大學物理第一章第二節(jié)圓周運動和一般曲線運動

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 設質點繞圓心作變速圓周運動，在設質點繞圓心作變速圓周運動，在質點軌跡上任選一點質點軌跡上任選一點 P ，以該點沿軌，以該點沿軌跡切線方向作為一根坐標軸，方向用跡切線方向作為一根坐標軸，方向用單位矢量單位矢量 et t 表示；另一坐標軸沿該點表示；另一坐標軸沿該點軌跡的法線并指向曲線凹側，相應單軌跡的法線并指向曲線凹側，相應單位矢量用位矢量用en 表示，這就叫表示，這就叫自然坐標系。自然坐標系。 tenetene 顯然，沿軌跡上各點，自然坐標軸的方位是不斷變顯然，沿軌跡上各點，自然坐標軸的方位是不斷變化著的?；摹?

2、.1.自然坐標系自然坐標系P上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出BRd Avdvv 為單位矢量，為單位矢量， 大小不變，但方向改變大小不變，但方向改變te2.2.圓周運動的加速度圓周運動的加速度ttddddrsvevetttddrse因為因為tdd( )ddvav t ett所以所以t時刻時刻：A點點t+dt時刻時刻：B點點 dt時間內經過弧長時間內經過弧長dsds對應圓心角角度對應圓心角角度d dvvv上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出tdd( )ddvav t etttnnnddddddddesveeetts

3、tR2tnddvvaeetRtdetetedttdd()ddevaevtt 即與即與 同向同向neBRd Avdvvttdee因為因為tnddee所以所以上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出圓周運動中的圓周運動中的切向加速度切向加速度at和和法向加速度法向加速度an2tnddvvaeetRtddvat2nvaR22tn,aaa 切向加速度改變速度的大小，法向加速度改變速切向加速度改變速度的大小，法向加速度改變速度的方向。度的方向。2tnttnnddvvaeea ea etR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出OxR

4、 1v2vs ABt A角位移角位移沿沿逆時針逆時針轉動，角位移取轉動，角位移取正正值值沿沿順時針順時針轉動，角位移取轉動，角位移取負負值值角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 0dlimdttt 單位：單位：rad/s220ddlimddtttt 單位：單位：rad/s2ttB上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出勻角加速圓周運動勻角加速圓周運動是恒量是恒量0t20012tt00ddtt00dtt一般圓周運動一般圓周運動22002() 勻速圓周運動勻速圓周運動 是恒量是恒量ddt00ddttt 0討論：討論：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁

5、上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出ROx 圓周運動既可以用速度、加速度描述，也可以用圓周運動既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者應有一定的對應關系。角速度、角加速度描述，二者應有一定的對應關系。 + 0 0+ t+ tBtA 如如圖圖所所示，一質點作圓周運動：示，一質點作圓周運動：在在 t 時間內，質點的角位時間內，質點的角位移為移為 ，則則A、B間的有向間的有向線段線段與弧將滿足下面的關系與弧將滿足下面的關系兩邊同除以兩邊同除以 t，得到速度與角速度之間的關系：得到速度與角速度之間的關系：Rv 00limlimttABAB 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上

6、頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 將上式兩端對時間求導，得到切向加速度與角將上式兩端對時間求導，得到切向加速度與角加速度之間的關系：加速度之間的關系：taR 將速度與角速度的關系代入法向加速度的定義將速度與角速度的關系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關系：式，得到法向加速度與角速度之間的關系：2nvaR2R線量線量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度t2nvRaRaR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出tn1.0 , 0aa勻速直線運動勻速直線運動勻變速直線運動勻變速直線運動勻速率圓周運動勻速率圓周運動變速

