導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用(含答案)

1、11. 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（含答案） （高二）1.（ 15 北京理科）已知函數(shù)fxln1x 1x（）求曲線 yf x在點(diǎn)0 ，f0處的切線方程；（）求證：當(dāng) x0 ，1時(shí)， fx2 xx3；3（）設(shè)實(shí)數(shù) k 使得 fxk xx3對 x0 ，1 恒成立，求 k 的最大值3【答案】（） 2xy0 ，（）證明見解析， （） k 的最大值為 2.試題解析：（）f ( x )ln1x, x(1,1), f ( x )2x 2 , f (0)2, f (0)0 ，曲線1x1y fx 在點(diǎn)0 ， f0處的切線方程為2xy0 ；（）當(dāng) x0，1 時(shí)， f xx3，即不等式 f ( x )x30 ，對2 x2( x

2、)33x (0,1) 成立，設(shè)F( x )ln 1x2( xx 3) ln(1x )ln(1x ) 2( xx 3) ，則1x33F ( x )2x 40，1時(shí)， F ( x )0，故 F( x ) 在（ 0，1）上為增函數(shù)，則1，當(dāng) xx 2()(0)0 ，因此對x(0,1) ，F(xiàn) xFf ( x )2( xx 3) 成立；3（）使 f xx3成立， x0 ，1，等價(jià)于k x3F( x )ln 1xk( xx 3 )0 ， x0，1 ；1x3F ( x )2k(12)kx 42k1x 2x1x 2，當(dāng) k0,2時(shí)， F ( x )0 ，函數(shù)在（ 0，1）上位增函數(shù)， F( x )F(0)0

3、，符合題意；當(dāng) k2時(shí)，令 F ( x ) 0, x4k20(0,1) ，kx(0, x 0 )x 0( x 0 ,1)F ( x )-0+F( x )極小值F( x )F(0) ，顯然不成立，綜上所述可知：k 的最大值為2.考點(diǎn)： 1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3. 含參問題討論 .2（ 15 年安徽理科） 設(shè)函數(shù) f ( x)x2axb .（ 1）討論函數(shù) f (sin x)在 (-,2) 內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值；2（2）記 f0 ( x) x2a0xb0,求函數(shù) f (sin x)f 0(sin x) 在 (-, ) 上的最大值 D

4、；22（3）在（ 2）中，取 a0b00, 求 zba2 滿足 D1時(shí)的最大值。4【答案】（）極小值為 ba2；（） D| aa0 | b b0 |；（） 1.4試題解析：（） f (sin x)sin2 xa sin xbsin x(sin xa)b ，x.22 f (sin x)'(2sin xa)cos x ，x.22考點(diǎn)： 1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；2.絕對值不等式的應(yīng)用.3.（ 15 年福建理科） 已知函數(shù) f( x) = ln(1 + x) ， g(x) = kx,(k ? R),( )證明：當(dāng) x > 0時(shí)， f( x) < x ；( )證明：當(dāng) k &l

5、t; 1 時(shí)，存在 x0 > 0 ,使得對 任意 x ? (0，x0 ), 恒有 f( x) > g( x)；( )確定 k 的所以可能取值，使得存在t > 0 ，對任意的x ? (0， t ), 恒有 | f( x) - g (x) |< x2 【答案】 ( )詳見解析； ( )詳見解析； ( ) k =1【解析】試題分析： ( )構(gòu)造函數(shù) F ( x) = f( x) - x = ln(1 + x) - x, x ? (0,? ), 只需求值域的右端點(diǎn)并和 0 比較即可； ( )構(gòu)造函數(shù) G( x) = f( x) - g( x) = ln(1 + x) - kx,

6、 x? (0,? ), 即 G ( x)0 ，1求導(dǎo)得 G ( x) =- k1+x= - kx +(1 - k) ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G ( x) 的形狀和最值，證明當(dāng)k < 1時(shí)，存在 x0 > 0 ，使1+x得G (x)0即可； ( ) 由 ( ) 知，當(dāng) k >1 時(shí)，對于" x 違(0, +故), g( x) > x> f( x，)g( x) > f( x) ， 則 不 等 式 | f( x) - g( x) |< x2 變 形 為 k x -l n (+1x <)2x ， 構(gòu) 造 函 數(shù)M( x) = k x - ln(1+

7、x) - x2 , x 違0，+ ) ， 只 需 說 明 M ( x)0 ， 易 發(fā) 現(xiàn) 函 數(shù) M ( x) 在k - 2 +(k - 2)2 +8(k - 1)x ?（0，) 遞增，而 M (0) 0 ，故不存在；當(dāng) k <1時(shí)，由 ( )知，4存 在 x0 > 0 , 使 得 對 任 意 的 任 意 的 x ? (0，x0 ), 恒 有 f( x )> g (x )， 此 時(shí) 不 等 式 變 形 為ln(1+ x2)- kx < x，構(gòu)造2N x( = )+l x n -( 1x 違-x)， +xk，,易發(fā)現(xiàn)函數(shù)N (x) 在 0)）(k +2)2+8(1- k)

