趣味數(shù)學(xué)牛吃草問題

1、 牛吃草問題最先在牛頓的普牛吃草問題最先在牛頓的普通算術(shù)中出現(xiàn)，通算術(shù)中出現(xiàn)，他提出一個他提出一個非常有趣的問題：有一片牧場，非常有趣的問題：有一片牧場，已知有已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草吃盡；把草吃盡；如果有如果有2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。把草吃盡。如果有牛如果有牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃能把草吃盡？盡？人們?nèi)藗儼堰@道題叫做把這道題叫做“牛頓牛頓問題問題”，也稱作，也稱作“牛吃草問牛吃草問題題”。牛頓牛頓 3 3、牛吃草問題三部曲、牛吃草問題三部曲有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草吃盡；把草吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把

2、草吃盡。把草吃盡。如果有牛如果有牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？牧草總量不知道，牧草總量不知道，它隨著時間的增長而增長它隨著時間的增長而增長但原來草坪上有的但原來草坪上有的草的數(shù)量是永遠(yuǎn)不變的草的數(shù)量是永遠(yuǎn)不變的有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草吃盡；把草吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把草把草吃盡。如果有牛吃盡。如果有牛2121頭頭，幾天幾天能把能把草吃盡？草吃盡？把每頭牛每天的吃草量把每頭牛每天的吃草量看做看做一個單位一個單位，或者我們可以說是或者我們可以說是一份一份有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草

3、把草吃盡；吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。如果有把草吃盡。如果有牛牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。276=162原草量原草量+6天的生長量天的生長量239=207原草量原草量+9天的生長量天的生長量有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草把草吃盡；吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。如果有把草吃盡。如果有牛牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：原草量：原草量：162-1

4、5162-156=726=72或或207-15207-159=729=72276=162原草量原草量+6天的生長量天的生長量239=207原草量原草量+9天的生長量天的生長量 草地上草地上原有的草原有的草162-15162-156=726=72新新 草地上草地上原有的草原有的草162-15162-156=726=72新新新新新新新新新新新新新新新新新新新新162-15162-156=726=7215頭頭 吃吃剩下剩下21-15=6頭頭72份份15份份+72（21-15）=12天天有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草把草吃盡；吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把

5、草吃盡。如果有把草吃盡。如果有牛牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：原草量：原草量：162-15162-156=726=72或或207-15207-159=729=72假設(shè)假設(shè)1515頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的草，可吃天數(shù)：的草，可吃天數(shù)：7272（21-1521-15）=12=12（天）（天）276=162原草量原草量+6天的生長量天的生長量239=207原草量原草量+9天的生長量天的生長量例例1 牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧

6、草牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草可供可供10頭牛吃頭牛吃20天，可供天，可供15頭牛吃頭牛吃10天。問：這片牧草天。問：這片牧草可供可供25頭牛吃多少天？頭牛吃多少天？ 1020=200原草量原草量+20天的生長量天的生長量1510=150原草量原草量+10天的生長量天的生長量草每天的生長量：草每天的生長量：（200-150）（20-10）=5原草量：原草量：200-205=100 或或150-105=1005頭頭 吃吃剩下剩下25-5=20頭頭100份份5份份+100（25-5）=5天天920=180原草量原草量+20天的生長量天的生長量1510=150原草量原草量+10天的生

7、長量天的生長量草每天的生長量：草每天的生長量：（180-150）（20-10）=3原草量：原草量：180-203=120 或或150-103=1203頭頭 吃吃剩下剩下18-3=15頭頭120份份3份份+120（18 - 3）= 8 天天1020=200原草量原草量+20天的生長量天的生長量1510=150原草量原草量+10天的生長量天的生長量每天新生草量：每天新生草量：（200-150200-150）（）（20-1020-10）=5=5原草量：原草量：200-5200-520=10020=100或或150-5150-510=10010=100假設(shè)假設(shè)5 5頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原

8、有的頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的100100份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？1001004=254=25（頭）（頭）共有多少頭牛呢？共有多少頭牛呢？25+5=25+5=3030（頭）（頭）設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。520=100原草量原草量+20天的生長量天的生長量615=90原草量原草量+15天的生長量天的生長量每天新生草量：每天新生草量：（100-90100-90）（）（20-1520-15）=2=2原草量：原草量：100-2100-220=6020=60或或90-290-215=6015=60假設(shè)假設(shè)2 2頭牛專吃每天新生長的草

9、，剩下的牛吃原有的頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的6060份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？60606=106=10（頭）（頭）共有多少頭牛呢？共有多少頭牛呢？10+2=1210+2=12（頭）（頭）246=144原草量原草量+6天的生長量天的生長量218=168原草量原草量+8天的生長量天的生長量每天新生草量：每天新生草量：（168-144168-144）（）（8-28-2）=5=5設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。例例4 一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進(jìn)入了一些水，如果用現(xiàn)漏

10、洞時已經(jīng)進(jìn)入了一些水，如果用12人舀水，人舀水，3小時舀小時舀完，如果只有完，如果只有5個人舀水，要個人舀水，要10小時才能舀完，現(xiàn)在想在小時才能舀完，現(xiàn)在想在6小時舀完，需要多少人？小時舀完，需要多少人？ 123=36份份原水量原水量+3小時進(jìn)水量小時進(jìn)水量510=50份份原水量原水量+10小時的進(jìn)水量小時的進(jìn)水量每小時的進(jìn)水量：每小時的進(jìn)水量：（50-36）（10-3）=2份份原水量：原水量：36-32=30份份 或或50-102=30份份30份份2份份+30份水需要幾個人份水需要幾個人6小時舀完？小時舀完？306=5（人）（人）2人人5+2=7（人）（人）復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 520=100原水量原