7、曲線運動變速曲線運動tn2. , 0acatn3.0 , aactn4.0 , 0aa討論：討論：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-3 計算地球自轉時地面上各點的速度和加速度。計算地球自轉時地面上各點的速度和加速度。解：解：地球自轉周期地球自轉周期T=24 60 60 s，角速度大小為角速度大小為2T=517.27 10 s 如圖，地面上緯度為如圖，地面上緯度為 的的P點，在與赤道平行的平面內點，在與赤道平行的平面內作圓周運動作圓周運動, , cosRRR 赤道赤道Rp 其軌道的半徑為其軌道的半徑為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁

8、上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出rvcosR24.65 10 cosm/sran2cos2RP點速度的大小為點速度的大小為P點只有運動平面上的向心加速度，其大小為點只有運動平面上的向心加速度，其大小為P點速度的方向與過點速度的方向與過P點運動平面上半徑為點運動平面上半徑為R的圓相切。的圓相切。223.37 10cosm/sP點加速度的方向在運動平面上由點加速度的方向在運動平面上由P指向地軸。指向地軸。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯39 57 、31 12 和和 23

9、00 ，可算出三地的可算出三地的v 和和 an分別為分別為北京：北京：356m/s,v 22n2.58 10 m/sa上海：上海：398m/s,v 22n2.89 10 m/sa廣州：廣州：428m/s,v 22n3.10 10 m/sa上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出解：解：由題意，可得該點的速率為：由題意，可得該點的速率為： 例題例題1-4 一飛輪邊緣上一點所經過的路程與時間的一飛輪邊緣上一點所經過的路程與時間的關系為關系為 ，v0、b都是正的常量。都是正的常量。（1 1）求該點在時刻）求該點在時刻 t 的加速度；的加速度；（2）t 為何值時，為

10、何值時，該點的切向加速度與法向加速度的大小相等？已知該點的切向加速度與法向加速度的大小相等？已知飛輪的半徑為飛輪的半徑為R。 2/20bttvs200dd1()dd2svv tb tvb ttt 上式表明，速率隨時間上式表明，速率隨時間t而變化，該點做勻變速而變化，該點做勻變速圓周運動圓周運動。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出tnaa22tnaaa20()arctanvbtRb （1）t 時刻切向加速度、法向加速度及加速度大小時刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: :tvddRv222ddtsbRbtv20)(420()()vbtbRR加速度方向由

11、它和速度的夾角確定為加速度方向由它和速度的夾角確定為Rovnataa上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 （2）令令at= an，即即20()vbtbR0bRvbt得得0() /tvbRb上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-5 如圖如圖a所示為一曲柄連桿機構，曲柄所示為一曲柄連桿機構，曲柄OA長為長為r，連桿，連桿AB長為長為l，AB的一段用銷子在的一段用銷子在A處與曲處與曲柄柄OA相連，另一端以銷子在相連，另一端以銷子在B處與活塞相連。當曲處與活塞相連。當曲柄以勻角速柄以勻角速繞軸繞軸O旋轉時，通過連

12、桿將帶動旋轉時，通過連桿將帶動B處活處活塞在汽缸內往復運動，試求活塞的運動學方程。塞在汽缸內往復運動，試求活塞的運動學方程。解：解：取取O為原點，為原點，Ox軸水平向左，如圖軸水平向左，如圖b所示；并設所示；并設開始時，曲柄開始時，曲柄A在在Ox軸上的點軸上的點P處。當處。當曲柄以勻角速曲柄以勻角速上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出轉動時，在轉動時，在t時刻曲柄轉角為時刻曲柄轉角為= =t以，這時以，這時B處活塞處活塞的位置為的位置為x=OR+RB，即，即222221sin1sin2rlrtltl222cossinxrtlrt這就是活塞的運動學方程這就

