，則由 h 一 I?知, 2 ： y= 2 x 2 (kx h) 2 用心 愛心 專心 12 x y 2 2=1 a0, b0 2.（全國(guó)n卷理 21 文 22

17、）己知斜率為 1 的直線 I與雙曲線C： a b 相 交于 B、D 兩點(diǎn)，且 BD 的中點(diǎn)為M 1,3 . (I)求 C 的離心率； (n)設(shè) C 的右頂點(diǎn)為 A,右焦點(diǎn)為 F, DF -BF “7，證明：過A B、D 三點(diǎn)的圓與 x軸相切. 【分析】本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。 (1) 由直線過點(diǎn)(1,3)及斜率可得直線方程， 直線與雙曲線交于 BD 兩點(diǎn)的中點(diǎn)為(1,3), 可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出 a,b 的關(guān)系式即求得離心率。 (2) 利用離心率將條件|FA|FB|=17 ，用含 a 的代數(shù)式表示，即可求得 a,則 A 點(diǎn)

18、坐標(biāo)可得 (1, 0)，由于 A 在 x軸上所以，只要證明 2AM=BE 即證得。 【解析】(i)由題設(shè)知，|的方程為：y = x，2,代入 C 的方程，并化簡(jiǎn)，得 (b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2 =0 設(shè) B(X1,yJ、D(X2,y2) nil 4a2 由M (1$)溝血的中點(diǎn)知宜旦二故;x字yuh 2 2 b a b2 = 3a 故 二 +衣=2a 所以c的離心率? = - = 2. a (II )由、知，C的方程弼3x2-ya= 3a A(a0),F(2(1,0), x1 + x2 = Z 心x2 = o, a o 因此百=2t b - 7c - a2 的標(biāo)準(zhǔn)方程為J-

19、y2 - I + 2y - 0. (0)解法一：如答(20)圖由題意點(diǎn)(如處)在直線i|嚀+如=4和“嚀+ = 4上，因此有工円+4y仇=4, x2Xf +分處=4, 故點(diǎn)均在直線戈嚴(yán)+4)v= 4上，因此直線MV的方程為 牝工+ 4九丁 = 4 . 設(shè)C、H分別是直線V.V與解近純x -2v = O&Jt +2y = 0的交點(diǎn) 乜聲 + = 4 及+4/1/ =心 lx -2y =0 U + 2y - 0, 4 設(shè)MN與耳軸的交點(diǎn)為Q側(cè)在直線時(shí)*4畑=4中，令y = 紂和=J易知 0)注意到現(xiàn)4元=4f| 4 St w 2* * l Q ” I北亦- 4 2 xt 4 * -t 0),則由Oc = = if. (:的漸近線方程為y二土專瓠即-2y s和 由方 答(綱S 用心 愛心 專心 ii 解法二;設(shè)磯札仏)