11、水量+20天天進(jìn)水量進(jìn)水量615=90原水量原水量+15天天的進(jìn)水量的進(jìn)水量每分鐘的進(jìn)水量：每分鐘的進(jìn)水量：（100-90）（）（20-15）=2原水量：原水量：100-202=60 或或90-152=60 60份份2份份+606=10（臺）（臺）2臺臺共需要共需要10+2=12（臺）（臺）例例5 5 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時開開4 4個檢票口需個檢票口需3030分鐘，同時開分鐘，同時開5 5個檢票口需個檢票口需2020分鐘。如

12、果分鐘。如果同時打開同時打開7 7個檢票口，那么需要多少分鐘？個檢票口，那么需要多少分鐘？ 假設(shè)每分鐘每個檢票口進(jìn)的人數(shù)為假設(shè)每分鐘每個檢票口進(jìn)的人數(shù)為1份份430=原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)+30分鐘新增的人數(shù)分鐘新增的人數(shù)520=原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)+20分鐘新增的人數(shù)分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)=（430-520）（30-20）= 2（份）（份）原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)= 430-302=60（份）（份）專門安排專門安排2個檢票口檢新增加的人個檢票口檢新增加的人60（7-2）=12（分鐘）（分鐘）例例7 7：有一片青草，每天的生長速度都是相同：有一片青草，

13、每天的生長速度都是相同的，已知這片青草可供的，已知這片青草可供1515頭牛吃頭牛吃2020天，或者天，或者是供是供3333頭牛吃頭牛吃1212天，如果一頭牛的吃草量等天，如果一頭牛的吃草量等于于4 4只羊的吃草量，那么只羊的吃草量，那么8 8頭牛與頭牛與6464只羊一起只羊一起吃，可以吃上多少天？吃，可以吃上多少天？1515頭牛頭牛2020天天3333頭牛頭牛1212天天8 8頭牛頭牛+64+64只羊只羊幾天？幾天？6464只羊只羊=16=16頭牛，相當(dāng)于求頭牛，相當(dāng)于求2424頭牛吃幾天的問題頭牛吃幾天的問題例例6 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不

14、僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛頭牛吃吃5天，或可供天，或可供15頭牛吃頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃吃10天？天？ 205=100份份原草量原草量-5天的減少量天的減少量156=90份份原草量原草量-6天的減少量天的減少量草每天的減少量：草每天的減少量： （100-90）（6-5）=10份份原草量：原草量：100+510=150份份90+610=150份份剩下剩下150-100=50份份150份份10份份-50份草可供多少頭牛吃份草可供多少頭牛吃10天？天？（150-1010）10=5頭頭

15、10天減少天減少1010=100份份自主訓(xùn)練自主訓(xùn)練 由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng)測算，牧場上的草可供勻的速度減少，經(jīng)測算，牧場上的草可供30頭牛吃頭牛吃8天，天，可供可供25頭牛吃頭牛吃9天，那么可供天，那么可供21頭牛吃幾天？頭牛吃幾天？ 308=240份份原草量原草量-8天的減少量天的減少量259=225份份原草量原草量-9天的減少天的減少量量草每天的減少量：草每天的減少量： （240-225）（9-8）=15份份原草量：原草量：240+815=360份份 或或220+915=360份份21份份15份份+每天吃每天吃21份份

16、360（21+15）=10天天每天減少每天減少15份份例例5 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩級梯級，女孩每分鐘走每分鐘走15級梯級，結(jié)果男孩用了級梯級，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩分鐘到達(dá)樓上，女孩用了用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？ 205 = 自動扶梯的級數(shù)自動扶梯的級數(shù)-5分鐘減少的級數(shù)分鐘減少的級數(shù)156 = 自動扶梯的級數(shù)自動扶梯的級數(shù)-6分鐘減少的級數(shù)分鐘減少的級數(shù)男孩：男孩：女孩：女孩：每分

17、鐘減少的級數(shù)每分鐘減少的級數(shù)=(205-156) (6-5)=10(級級)自動扶梯的級數(shù)自動扶梯的級數(shù)= 205+510=150（級）（級）3100=自動扶梯級數(shù)自動扶梯級數(shù)+100秒新增的級數(shù)秒新增的級數(shù)2300=自動扶梯級數(shù)自動扶梯級數(shù)+300秒新增的級數(shù)秒新增的級數(shù)自動扶梯級數(shù)自動扶梯級數(shù)=（2300-3100）（300-100）=1.5（級）（級）每秒新增的級數(shù)：每秒新增的級數(shù)：3100-1001.5=150（級）（級） 48= 原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)+8分鐘新增的人數(shù)分鐘新增的人數(shù)64= 原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)+6分鐘新增的人數(shù)分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)= （48 - 64）（8 - 4）= 2（份）（份）原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)= 48 - 82=16（份）（份）16 （ 3 - 2 ） = 16（分鐘）（分鐘） 60 - 16 =44 （分鐘）（分鐘） 例例6 有有3個牧場長滿草，第一牧場個牧場長滿草，第一牧場33公畝，可供公畝，可供22頭牛吃頭牛吃54天，第二牧場天，第二牧場28公畝，可供公畝，可供17頭牛吃頭牛吃84天，第三牧場天，第三牧場40公畝，可供多少頭牛吃公畝，可供多少頭牛吃24天？天？ 解：假設(shè)解：假設(shè)1頭牛頭牛1天吃