8、遞增，而，不滿足題意；當(dāng) k =1時(shí)，代入證x- (k +2 +)N (0)0（ ，? 04明即可試題解析：解法一： (1)令 F ( x) = f( x) -x = ln(1 + x) -x, x ? (0,?),則有1xF (x )=- =1-+1 +x1x當(dāng) x? (0, ? ), F (x) < 0 ,所以 F ( x) 在 (0, +? ) 上單調(diào)遞減；故當(dāng) x > 0 時(shí)， F ( x) < F (0) = 0, 即當(dāng) x > 0 時(shí)， f( x) < x (2) 令 G( x) = f( x) - g( x) = ln(1 + x) - kx, x

9、? (0,1- kx + (1- k)? ), 則有 G (x) =1+x- k =1+x當(dāng) k 0 G(x) > 0,所以 G( x) 在 0, +? ) 上單調(diào)遞增 , G( x) > G(0) = 0故對任意正實(shí)數(shù)x0 均滿足題意 .當(dāng) 0 < k < 1時(shí)，令 G(x) = 0, 得 x= 1- k = 1 - 1 > 0 k k取x0=1-1對 任 意x ? (0, x0 ),0,G (x )0, x0 )恒 有G (x >)所 以上單調(diào)遞，在k增, G( x) > G (0) = 0 ,即f( x) > g (x) .綜上，當(dāng) k &

10、lt; 1時(shí)，總存在 x0 > 0 ,使得對任意的x ? (0，x0 ), 恒有 f( x) > g(x) (3) 當(dāng) k >1時(shí)，由（ 1）知，對于 " x 違(0, +), g( x) > x > f( x)，故 g( x) > f( x) ，| f( x) - g( x) |= g( x) -f ( x) = k x - ln(1 + x) ，令 M( x) = k x - ln(1+ x) - x2 , x 違0，+) ，1-2 x2 +(k-2) x + k - 1- 2x=,則有 M ( x) = k -1 + x1+ xk - 2 +

11、(k - 2)2 +8(k- 1)故當(dāng) x ?（0，4) 時(shí)， M (x) > 0 ,k - 2 +(k - 2)2 +8(k- 1)上單調(diào)遞增，故,，)M( x) > M(0) = 0M( x) 在 04即 | f( x) - g( x) |> x2,所以滿足題意的 t 不存在 .當(dāng) k <1 時(shí)，由（ 2）知存在 x0> 0 ,使得對任意的任意的x ? (0，x0 ), 恒有 f( x) > g( x) 此時(shí) |f( x) - g( x) |= f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - k x ,令 N( x) = ln(1+ x) -

12、k x - x2 , x 違0，+) ，則有 N ' ( x) = 1- k - 2x= -2x2 -(k+2) x - k +1,1+ x1+ x）(k +2)2+8(1- k)- (k+2+>故當(dāng)（ ，時(shí)， N ( x)0x ? 04),- (k + 2) +(k +2)2 +8(1- k)N( x) > N (0) = 0,M( x) 在 0，4) 上單調(diào)遞增，故2- (k + 2) +(k + 2)2 +8(1- k)即 f( x) - g (x) > x,記 x0 與4中較小的為 x1 ，則當(dāng) x ? (0， x1 )時(shí)，恒有 | f( x) g( x) |

13、> x2 ，故滿足題意的t 不存在 .當(dāng) k=1，由（ 1）知， 當(dāng) x違(0, +), | f( x) - g( x) |= g( x) -f (x) = x - ln(1 + x) ，21-2 x2 - x令 H( x) = x - ln(1+ x) -x , x 違0，+- 2 x=,) ，則有 H (x) = 1 -1 + x1+ x當(dāng) x > 0 時(shí)，<,H( x)0，+￥）H( x) < H (0) = 0 ,H ( x)在0 所以上單調(diào)遞減，故故當(dāng) x > 0 時(shí)，恒有 | f( x) - g(x) |< x2 ,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t 滿足題意 .

14、綜上，k =1.解法二：（ 1）（ 2）同解法一.（3）當(dāng)k > 1 時(shí)，由（1）知，對于"x 違(0, +), g(x) > x > f( x)，故 | f( x) - g( x) |= g (x) -f ( x) = k x - ln(1+ x) > k x - x = (k - 1) x ，令 (k - 1)x > x2 ,解得 0 < x < k - 1，從而得到當(dāng)k > 1 時(shí)， 對于 x ? (0,k1) 恒有 |f( x) - g (x) |> x2 ,所以滿足題意的t 不存在.當(dāng) k <1 時(shí)，取 k1 =

15、k+1 ，從而 k < k1 < 1 2由（ 2）知存在 x0 > 0 ,使得 任意 x ?(0， x0 ), 恒有 f( x) > k1 x > kx = g( x) .此時(shí) |f( x) - g( x) |= f( x) -g( x) > (k1- k) x = 1 - k x ,2令 1- k x > x2 , 解得 0 < x < 1- k ，此時(shí) f( x) - g( x) > x2,22記 x0 與1-k 中較小的為 x1 ，則當(dāng) x ? (0， x1 )時(shí)，恒有 |f( x)g( x) |> x2 ，2故滿足題意的 t 不存在 .當(dāng) k=1，由（ 1）知， 當(dāng) x違(0, + ), | f( x) - g( x) |= g( x) -f (x) = x - ln(1 + x) ，令 M( x)x ln(1 x) x2 , x 0， + ) ，則有 M ( x) 112x2x2x ,1x1x當(dāng) x > 0M( x) < M(0)=0,時(shí)， M ( x)