13、是活塞的運動學方程我們把上式右端第二項按二項式定理展開為級數：我們把上式右端第二項按二項式定理展開為級數：221cos1sin2rxrtltl一般一般r/l1/3.5,因此高階小量可以略去，于是的活塞因此高階小量可以略去，于是的活塞的運動學方程可寫為的運動學方程可寫為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出Oxy0v maxymaxx0000cossinxyvvvv gaayx0而而 拋體運動拋體運動：從地面上某點向空中拋出的物體在從地面上某點向空中拋出的物體在空中所做的運動?？罩兴龅倪\動。 以拋射點為坐標原點建立坐標系，水平方向為以拋射點為坐標原點建立坐

14、標系，水平方向為x x軸，豎直方向為軸，豎直方向為y軸。設拋出時刻軸。設拋出時刻t=0的速率為的速率為v0，拋拋射角為射角為 ，則初速度分量分別為則初速度分量分別為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出020cos1sin2xvtyvtgt00dcosddsindxyxvvtyvvgtt故任意時刻的速度為故任意時刻的速度為將上式積分，得運動方程為將上式積分，得運動方程為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 物體在空中飛行回落到拋出點高度時所用的時物體在空中飛行回落到拋出點高度時所用的時間為間為 gvT sin20 飛

15、行的射程（即回落到與拋出點的高度相同時所飛行的射程（即回落到與拋出點的高度相同時所經過的水平距離）為經過的水平距離）為 gvx 2sin20max 運動方程消去時間參數運動方程消去時間參數t，得到拋體運動的軌得到拋體運動的軌跡方程為跡方程為 2202cos21tanvgxxy 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出若若 ，則，則 ， 此時為平拋運動；此時為平拋運動； 0 0max y若若 ，則，則 ，此時射程最大；，此時射程最大； 4gvx20max 若若 ，則，則 ，此時為豎直拋體運動，此時為豎直拋體運動。 20max x飛行的射高飛行的射高（即高出拋射

16、點的最大高度即高出拋射點的最大高度）為為 gvy2sin220max 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-6 在距離我方前沿陣地在距離我方前沿陣地10001000m處有一座高處有一座高5050m的山丘，山上建有敵方一座碉堡。求我方的大炮的山丘，山上建有敵方一座碉堡。求我方的大炮在什么角度下以最小的速度發(fā)射炮彈就能摧毀敵軍在什么角度下以最小的速度發(fā)射炮彈就能摧毀敵軍的這座碉堡？的這座碉堡？解：解：由前面分析可知，拋體運動的軌跡方程是由前面分析可知，拋體運動的軌跡方程是2220tan2cosgxyxv由此可解出發(fā)射速度由此可解出發(fā)射速度v0與發(fā)射

17、與發(fā)射角度角度 的關系為的關系為012 costangvxxy上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 由上式不難分析出，當由上式不難分析出，當tan=y/x，以及，以及=/2時，時，v0都將趨于無窮大，所以在這中間必存在一個使都將趨于無窮大，所以在這中間必存在一個使v0為極小值的角度，令為極小值的角度，令dv0/d=0，將目標位置，將目標位置x=1000m，y=50m，代入方程求解，原則上可以求，代入方程求解，原則上可以求出擊中目標炮彈的最小速度，但由此產生的超越方出擊中目標炮彈的最小速度，但由此產生的超越方程難以得出解析解。為此，我們可以編寫程難以得出解

18、析解。為此，我們可以編寫Matlab程程序，利用計算機的數值解，繪出為了擊中目標所發(fā)序，利用計算機的數值解，繪出為了擊中目標所發(fā)射炮彈的初速度與發(fā)射角度的關系曲線，并得到在射炮彈的初速度與發(fā)射角度的關系曲線，并得到在=46.4時，可以最小速度時，可以最小速度v0=101.5m/s發(fā)射炮彈摧發(fā)射炮彈摧毀敵軍碉堡。毀敵軍碉堡。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出v0/(m.s_1)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-7 有一學生在體育館陽臺上以投射角有一學生在體育館陽臺上以投射角=30=30和速率和速率v0=20=20m/s向臺前操場投出一壘球。球離開手時向臺前操場